I-2-3.Test de DICKEY -FULLER AUGMENTE
Dans les modèles utilisés dans les tests de Dickey
et Fuller simples, le processus åt est, par
hypothèse, un bruit
blanc. Or il n'y a aucune raison pour que
à priori, l'erreur soit non corrélée : on appelle tests de
Dickey Fuller
Augmentés (ADF, 1981) la prise en compte de cette
hypothèse. Les test ADF sont fondé sous l'hypothèse
alternative
ö 1 sur l'estimateur des MCO des trois
modèles :
p
Ä X = ö X t - 1 - ö
Ä Xt - j+1 + å t
j
2
p
Ä X = ö X t - 1 - ö
j Ä X- j+1 + â
+ å t j 2
p
Ä X = ö X -- ö
.j Ä Xt - j+1 + â
+ ã t + å t j 2
åt est un bruit blanc. Le test se
déroule de manière similaire aux tests de Dickey Fuller simple.
Seul les tables diffèrent. La valeur de P est déterminée
selon le critère de AKAIKE.
N.B. D'autres tests sont souvent utilisés
notamment celui de Phillips-Perron, Schmidts-Phillips,
EliottRothenberg-Stock (ERS), KPSS.
I-3.Identification
La série ainsi stationnarisée, on procède
à une étude des corrélogrammes simple et partiel, ce qui
conduit à déterminer les ordres possibles de p et q
des parties auto-régressive (AR(P) et moyenne mobile
(MA(q)) du modèle et les ordres d de
différenciations éventuelles (cas modèle ARIMA (p, d,
q). Nous avons évoqué certains types de modèles et il
y a donc lieu de les définir plus explicitement.
I-3-1.Processus ARMA
I -3-1-a. Processus autorégressifs
On appelle «processus autorégressif d'ordre p
» un processus stationnaire Xt vérifiant une relation
du type :
p
X t = E i t i +
t
i= 1
où les ?i sont des réels et
åt est un bruit blanc de variance ó
2 .
Un bruit blanc est une suite de variables
aléatoires d'espérances mathématiques nulles, non
corrélées et de même variance.
La relation précédente peut aussi s'écrire
:
( 1 - ? 1B- ... -? B
p)X t = å
o u
ö ( ) , B X
B X = å ( ) = X
t t t
i
t - i
P
en posant ( ) 1 1 ...
ö B = - ? B - - ? P B
.
Il sera noté AR(p).
I-3-1-b. Processus moyennes mobiles.
On appelle « processus moyenne mobile d'ordre q
» un processus Xt défini par :
Xt = ( 1 - è 1 B -
... - èq
Bq)åt,
Où les èi sont des réels
et åt est un bruit blanc de variance
ó2. Cette relation peut encore
s'écrire:
è ( B ) åt
= Xt,
avec
è B = - è B - - è
q B
q
( ) 1 1 ... .
Un tel processus est désigné dans la
littérature anglo-saxonne par MA(q).
I-3-1-c. Processus auto régressifs moyennes mobiles
(ARMA)
On appelle «processus autorégressif moyenne mobile
d'ordre (p, q ) » un processus Stationnaire Xt
satisfaisant
ö( B ) Xt =
è ( B) åt.
Un tel processus est désigné dans la
littérature anglo-saxonne par ARMA(p,q) (Autoregressive moving
average). 1-3-2. Processus ARIMA
Si on note d
Ä Xt la différence d'ordre d de
Xt, i.e. (1- B)d Xl on va donc s'intéresser
aux processus Xt tels que
ö ( B ) Ä
dXt = è ( B)
åt.
Un tel processus est appelé ARIMA(p, d, q) ou
ARMA intégré. Cette relation peut encore
s'écrire:
? ( B ) Xt = è
( B) åt,
avec
? B = ö B - B
( ) ( )( 1 ) .
d
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