CHAPITRE 2
LES OPTIONS BARRIÈRES
Définition 9. Les options à barrière
peuvent être désactivantes (out) ou activantes (in)) L'option se
comporte comme une option de type européenne saufqu'elles sont
dotées d'une barrière c'est à dire d'un prix du sous
jacent à partir duquel 'option meurt (out) ou prend vie (in). L'option
disparaît ou apparaît dès que le cours du sous-jacent
atteint, pendant la période de référence, la
barrière fixée préalablement il y a donc deux principaux
types d'options barrière :
~ Option down : l'option est désactivée ou
activée lorsque e cours du sous jacent franchit la barrière
à la baisse
~ Option up : l'option est désactivée ou
activée lorsque e cours du souss-acent franchit la barrière
à la hausse.
Quelques options versent parfois une compensation si la
barrière n'est pas touchéee One place dans le cas où
aucune prime n'est versée
FIG. 1 - exemple de barrière up-in
Il existe huit types d'options barrières dont es
payo~ss'écrivent
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Down ?4 in Cati Down ?4 in Put Down ?4 out Caii Down ?4 out
Put Up ?4 in Cati
Up ?4 in Put
Up ?4 out Cati
|
= max(ST - K, 0) si min0<t<T(St) <B =
max(K - ST, 0) si min0<t<T(St) < B = max(ST - K, 0) si
min0<t<T(St) > B = max(K - ST, 0) si min0<t<T(St) > B =max(ST
- K, 0) si max0<t<T(St) > B = max(K - ST, 0) si max0<t<T(St)
> B = max(ST - K, 0) si max0<t<T(St) < B
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|
Up ?4 outPut
|
= max(K - ST, 0) si max0<t<T(St) <B
|
Remarque On a une relation de parité entre in et out. Si
par exemple on additionne le
payoff d'un call up&in et d'un call
up&out on obtient le payoff d'un call européen classique
1 Evaluation par l'arbre binomial
L'arbre va nous permettre de bien voir ce qui se passe autour
de la barrière. On a vu que pour évaluer un call dans l'arbre
binomial on utilisait un principe de rétroduction. ci nous allons avoir
un problème pour appliquer cette méthode puisque l'on a
très peu de chance que la barrière se situe sur les noeuds et
pour évaluer le call on a besoin de cette valeur. La figure suivante
nous montre le problème
barrière
FIG. 2 Le problème de la barrière
Pour évaluer le call aujourd'hui il nous faut donc
connaître la valeur exacte du call à chaque noeud avant que le
sous jacent ne franchisse la barrière. Nous allons utiliser une
méthode d'interpolation pour approximer la valeur du call sur la
barrière. Pour cela on determine d'abord deux autres barrières,
supérieure et inférieure, qui encadrent la vraie barrière
comme le montre la figure suivante
barrière supérieure
vraie barrière
barrière inférieure
FIG. 3 encadrement de la barrière
Plaçons sur un noeud coupé par la
barrière de valeur B. On note Cu la valeur du call quand le
sous jacent monte et Cd quand il baisse. Pour connaitre la valeur du call sur
la barrière on donne un poids à chacun des deux calls que l'on
additionne ensuite.
FIG. 4 - encadrement de la barrière sur un noeud
En notant Cb la valeur du call sur la barrière on a :
B--dS uS--B
Cb = uS -- dS Cd +uS--dS Cu
Une fois ces valeurs calculées il ne nous reste plus
quà appliquer le principe de rétroduction en prenant soint de ne
pas modifier les valeurs des calls calculés par linterpolation sur la
barrière.
Exemple On reprend notre exemple avec une barrière
à 58 euros et un prix dexercice de 35 euros. On veut évaluer un
call up and out. Le premier arbre donneles valeurs du call avant
l'interpolation, le deuxième après.
Tree Display
At each node:
Upper value = Underlying Asset Price Lower value = Option
Price
Values in red are a result of early exercise.
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99,96732
|
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Strike price = 35
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|
|
0
|
|
89,06561
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|
Discount factor per step = 0,9958
|
|
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Time step, dt = 0,0833 years, 30,42 days
Growth factor per step, a = 1,0042
Probability of up move, p = 0,4892
Up step size, u = 1,1224
Down step size, d = 0,8909
4,238316
50
44,54736
56,12005
2,954266
5,502917
62,98919
5,807897
39,68935
50
0
4,398537
44,54736
70,69912
56,12005
7,205414
0
79,35276
62,98919
8,647241
39,68935
50
0
0
44,54736
70,69912
56,12005
7,629954
9,692611
0
0
5,256081 5,883803 4,68935
35,36112
3,432395
31,50489
1,112872
35,36112
2,284436
31,50489
0
28,0692
0
25,00817
0
79,35276
0
62,98919
0
50
15
39,68935
Node Time:
0,0000 0,0833 0,1667 0,2500 0,3333 0,4167 0,5000
FIG. 5 - Option up and out avant interpolation
Tree Display
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At each node:
Upper value = Underlying Asset Price Lower value = Option
Price
Values in red are a result of early exercise.
|
|
|
99,96732
|
|
|
Strike price = 35
|
0
|
0
70,69912
0
62,98919
0
89,06561
0
70,69912
0
79,35276
0
62,98919
0
Discount factor per step = 0,9958
Time step, dt = 0,0833 years, 30,42 days
79,35276
0
Growth factor per step, a = 1,0042
Probability of up move, p = 0,4892
Up step size, u = 1,1224
Down step size, d = 0,8909
62,98919
3,481573
50
44,54736
56,12005
2,954266
4,01521
4,467842
3,577065
39,68935
50
44,54736
56,12005
0,567186
5,587365
35,36112
3,432395
5,325808
39,68935
5,883803
31,50489
1,112872
50
44,54736
2,284436
56,12005
0,983874
9,692611
35,36112
28,0692
39,68935
31,50489
4,68935
50
15
0
0
25,00817
0
Node Time:
0,0000 0,0833 0,1667 0,2500 0,3333 0,4167 0,5000
FIG. 6 - Option up and out après interpolation
La valeur théorique calculée avec un pricer
d'option donne la valeur du call à 2,7054. Avec six périodes on
est loin d'avoir une valeur approchée correcte en utilisant llarbre
binomial. Néanmoins, comme le montre les deux arbres l'interpolation
permet de se rapprocher plus rapidement vers la valeur théorique pour un
nombre de périodes inchangé
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