Résolution de l'équation de Schrodinger linéaire et l'étude de l'équation non linéaire avec une non-linéarité compacte

3.1 Introduction

Ce chapitre concerne l'existence, régularité, unicité et la stabilité des ondes stationnaires de l'équation de Schrodinger non-linéaire

i@w + w + V (x) jwj^p~1 w = 0, w = w(t_; x) : I ~ R^N ! R_; N ~ 2 (NLS)

@t

avec N ~ 3 et p > 1. Les solutions stationnaires sont sous la forme

w (t,x) = e^i~t u(x), on A > 0 et u : R^N ! R

Une telle fonction est solution de (NLS) si et seulement si la fonction u satisfait l'équation elliptique semi-linéaire

u - Au + V (x) uj^p~1 u = 0, u : 1E^N 1I, N ~ 2 (EA)

Les solutions des équations (NLS) et (EA) sont des solutions faibles.

3.2 Etats fondamentaux

Dans cette section, nous présentons une approche variationnelle du probleme elliptique semi-linéaire

Au -- Au + V (x)IuI^p-1 u = 0, u : R^N --> R, N > 2 (EA)

On p > 1 et V : R^N\ {0} --> R. Nous prouvons sous certains hypotheses l'existence d'un état fondamental de (EA), pour tout A > 0, par une méthode de minimisation sous contrainte dans l'espace de Sobolev H¹(R^N). Un état fondamental est une solution faible non triviale de (EA) qui minimise la fonctionnelle dont (EA) est l'équation d'Euler Lagrange sur un certain sous-ensemble de H¹(R^N) qui contient toutes les solutions faibles non-triviales de (EA).

Les états fondamentaux sont des fonctions positives, radiales et radialement décroissantes, qui tendent vers zéro exponentiellement vite a l'infini. Nous établirons aussi des propriétés de régularité des états fondamentaux.

Nous verrons ensuite, pour N > 3 et pour chaque A > 0, qu'il n'existe qu'une seule solution de (EA) ayant ces propriétés.

Formulons d'abord les hypotheses sous lesquelles nous démontrerons les résultats mentionnés ci-dessus :

(H0) V E C (R^N\ {0})

(H1) V E C¹ (RN\ {0})

(H2) ] k E (0, 2) tel que IxI^k V (x) E L^°°(Il^N). De plus 1 < p < 1 + 4N-22k

(H3) V (x) > 0, Vx E R^N\ {0} et V est a symétrie sphérique, radialement strictement décroissante.

Si (H1) est vérifiée, la fonction

V~ (r) : (0, oo) --> R telle que V^~ (r) = V (x) pour r = IxI

satisfait V^{~ '}(r) < 0 pour tout r > 0.

(H4) La fonction ^rV'(r) est décroissante sur (0, oo).

1⁷(r)

Exemple 3.2.1 Des exemples typiques de fonctions satisfaisant les hypotheses (H0) a
(H4) sont donnés par V^~ (r) = r^-k pour le cas oil V est non borné et V^~ (r) = 1 _k pour

(1+r²) 2

le cas oil V est borné.

Remarque 3.2.1 Les hypotheses (H0), (H2) et (H3) interviennent dans la démonstration de l'existence d'un état fondamental, les résultats de régularité nécessitent l'hypothese (H1).

L'hypothese (H4) ne sera utilisée que pour démontrer l'unicité de la solution.

3.2.1 Existence

Soit V une fonction radiale et supposons que les hypotheses (H0) et (H2) sont satisfaites. Nous munissons H¹(118^N) de la famille de normes équivalentes

1

hull = {I'Vul²L2 + A Iu1² _1,2}² , VA > 0

Nous introduisons également la famille de produits scalaires correspondants a ces normes
(u, v)_A = (Vu, Vv)L2 + A (u, v)_L2 , VA > 0

Considérons la fonctionnelle 0 : H¹ (R^N) --> IR définie par

0 (u) = I V (x)lur⁺¹ dx (2.1)

R^N

Grace a l'inégalité (A.2) du lemme (1.1.1) et les hypotheses (H0), (H2) on a 0 est bien définie et qu'il existe des constantes C, CA > 0 telles que

10 (u)I =

I N

V (x)lur^+1 dx

~~~~~~

< C lIuMPH+1(RN) < CA kuk^p+1

~ , Vu 2 H1 (R^N) (2.2)

Lemme 3.2.1 La fonctionnelle 0 définie par (2.1) appartient a C²(H¹ (R^N) ,118).

De plus, on a les formules suivantes

0' (u)v = (p + 1) I V (x)1u1^P-1 u vdx, Vu, v E H¹ (R^N)

R^N

et

0^''(u)[v, w] = p(p + 1)f V (x)1u1^P-1v wdx, Vu, v, w E H¹ (R^N)

R^N

Demonstration. D'apres le lemme (1.3.1), posant z(x) = V (x)1x1^k et identifiant 0 avec 0 on aura 0 E C²(H¹ (R^N) , R.), de plus

0' (u)v = (p + 1) I z(x)1x1^-k 1u1^p-1 u vdx, Vu, v E H¹ (R^N)

R^N

et

0^''(u)[v, w] = p(p + 1)f z(x)1x1^-k 1u1^p-1 v wdx, Vu,v,w E H¹ (R^N)

R^N

Les deux formules sont ainsi satisfaites.

Lemme 3.2.2 La fonctionnelle 0 definie precedemment est faiblement sequentiellement

continue (f.s.c.) sur H¹ (R^N).

Demonstration. Montrons que pour toute suite bornée (u_n) de H¹ (R^N) et u E H¹ (R^N) tels que u_n --, u on a 10 (un) -- 0 (u)1 < c, Vc > 0.

Soit (u_n) C H¹ (R^N), et u E H¹ (R^N) tels que u_n --
· u, alors

10 (un) -- 0 (u)1 =

I N

V (x)1unr^+1 dx -- I R^N

V (x)1u1^p+1 dx

~~~~~~

<f 1V (x)1 11u_n1^P+1 -- 1u1^p14~_~ dx

R^N

Or d'apres (H2), on a l'existence de k E (0, 2) tel que 1x1^k V (x) E L^°°(118^N). Donc ] c > 0 tel que 1V (x)1 < c1x1^-k

D'of.i

10 (u_n) -- 0 (u)1 < c I 1x1^-k 11u_n1^p+1 -- 1u1¹⁺¹_~ dx

R^N

Pour tout R > 0, on a d'apres l'inégalité de Holder

I B(0,R)

Ixl--k 1lund^p+1 -- 1u1^1+1~ dx <

8 <> Z :> B(0,R)

Ixl^--rk dx

9 >= ;>

1 r <> I :> B(0,R)

1lundp+1 _ 1u1'+18 dx

9 >= ;>

1 .9

8 r ,s > 1 tels que ₇.¹ + ₈¹ = 1, la première intégrale du membre de droite converge si N -- kr > 0 c'est a dire r < ^N_k , donc 1 -- ¹> k _N ce qui équivaut a s > ^N

N--k.

D'autre part, on a u_n --
· u dans H¹ (R^N) et d'apres la compacité de l'injection de Sobolev sur les bornés réguliers de R^N et la continuité de l'application u --> 1u1¹⁺¹ de L(p+1)8 (B (0, R)) --> L⁵ (B (0, R)) , s > 1 impliquent que

1ju_n1^P+1 -- 1u1¹⁹⁺¹ --> 0 lorsque n --> 1

L.(B(o,n))

Par conséquent 9 C > 0, tel que

I B(0,R)

Ixl--k lundp+1 _ 1ujp+1~~ dx < C llunri Huip#177;ii --> 0 lorsque n --> 1 I IL.(B(O,n))

Traitons maintenant l'intégral sur le complément de B (0, R). Fixons 6 > 0, et supposons

R > 6

_1 k .

On a lx1 > R ce qui implique Ixr^k < R^rk < 6, drof

I R^N\B(O,R)

Ixl^--k 1 lunlp+1 -- lulp+11 dx < 6 I R^N\B(O,R)

1lundp+1 _ lur+1 dx

Par le prolongement de Sobolev et le fait que (u_n) est bornée dans H¹ (R^N) , on aura l'existence de C1 > 0 tel que

I

R^N\B(O,R)

Donc

Ixl--k 1lunlp+1 -- _lulp+11 _dx < Ci6

Ixl--k 1lu_nd^p+1 _ 1uj^p+1~_~ dx < 6

10 (u_n) -- 0 (u)1 < K1 Hu_nI^P+1 -- 1 I 1

.u.^P+1 ,L.(B(,),R))+K2 I

R^N\B(O,R)

D'of.i 0 (un) --p 0 (u) lorsque n --p oo.

Nous commencerons par montrer que, pour tout A > 0, on peut définir sur H¹ (R^N) une fonctionnelle SA dont (EA) est l'équation d'Euler-Lagrange associée. Ensuite, nous présenterons la méthode de minimisation sous contrainte que nous allons employer, ce qui nous conduira naturellement a la définition d'état fondamental. Le reste de cette partie est consacré a la démonstration d'existence d'un état fondamental de (EA), pour tout A > 0.

Soit SA : H¹ (R^N) --> IR la fonctionnelle définie par

1 1

SA (u) = 11u11²

2 A (p + 1)0(u)

D'apres le lemme (1.3.1) on a SA E C² (H¹ (R^N) , IR) avec

S^'A(u)v = (u, v)_A - I V (x)lul^P-1 u vdx, Vu, v E H¹ (R^N) (2.3)

R^N

et

S⁰)⁰(u)[v, w] = (v, w)_A - p I V (x)lul^p~1 v wdx, Vu, v, w E H¹ (R^N) (2.4)

R^N

Maintenant on va définir les solutions faibles non triviales de (EA) comme étant les points critiques de SA.

Definition 3.2.1 Une fonction u E H¹ (R^N) est une solution faible de (EA) si S^'A(u) = 0 c'est a dire

I RN

Vu Vv + Au v dx - f R^N

V (x)lul^p~1 u vdx = 0, Vv E H^1 (R^N)

Remarques 3.2.2 (i) Une solution classique est une fonction u E C2 (R^N\ {⁰}) qui vérifie (EA).

(ii) Nous dirons qu'une solution, faible ou classique, est non-triviale si elle n'est pas identiquement nulle.

(iii) En utilisant la densité de Cr (R^N) dans H¹ (R^N) , on montre facilement que toute solution classique est aussi solution faible.

Chercher des solutions faibles de (EA) revient a chercher des points critiques de SA. Mais la fonctionnelle SA n'est ni bornée inférieurement ni supérieurement sur _H1 (i!\r)_. Par conséquent, on ne peut pas trouver des points critiques qui soient des points d'extremum global de SA. Pour contourner cette diffi culté on va utiliser une méthode de minimisation sous contrainte qui due a Nehari et qui consiste a minimiser SA sur une sous-variété qui contient toutes les solutions faibles non-triviales de (EA) et qui est appelée variété de Nehari. Il s'avère que, restreinte a cette sous-variété, la fonctionnelle SA est bornée inférieurement. Nous allons voir que, grace a la continuité séquentielle faible de q, et utilisant la technique de symétrisation de Schwarz, il est possible d'établir l'existence d'un minimiseur de SA sur la variété de Nehari qui soit une fonction positive et radiale. Il découle des propriétés de la variété de Nehari et de la méthode des multiplicateurs de Lagrange que tous les minimiseurs de SA sur la variété de Nehari sont des points critiques de SA.

La contrainte est donnée par la fonctionnelle JA 2 _C2 (_H1 (RN) , 1) définie par

1 ~ - 1

JA (u) = 2 kuk² ₂q(u)

La variété de Nehari NA C _H1 (RN) est ainsi définie par

NA = {u 2 H¹ (R^N)\{0} : JA (u) = 0}

Maintenant on va étudier le problème de minimisation suivant

mA = inf {SA (u) : u 2 NA} (2.5)

Definition 3.2.2 Une fonction u 2 _H1 (RN) est appelée état fondamental de (EA) si c'est un minimiseur du probléme (2.5).

Enonçons le lemme qui affi rme qu'un état fondamental est une solution faible de (EA), et qui donne quelques propriétés importantes de la variété NA.

Lemme 3.2.3 Supposons que les hypotheses (H0) et (H2) sont vérifiées.

(i)Si u est une solution faible de (EA), alors u 2 NA.

(ii)] SA > 0 tel que MullA> 6A, Vu 2 NA.

(iii) NA est une sous-variété de H¹ (R^N) de classe C². (iv)Pour tout u 2 NA, SA (u) = A (p) 14²A ofi A (p) = 2rp-#177;11) > 0. (v)Si u 2 NA et SA (u) = MA, alors u est une solution de (EA).

Demonstration.

(i)Soit u solution faible de (EA), alors S⁰A(u) = 0, or S^'A(u)u = Mull²A -- 0(u) = 2JA (u) , c'est a dire

JA (u) = ₂¹S⁰ A(U)U, Vu 2 H¹ (R^N) (2.6)

D'ofi JA (u) = 0 . Donc u 2 NA.

(ii)Soit u 2 NA implique que JA (u) = 0, et comme S^'A(u)u = Mull²_A -- cb(u) = 2JA (u), on aura

114²_A = cb(u), Vu 2 NA (2.7)

D'apres (2.2) on a 10 (u)1 < CA MUM13A +1 :

Donc

14²A = O(U)CA 114¹³A⁺¹

ofi CA > 0.

Le résultat suit du fait que p > 1.

1

Ce qui équivaut a Mull_A > SA avec SA = (_C¹ , Mull²_A) p+1
·

(iii)Découle du théoreme de submersion car, pour tout u 2 NA

J⁰A (u) u = mull²_A -- ¹₂0^'(u)u = o(u) p + 1

2 (u) = 1 ~ p

2 0(u) < 0 (2.8)

Puisque p > 1 et Mull²_A = 0(u), Vu 2 NA d'apres (2.7).

(iv)Pour tout u 2 NA, d'apres (2.7) on a Mull²_A = 0(u).

_1i ~

Or S~(u)u = 1 2 kuk2 ~ ~ 1

p+1~(u) = 2 ~ 1 kuk² = p1

2(p+1) kuk2 ~ .

p+1

d'oñ le résultat.

(v)Soit u 2 NA et SA (u) = mA, c'est a dire que u est un minimiseur du problème (2.5). D'après la proposition (1.4.1) il existe un multiplicateur de Lagrange 2 tel que

S0 ~(u)v = J0 ~ (u) v, Vv 2 _H1 (_IN)

posons v = u, on aura

S0 ~(u)u = J0 ~ (u) u

Par (2.6) , et le fait que u 2 NA, on a S⁰ _~(u)u = 0, d'autre par, nous avons J ~ (u) u < 0 par (2.8).

Par conséquent = 0 et S⁰ (u) = 0. Donc u est une solution de (EA).

Remarque 3.2.3 (a)Les points (ii) et (iv) du Lemme (2.1.3) impliquent que mA > 0, de sorte que SA > 0 sur NA.

(b)Le point (iv) implique que toute suite minimisante pour le probléme (2.5) est bornée.

Pour la démonstration de l'existence d'un état fondamental de (EA), nous aurons besoin du lemme suivant qui établit l'existence d'une projection lisse de H1 (R^N)\{0} sur NA.

Lemme 3.2.4 Soit u solution faible de (E,), il existe une fonction tA 2 _C2 (_H1 (RN) \{0}, (0, oc)) qui jouit des propriétés suivantes.

(i)Vu 2 _H1 (RN) \ {0} et t 2 R, t u 2 NA si el seulement si t = tA (u).

(ii)Pour tout u 2 _H1 (i') \ {0}, nous avons que tA (u) 1 si JA (u) 0 et tA (u) ~ 1

si JA (u) ~ 0.

Demonstration. La fonction définie par

2 } tA (u) = MuM {^A 0 (u) a les propriétés énoncées, en effet

1 p-1 , Vu E H^1 °R^N) \ {0}

(i)Soit u solution faible de (EA), on a d'apres (i) du lemme (3.2.3) que u E NA, donc si t = t), (u) alors t u E NA.

Supposant maintenant que t u E NA, alors (2.7) donne

Mtug = 0(tu) = f V (x) ltur^l dx = ltly3+1 I R^N R^N = ltl^P+1 0(u) c'est a dire t^P-1 = lol^u(ll, d'ou t = t), (u) . (ii)Si JA (u) < 0 alors 2 MuMA -- 0 (u) < 0 Donc MuM^2A < 0 (u) , par conséquent tA (u) < 1. De même pour JA (u) > 0 on a tA (u) > 1.

V (x)lul^P+1 dx

Nous sommes maintenant en mesure de prouver l'existence d'un état fondamental de (EA).

Theoreme 3.2.1 Supposons que les hypotheses (H0) , (H2) et (H3) sont satisfaites. Alors VA > 0, il existe une fonction _A E NA telle que S)( )) = m),. De plus, _A est positive, a symétrie sphérique et radialement décroissante.

Demonstration. Considérons une suite (u_n) C NA telle que SA (u_n) --> mA lorsque

Ti --> cc.

Si u E H¹ (R^N) implique que lul E H¹ (R^N), donc SA et JA ne changent pas lorsqu'on remplace u par lul, nous pouvons supposer que u_n > 0.

Soit alors la suite (v_n) C H¹ (R^N) définie par v_n, = to (un) un, oil u_n^* est la symétrisation de Schwarz de u_n, et to est la projection donnée par le lemme (3.2.4).

Nous allons montrer que (v_n) est aussi une suite minimisante pour le probleme (2.5). D'apres les propriétés de la symétrisation de Schwarz, on a

I RN

Zu2 n dx = R^N

Z(u n)^2 dx et R^N

IV un1^2 dx > I RN

IVu^~n1^2 dx

De plus puisque la fonction s 1--> 1sr⁺¹ est croissante sur [0, oo[ et comme V = V^* par (H3), nous avons que

I RN

Z V (x) up+1 n dx ~ R^N

Z V^* (x) ~up+1 ~~ dx = n R^N

V (x) (un)^P+1 dx

ainsi, Mu_n11²_A > 1u^~_n1²_A et 0 (u_n) < 0 (u^~_n). Par conséquent

1 2 1

JA (u_n) = 2 ^11u1A 2 -- 0 (u^~_n)

1 2 1

< 2 Mu_nlI_A -- ₂0 (u_n) = JA (u_n) = 0, car (u_n) c NA

Donc JA (un) < 0 et d'apres le lemme (3.2.4), on aura tA (u_n^*) < 1

Par construction v_n = tA (un) un 2 NA, et d'apres (iv) du lemme (3.2.3) on a

ma < SA (v_n) = A (p) Iv_nl²_A = A (p) Ita (u_n) u^*_n1²_A = A (p) tA (un)2 Mu*m12A < A (p) Iu^*_n1²_A < A (p) Ilu_n11A = SA (u_n) --> mA

Donc (v_n) C Na est aussi une suite minimisante.

D'apres (b) de la remarque (3.2.3), (v_n) est borné dans H¹ (R^N) . Nous pouvons donc supposer qu'il existe v 2 H¹ (R^N) tel que v_n --
· v dans H¹ (R^N) . Nous allons montrer que v 2 NA et SA (v) = mA.

Puisque 0 est (f.s.c) par le lemme (3.2.2), nous avons que

0 (v) = lim 0 (vn) = lim n--> n-->

Ilvn11^2A , d'apres (2.7)

0 (v) > 8 ~ > 0, d'apres (ii) du lemme (3.2.3) On en déduit que v =6 0.

Maintenant, comme .k2 ~ est faiblement séquentiellement semi-continue inférieurement, on a

1 - 1

JA (v) = 2 kvk² ₂ (v)

1

<

2

uim

fl-400

inf MvThk2 ~ -- 1 2 (v) = 2 1 uim

n!1 inf ~ (v_n) - ¹ ₂ (v) = 0

et donc tA (v) < 1 par le lemme (3.2.4).

Nous allons voir que tA (v) = 1. Puisque tA (v) v 2 NA on a

mA < S,, (tA (v) v) = A (p) tA (v) vk2 ~ = A (p) tA (v)² kvk2 ~ < A (p) kvk2 ~

< A (p) uim Th-400 inf v k2 ~ = uim Th-400

SA (va) = mA (2.9)

Ceci montre que SA (tA (v) v) = mA et tA (v) = 1 car sinon nous aurions une inégalité stricte dans (2.9), c'est a dire mA < mA, ce qui est absurde.

Finalement puisque v est positive a symétrie sphérique et radialement décroissante par construction, v jouit les mêmes propriétés, donc il suffit de prendre A = v pour avoir le résultat.

3.2.2 Régularité

Dans cette section, nous montrons que l'état fondamental est en fait une solution classique de (EA) et nous étudions ses propriétés asymptotiques. Nous travaillons avec A > 0 ffxé et pour alléger la notation, nous notons simplement l'état fondamental. Comme est une fonction radiale, l'étude de sa régularité se ramène a l'étude de la régularité d'une solution d'une équation différentielle ordinaire (EDO) du deuxième ordre.

Nous commençons par introduire deux espaces de fonctions sur la demi-droite.

Définition 3.2.3 Plaçons-nous en dimension N ~ 2 et considérons l'espace H _r des fonctions de H¹(Ii^") qui sont radiales (ou à symétrie sphérique) c'est-à-dire telles que

X N

i=1

)

_x2

i

u(jxj) = u~ (r) avec r = jxj =

Définissant les espaces hilbertiens réels L²_r et 1-1^-,!^- c L²_r

1,^2,

=

{

v : (0, oo) --> R. tel que

I 0

rN-1 v (r)^2 dr < oo

}

et Hr^l = {v E L^2r : v^' E Lr ^2} c Lr^2

et nous les munissons respectivement des produits scalaires

(u) v)L, r

=

I 0

rN-1 u v dr et (u,v)r (ut , 04, A = + A (u, v)L2

et des normes correspondantes, 1.1L, _r et 11.11_r,A .

Proposition 3.2.1 (Voir [13] , page 22)

Soit N > 3 et u : R^N --> IR une fonction a symétrie sphérique.

Soit v : (0, oo) --> IR de telle sorte que u (x) = v (r) pour r = 1x1, x E IR.^N\ {0} . Alors u E H¹ (R^N) si et seulement si v E II,!^-.

Notant wN la surface de la sphère unité dans R^N, on a

I

R^N

I

0

I

0

u (x)² dx = wN

et

I

R^N

1Vu (x)1² dx = wN

r^N-lv (r)² dr

rN-lvt (r)2 dr

N -- 1 v00 + r

v^' -- Ay +

1^-7 (r) 1v1^P-1 v = 0, r > 0 (2.10)

Grace a la Proposition (3.2.1), le résultat suivant réduit l'étude des propriétés de a celle des propriétés d'une fonction de H,,!, solution d'une équation diférentielle ordinaire du deuxième ordre.

Proposition 3.2.2 Supposons que la fonction V est radiale et soit 17 : (0, oo) --> IR telle que V (x) = 17 (r) pour 1x1 = r > 0.

Soit u : le --> IR une fonction radiale et v : (0, oo) --> IR tel que u (x) = v (r) .

Si u E H¹ (R^N) et u est une solution faible de (EA) alors v E I-/^-₇!^- et v une solution au sens de distribution de

Demonstration. Nous savons par la Proposition (3.2.1) que v 2 H.

~RN~ ~ _H1 ~RN~ :

Soit ' 2 C1 0 (0_; 1) et posons ~ (x) = ' (r) : Alors ~ 2 C1 ₀ D'apres la définition (3.2.1) on a

I RN

Vu Vv + Au v dx -- I R^N

V (x)lur^l u vdx = 0, Vv 2 1/^1 (R^N)

Et comme c 2 Hⁱ (R^N) on a

Vu '-(A -- V (x)1u1^P-1) u clx = wN

rN-1 _{eV + [^A - ^{17 (r)1v119-1}] ^v(P} ^dr

0 = I

RN

.0

I

0

Donc

wN

.0 I 0

T^N-1 V^'Vdr = --wN

.0 I 0

r^N-1 [A - 17 (r)Ivr^il vcp dr

ainsi r^' v^' possede une dérivée au sens des distributions (r^i'v^')^' : (0, oo) --> R. telle

que

(rN-1 v')' = _rN-1 [A - -_/7- _(r)Ivri] _v

Puisque r^1-N 2 C^°° (0, oo) , v^' a une dérivée au sens des distributions v⁰⁰ : (0, oo) --> R. qui satisfait

(of = (_ri-N [_rN-i_vly _ (1 -- N) r-N [_rN-le] + _rl-N [_rN-le]^I

(v,), _ N ~ 1 r		v^' + [A -- 1^7 (01v1^19-1] v
D'ofi	N -- 1 v00 + r		v^' -- Av +17(r) Ivr^i v = 0, r > 0

Ce qui montre que v est une solution au sens des distributions de (2.10).

Nous savons donc qu'il existe une fonction ~ 2 11^-₇!^- telle que (x) = ~ (1x1) et qui satisfait l'équation (2.10). Afin d'établir que est une solution classique de (EA) et d'étudier ses propriétés asymptotiques, nous allons considérer l'équation générale

N -- 1 v00 + r

v^' -yv r2 ~ v + Q (r) v = 0; r > 0 (2.11)

Nous supposons que 7 > 0, ,u > 0 et Q : (0, oo) --> R. est une fonction continue telle que r^kQ (r) est bornée sur (0, oo) , on k 2 (0, 2) . Les résultats que nous allons prouver concernant (2.11) nous serons utiles plus tard dans un autre contexte.

Lemme 3.2.5 Soit v 2 H^!_r une solution au sens des distributions de (2.11). Alors v 2 C² (0, oo) et v est une solution classique de (2.11). Si de plus, Q 2 C¹ (0, oo), alors v 2 C³ (0, oo) .

Demonstration. Comme v 2 H^!_r, v 2 C (0, oo) et v^' 2 4, (0, oo) .

Alors, il decoule de (2.11) que v 2 H/²₀, (0, oo) , ce qui implique v 2 C¹ (0, oo) , car

H^m (Q) s'injecte d'une façon continue dans C^k (Q) avec Q un ouvert de R^N et m > N2 + k toujours d'apres (2.11) nous aurons v 2 C² (0, oo) .

Si Q 2 C¹ (0, oo), (2.11) implique alors v 2 C³ (0, oo) .

Definition 3.2.4 Soit f : Q c R^m --> IR oit Q est un ouvert non-borné de 1[8^m, m > 1. Nous disons que f tend vers zéro exponentiellement (vite) a l'infini s'il existe E > 0

tel que lim xEndx1-^,00

e^€1x1f (x) = 0. Nous écrivons alors f (x) --p 0 exponentiellement (vite)

lorsquelx1 --p 1 ou simplement f (x) --p 0 exponentiellement (vite) a l'infini.

Lemme 3.2.6 (Voir [14] , page 38)

Si v 2 H^!, est une solution de (2.11) , alors v jouit des propriétés suivantes

(i)Les limites lim 7-:	v (r) et lim 7-:		r v^' (r) existent et sont finis.
De plus, si it = 0, on a lim r-q)		r v^' (r) = 0.

(ii)Si Q --> 0 exponentiellement a l'infini, alors v, v^' --> 0 exponentiellement a l'infini. Nous pouvons maintenant prouver les proprietes suivantes de l'etat fondamental .

Theoreme 3.2.2 Supposons satisfaites les hypotheses (H0), (H2) et (H3) et soit

u 2 H¹ (R^N) une solution non-triviale de (EA), positive, a symétrie sphérique et radialement décroissante.

Alors u jouit des propriétés suivantes.

(i)u 2 C (R^N) n C² (R^N\ {0}) et u est une solution classique de (EA). De plus, si V satisfait (H1) alors u 2 C³ (RN\ ₁₀₁₎ .

(ii)u est strictement positive et radialement strictement décroissante sur RN.

(iii)u (x) - 0 et Vu (x) - 0 exponentiellement lorsque x - oc.

Démonstration.

(i)Soit v 2 H tel que u(x) = v (r) pour x = r, et x 2 ^N\{0}.

V~ (r) v (r) ^'~1 , ainsi u est une solution

r

D'après le lemme (3.2.5), on a v 2 C² (0, oc). En posant dans (2.11) 'y = A, = 0 et Q(r) =

classique de (EA) sur ^N\ {0}, u 2 C² (I^N\ {0}).

{0})

Si V 2 C¹ (R^N\ {0}) on a également u 2 C³ (R^N\ .

(ii)Nous savons d'après la Proposition (3.2.2) et du Lemme (3.2.5) que v est une solution classique non-triviale de l'équation différentielle ordinaire (2.10), ce qui implique qu'elle ne peut être constante sur un intervalle. De plus, par hypothèse, v est une fonction positive et décroissante sur (0, oc). Elle est donc strictement positive et strictement décroissante sur (0, oc). Donc u l'est aussi et on a d'après le théorème d'existence que la solution est radiale, d'oñ le résultat.

(iii)La décroissance exponentielle résulte du lemme (3.2.6).