Résolution de l'équation de Schrodinger linéaire et l'étude de l'équation non linéaire avec une non-linéarité compacte

3.2.3 Unicité

Soit N ~ 3. Nous supposons que les hypothèses (H1) a (H4) sont satisfaites.

Nous montrons qu'il est alors justiflé d'appliquer a (E) un théorème d'unicité dii a Yanagida [23]. Ce théorème très technique fournit un résultat d'unicité concernant les solutions positives de l'équation

LIu + g ( x ) u + h ( x ) u^° = 0 (2.12)

sur B (0,R) c J^N avec 0 < R oc, N ~ 3 et p > 1.

Moyennant l'abus de notation u(1x1) u(r) pour 1x1 = r, toute solution radiale de

(2.12) satisfait l'EDO du deuxieme ordre

N -- 1 u'' + r

u^' + g (r) u + h (r) u^p = 0 (2.13)

Nous sommes intéressés par la situation on R = oo.

Le théoreme précédent porte plus précisément sur l'unicité des solutions de (2.13) qui satisfont

u (0) < oo, u (r) > 0 pour tout r > 0 et lim u (r) = 0 (2.14)

r-+00

Les hypotheses de base concernant les coefficients g et h sont les suivantes

(A1) g,h E C¹ (0, oo)

(A2) r^2-5g (r) --p 0 et r^2-5h (r) --p 0 lorsque r --p 0 pour un 8 > 0.

Sous ces conditions, toute solution u de (2.13)--(2.14) appartient a C (0, R)f1C² (0, R) et satisfait ru^' (r) --p 0 lorsque r --p 0.

Dans notre cas, nous intéressons a la situation qui correspond a l'EDO (2.10), a savoir

g (r) = --A et h (r) =17 (r) (2.15)

Les hypotheses (A1) et (A2) sont satisfaites puisque, par (H2) ,

r^k+97 (r) --p 0 lorsque r --p 0, Vc > 0

avec k E (0, 2) .

Sous ces hypotheses, le Théoreme de Yanagida concernant le cas R = oo peut etre formulé comme suit.

Théorème 3.2.3 ( Voir [23])

Si les conditions (C1) -- (C6) ci-dessous sont satisfaites, alors il existe au plus une solution de (2.13) -- (2.14) qui verifie (C7).

Les hypotheses (C1) a (C7) portent sur les trois fonctions suivantes, J, C et H, dépendant d'un paramétre m 2 [0, N - 2]

J (r; u, m) ~ rm+2u' (r)² + (2N - 4 - m) rm+1u' (r) u (r)

u (r)²

+ (N-2--m)(2N-4--m)r^m

2

+ r^m+2g (r) u (r)² + 2r^m+2h (r) u (r)^P+1

p + 1

C (r; m) = rm+2g' (r) - 2 (N - 3 - m) r^m+1g (r)

+ m (N - 2 -- m) (2N - 4 -- m) rm_1

2

H (r; m) 2rm+2 h' (r)

p + 1

_I ~

m+1h (r)

2N - 4 - m - ₂m + 2 r

p + 1

(C1) h (r) ~ 0 pour tout r > 0.

(C2) C (r; N - 2) 0 pour tout r > 0.

(C3) Pour tout m 2 [0, N - 2], il existe a (m) 2 [0, oc] tel que C (r; m) ~ 0 pour r 2 (0,a (m)) et C(r;m) 0 pour r 2 (a (m) ,oc). Si a (m) = 0 (resp a (m) = oc), cela signifie que C (r; m) 0 (resp C (r; m) ~ 0) pour tout r > 0.

(C4) H (r;0) ~ 0 pour tout r > 0.

(C5) Pour tout m 2 [0, N - 2], il existe /3 (m) 2 [0, oc] tel que H (r; m) ~ 0 pour r 2 (0, /3 (m)) et H (r; m) < 0 pour r 2 (/3 (m) , oc). Si /3 (m) = 0 (resp /3 (m) = oc), cela signifie que H (r; m) 0 (resp H (r; m) ~ 0) pour tout r > 0.

(C6) Concerne le cas oh g = 0 et n'intervient donc pas dans la discussion.

(C7) Demande que J (r; u (r) , m) -p 0 lorsque r -p 1 pour tout m 2 [0, N - 2].

Nous utilisons maintenant ce théorème pour prouver le résultat d'unicité suivant.

Corollaire 3.2.1 Supposons que les hypotheses (H1) a (H4) sont vérifiées et que N ~ 3. Alors il existe au plus une solution non-triviale de (EA) qui soit positive, a symétrie sphérique et radialement décroissante.

Demonstration. Soit u une solution non-triviale de (EA) qui soit positive, a symétrie sphérique et radialement décroissante.

D'apres le theoreme (3.2.2) on a u est strictement positive et u (x) --p 0 lorsque lx1 --> oo, donc u satisfait (2.14).

Il suffit donc de montrer que les conditions (C1) a (C6) sont satisfaites, puis de verifier que u satisfait la condition (C7) .

D'apres (2.15), les fonctions J, G et H sont donnees explicitement par

J (r; u, m) r^m+2u^' (r)² + (2N -- 4 -- m) r^m#177;lu^' (r) u (r)

u (r)²

+ (N -- 2 -- m) (2N -- 4 -- m) r^m

2

-- Ar^m+2u (r)² + 2r^m+2V (r) u (r)^P+1

p + 1

G (r;m) = 2A (N -- 3 -- m) r^m+1

r^m-1

+ m (N -- 2 -- m) (2N -- 4 -- m) ₂

H (r; m) 2r^m+2

V~ 0 (r) p + 1

{2N 4 m 2m + 2r p + 1

m+1 V~ (r)

(C1) Exige que V^~ (r) > 0 pour tout r > 0, ce qui est vrai par (H3).

(C2) G (r; N -- 2) = --2Ar^N-1 < 0 pour tout r > 0.

(C3) Ecrivons G comme

G (r; m) = r^m-1 {2A (N -- 3 -- m) r² + m (N -- 2 -- m) (N -- 2 -- rr21) 1

a (m) depend de m via les coefficients du polynOme du deuxieme degre entre accolades. Si m 2 [0, N -- 3], on a

N -- 3 -- m > 0 et m (N -- 2 -- m) (N -- 2 -- m2 ) >0

On peut choisir a (m) = oo.

Si m 2 ]N -- 3,N -- 2[ on a

N -- 3 -- m < 0 et m (N -- 2 -- m) (N -- 2 -- m2 ) > 0

a (m) est la racine positive de 2A (N -- 3 -- m) r² + m (N -- 2 -- m) (N -- 2 -- T) .

(C4) Exige que H (r; 0) < 0 pour tout r > 0.Dans notre cas, cela revient a dire que

2

r2 1^-7⁰ (r) (2N 4 4 r 17(r) < 0, pour tout r > 0.

p + 1 p + 1

Nous avons par l'hypothese (H3) que V^~ (r) > 0 et V~ 0 (r) < 0 pour tout r > 0. Donc il suffit d'avoir (2N 4 p+4 1) > 0 et qui est équivalent a p > ⁴_N^-N₂. Or 4N-N2 < 1, VN > 3, et comme p > 1, (C4) est véri...ée.

(C5) On a

H (r; m) 2r^m+2

V~ 0 (r) p + 1

{ 2N 4 m 2m + 2 }r p + 1

m+1 V- (r)

... y

H (r; m) r^m+1 V(r) r V⁰ (r) am}

P +1 V (r)

Avec a_m = { 2N 4 m 2 P:₁²

} . D'apres Phypothese (H4) la fonction ^r :_i-_i^i-l₍^'_,⁽V est décrois-

sante sur (0, oo) .

Donc ],8 (m) = oo tel que (C5) est satisfaite.

(C7) Si u est une solution non triviale de (EA) , on a u --> 0, u^' --> 0 lorsque r --> oo. D'ou J (r; u (r) , m) --> 0 lorsque r --> oo.

Le corollaire est démontré.

Donc nous avons montré l'existence, régularité et l'unicité des solutions de (EA), de plus les solutions sont positives radiales, et radialement décroissantes.