L'interaction Faible et les Bosons intermédiaires

Chapitre 3

La théorie des Bosons Vectoriels

massifs

Les calculs aux ordres supérieurs, que ce soit la théorie de Fermi, ou la théorie V-A divergent. Des infinités apparaissent et il n'y a aucun moyen de les faire disparaître, contrairement aux théories dites renormalisables (dans une théorie renormalisable, on rencontre des infinités, mais ces dernières peuvent être absorbées dans les paramètres de la théorie, rendant la théorie finie).

Pour éliminer ces problèmes, Weinberg et Galaschow ont ré-interprété les calculs en introduisant l'idée des particules messagères de spin 1 véhiculant les interactions faibles par une simple comparaison aux interactions électromagnétiques. La nouvelle forme du Lagrangien d'interaction faible sera similaire à celle de l'interaction électromagnétique, en remplaçant la charge électrique »q» par la constante de couplage »g_w», et le champ A_u(x) par les champs W_u(x). Ces particules messagères sont massives.

Restant dans le cadre de la désintégration muonique, le Lagrangien sera sous la forme: L_w =i gw u + C.C]

_v2 [øeãu (1 + ã⁵)

2 øí_eW u - + øíuãu (1 + ã⁵)

2 øuW +

Où: C.C veut dire complexe conjugué.

Les équations quantiques pour les champs libres W^#177;, dans la jauge de Lorentz, sont (ce sont les équations de Proca pour une particule massive, de spin 1) :

~

(?² - Mw)W u #177; = 0, -? (*) ?_uW_u^#177;= O, -? (**) La solution générale de l'équation (*)(ressemble à l'équation de Klein-Gordon) est :

XW u - = k~

au ~k? k + cu+ k~ ?* k~

Tel que le W_L vérifie

{ kLaL k~ = 0, ? 3 a indépendants ;

?LWL = 0 kLcL+

k~= O, ? 3 c indépendants.

aL k~

=

3 X i=1

a^~kiå

On pose:

L ? oùå vérifient :åLkL = O

^~ki

et les a-_ki(i=1?3) sont des opérateurs arbitraires. De même pour

3

cL+ k~			=		X i=1	c+ ~kiå	^~ki L
Il y a plusieurs choix pour å L tel que å ^~ki		L kL = O. On va se mettre dans le cas où ils sont ^~ki
choisis pour être vecteurs propres de S~	k~ |^~k|			avec valeurs propres				? ? ?	+1, i=1; -1, i=2; O, i=3.

Lorsque ^~k//(oz) :

å_L = (1,i,O,0).

^~k1

å_L = (1, -i, 0,0).

^~k2

E i|^~k|

å_L = ( 0, 0,

~k3 M , ).

M_w

Pourk^~ arbitraire, leså~ki _L sont obtenus par une rotation adéquate (comme dans le cas du photon).

Remarque :

Le photon n'a pas de masse, il a deux polarisations mais par contre les bosons vectoriels sont massifs avec trois polarisations.

Ce qui apparaît dans les calculs est :

3

_X
i=1

å_L å

^~ki

.

^~ki kLkí

í = ä _Lí + M2 w

Finalement les champs W - auront la forme suivante :

XW u - = ^~ki

a^~kiå

u ?~k + cu+ ~ki ~ki å

í ?* ^~ki k~

Avec comme interpretation desa~ki, c~ki :

ak,i : opérateur d'annihilation de la particule W -.

c+ k,i : opérateur de création de la particule W⁺.

ck,i : opérateur d'annihilation de la particule W⁺.

a+ k,i : opérateur de création de la particule W -.

Les opérateurs de céation et d'annihilation obéissent aux relations de commutations suivantes:

[ ak,i, ak^',i^'] = [c+ k,i, c+ k',i' ] = 0 [ ak,i, c+ k',i'] = [ ck,i, a+ k',i'] = 0 [ak,i,a⁺ k',i'] = [ck,i, c+ k',i'] = äk,k^'äi,i^'

On définit les états initial et final de la désintégration du muon comme la partie précédente :

|i) =bu⁺

ps |0)

hf| = h0|d^íe

_k'_ó'b^e kób^íu

p^'s^'

Dans cette section, nous allons faire le calcul au deuxième ordre, c'est-à-dire : [ J +8 J +8 ]

HId⁴x - 1

S = T 1 - i HI(x)HI(y)d⁴xd⁴y

2!

-8 -8

d'où: Sfi = (f|S|i)

R +8

Sfi = h0|d^íe

_k'_ó'b^e kób^íu

_p'_s'T[1 - i R +8

-8 HId⁴x - 1 -8 HI(x)HI(y)d4xd4y]bu+

ps |0)

2!

J +8

Sfi = (O|d^íe

_k'_ó'b^e kób^íu

p's' T[ - 1 HI(x)HI(y)d4xd4y]bu+

ps |O)

2!

J +8

-8

= 'O| díe

k'ó' be _kó bíu

p's' T[ - 1 : HI(x) :: HI(y) : d4xd4y] bu+

ps | O)

2! -8

+8

fi=

4 k

S -1 (0|dM 'b

ó ^k p

e _ób^u_s'd⁴xd⁴y T [g

2 : {(ø_e (x)ã^u (1 + ã⁵)ø_íe (x))W_u^-(x)

-8

+(ø_íu(x)ã^u(1 + ã⁵)ø_u(x))W_u⁺ (x) + C.C} :

_×gw

2

: {(ø_e(y)ã^í (1 + ã⁵)ø_íe)W_í^- (y) +(ø_íu(y)ã^í(1+ ã⁵)ø_u(y))W_í⁺(y) + C.C} : ] b;',:|0)

On développe ce terme, on trouve :

--96,

2 f-Foo

Sfi=--

(0|be bíu

k'ó' kó _p' _s'

T [ : (ø_e (x)ã^u (1 + ã⁵)ø_íe (x)W_u^- (x))(ø_e (y)ã^í (1 + ã⁵)ø_íe W_í^- (y)) : |._z}

(A)

+ : ((ø_e(x)ã^u(1 + ã⁵)ø_íe)W_u^-(x))(ø_íu(y)ã^í(1 + ã⁵)ø_u(y)W_í⁺(y)) : | _{z }

(B)

+ : ~ø_íu(x)ã^u(1+ ã⁵)ø_u(x)W_u⁺ (x)) (ø_e (y)ã^í (1 + ã⁵)ø_íe W_í^- (y)) :

|..(%)

+ : ~ø_íu(x)ã^u(1 +ã5)øu(x)Wu + (x))ø_íu(y)ã^í (1 + ã⁵)ø_u(y)W_í⁺ (y)) : ^|"(r)

] × d⁴xd⁴y b^u+_ps|0)

Plus des termes qui donnent zéro.

En tenant compte des relations de commutation et d'anti-commutation suivantes : [W_í^#177;(x), b⁺] = [W_í^#177; (x) , b] = [W_í^#177; (x) , d] = [W_í^#177; (x) , d⁺] = 0

{ø(x),bk_ó} = ?^*kukó bkó øk = -øk _bkó + ?^*kukó

{dk''ó'',øk''}= ?* _k''v_k''_ó'' d_k'' _ó'' ø_k'' = -ø_k'' d_k'' _ó'' + ?* _k''v_k'' _ó''

{ø(x),b⁺_ps} = ?(x) ups ø(x) b⁺ps = -b+ _psøp + ?_p ups

On trouve que le premier terme (A) et le quatrième terme (D) de la dernière relation de Sfi sont nuls, à cause de l'existence des opérateurs b⁺ et b respectivement, qui commutent avec tous les champs de ces deux termes jusqu'à ce qu'ils agissent sur (0| et |0) respectivement, pour donner zéro. Donc, il nous reste que deux termes qui ne sont pas nuls ; le deuxième (B) et le troisième (C), qui sont égaux d'après la définition du produit chronologique T. Nous allons les simplifier en commençant par le deuxième terme (B):

En utilisant le théorème de Wick, T(B) s'écrit facilement comme un produit de contractions, qui sont soit des anticommutateurs pour les fermions, soit un propagateur WW.

Le propagateur bosonique sera :

× e-iq(x-y)

(0|T[W_u^-(x)W_í⁺(y)1|0) = W_u^-(x)W_í⁺(y) × è(x0 - y0) + W_í⁺(y)W_u^-(x) × è(y0 - x0) Zd⁴q äuí + qlli£dt

(0|W u ^-(x)W_í⁺(y) |0) =

i(2ð)⁴ q² + M²_W - io

En effet :

16 -8

Sfi 2gW2 f+8 d4xd4y [ (?: (x)uî(ã^u (1 + ã⁵)?_íe (x)vp )(?^*(y)upY (1 + ã⁵)?_u (y)u;, )1

+8 ä

quqí

× 1

d4q uí MZ iq(x - y)

J^.

i(2ð)⁴ -8 q2 io

e

e (+8 [ r8 +8

d4q _d4_xei(q-k-k^') _d4_yei(p-q-p^')

_v

S i 1 fi 8(2ð)⁴ ,V2E_p2E_p'2Ek2Ek'V⁴ L8

-00 -

8

(uîjã^u(1 + ã^5)v^íek'u^íi£p'ã^í(1 + ã^5)/e) ×

+ quqí uí 1 M^2w q2 +M^2w -io

1 +8

Sfz 8(2ð)⁴ . =^Wd⁴q [(2ð)⁴ä(q - k - k^') (2ð)⁴ä(p^' - q - p^') ,V2E_p2E_p'2Ek2Ek'V⁴ f8

(u^e+ ã^5)v^íek'up^'ã^í(1 + ã^5)u4;) ×

+ quqí uí 1 M^2w q2 +M^2w -io

)_upp)_í

äuí

Sfi ieW (270⁴ ' '

8(p - p - k - k) (u^e_k^u (1 + ã⁵)v^íe_k'u^íi£_p'ã^í (1 + ã⁵)u;^,,) × Mw²₂ 8 ,V2 E_p 2E_p'2 Ek 2 Ek'V4p-p+ MI2D - io

Comme les composantes des impulsions p et p' sont négligeables devant la masse de W, c'est-à-dire : MW » p, p'.

Donc ils seront négligées dans notre cas non-relativiste :

äuí M²W .

qi£q'

uí M2 W
_q2 Ml247 io ~

Finalement nous obtenons :

ig² (2ð)⁴ä⁴(p - p^' - k - k') [ue ]

W

Sfi = _kóã^u(1 + ã⁵)v^íe _p'_s'ã^u(1 + ã⁵)u_ps

8M² /2Ep2Ep'2Ek2Ek' k'ó'uíu

W

Diagrammatiquement, nous avons:

Fig. 2 : La désintégration du muon via échange de boson vectoriel

On voit que ce résultat ressemble bien à ce celui de la théorie de V-A sauf les constantes de coulage qui les différent. On est retombé sur la même trace de la méthode précédente, donc sans refaire le calcul, on prend directement le résultat trouvé et l'injecter ici. Mais avant de procéder à cette étape on compare les deux résultats pour extraire les deux constantes de couplage par la relation suivante :

	GF	g2 W
tel que :	v2	8M2 W

GF : est la constante de couplage de Fermi.

gW: est la constante de couplage de la méthode des bosons vectoriels. MW: est la masse du boson mis en jeu dans l'interaction.

Nous avons illustrer dans cette section la nécessité d'introduire les bosons vectoriels massifs pour le processus de la désintégration du muon. C'est -à-dire que le muon se désintègre en un neutrino muonique plus un boson massif, possédant une durée de vie extrêmement petite, qui à son tour va donner un électron et un neutrino électronique. La particule d'échange (W) a une impulsion p' et une énergie _E~p, mais E2 p~=6 ~p² + M2 W . Nous disons que cette particule est virtuelle.

Cette interprétation est valable même au niveau des particules composées de quarks, où dans ces cas, c'est les quarks qui interagissent. Prenons l'exemple qu'on a déjà traité ^àla section (I), la désintégration du neutron. Le neutron est composé de trois quarks (udd),

lors de la désintégration un quark down (d) change de saveur pour devenir un quark up (u), en émettant un boson W qui immédiatement donne un couple de fermions (électron et un neutrino électronique). Mais les deux autre quarks n'interagissent pas, ce qui nous permet d'avoir à la fin trois quarks (uud), qui est la structure du proton en quarks.