Résultat :
| k| et | k'| sont positifs et vérifient (2),
(3) et (4).
? ?????????
?????????
V- {z -,
=A
0 = | k| =
mL - Ek - | k|
k'| = mL - Ek +| k|
2 2
2mL
V- {z }
=C
m2 L - m2 e
= |
V- {z -,
=B
(l'équation (1) découle maintenant de (3) et est
donc superflue).
(2), (3) et (4) ?
On intégre /| k'| :
|
Z B
A
|
( )
| k'|(m2 L - m2 L - m2
d| k'| e e
) - mL| k'|2 = m2 (A2 -
B2) - mL (B3 - A3)
2 4 3
|
)2 + | k|2
k| ((mL - Ek ) - mL
12 | k|[3(m L - Ek
m2 L - m2 e
4 |
=
|
Z
G2 F d| k||
= F = ð3
|
k|2 (m2 L - m2 e (mL - Ek ) - m L
[3(m L - Ek )2 + | k|2]) Ek 4 12
|
0 = | k| =
q
m2 L - m2 e
C = ; Ek = k2 + m2
2mL
m2 L - m2 e
2mL
est équivalent à: me = Ek = m2
u+m2
2mu .
e
De plus | k|d| k| EkdEk (changement de variable car E2 k =
k2 + m2 e). En posant | k| = me; Ek
= mevx2 + 1
d| k| = medx; x : 0 m2 u-m2
2mume ;
e
On obtient :
GF me
F=
Zð3 0
m2 u-m2 e
2mume
~ m2 ~
x2 L - m2 x2 + 1) - mL (3mL - me v
e (mL - me v x2 + 1)2 - mL
dx vx2 + 1 12 x2
4 12
L m5 ~
G2 - m8
F L
F = 192 - m3 24 + mLm 4
Lm2 ) + m6
e e
8 ln(mL
e e
ð3 me 24m L 192m3 L
|
G2F
i = ð3
|
m5 u
192
|
? l
)4 ln (m u ) + 8( me
? 1 e
-8( me )2 + 24( me )6 - m8
]
|{z} mu mu me m u m4 u
~
C'est le terme dominant car : 8( me )2 ?2
× 10-4
mu
|
Le résultat est identique à celui de [2]. Remarque
:
et ln(x + vx2 + 1). La probabilité de trouver
le bon résultat est nulle si on fait ce calcul
àL'intégrale peut se faire à la main. La
primitive s'exprime en fonction de xn, vx2 + 1
la main. Nous avons fait ce calcul en utilisant le logiciel
MAXIMA (libre!). Le code est :
f(x) :=integrate(
me^2 *
x ^2/sqrt (x^21)+*
(
(mu^2-me^2)/4 * ( mu-me *sqrt(x^21))+
- mu/12 * ( 3 * (mu-me *sqrt(x^21))2 + +
me^2 *x^2 )
)
, x) ;
f(x);
subst ( asinh(x) = log(mu/me) , % ) ;
subst ( sqrt(x^21)=(mu2++ me^2)/2/mu/me , % ); subst (
x = (mu^2 me^2)/2/mu/me , %);
expand(%);
| 
