L'interaction Faible et les Bosons intermédiaires

2.2 La théorie V-A

En 1957, on découvrit que les interactions faibles n'étaient pas invariantes par rapport à une réflexion spatiale (la parité étant violée dans ces réaction). Ainsi le lagrangien devait comprendre non seulement des termes invariants (par parité) du type (øãuø) (øãuø), mais aussi une combinaison de termes pseudo-scalaires tel que (øãuø)(øãuã⁵ø). Ce fut en 1958 que Feynman et Gell-Mann trouvèrent la forme du Lagrangien de Fermi décrivant les réactions faibles. Cela revient à remplacer ãu par ãu(1 + ã⁵) dans le lagrangien précédent. D'où le nom de théorie V-A.

On procède de la même manière que la théorie ci-dessus pour calculer les quantités physique comme la durée de vie moyenne, vitesse de désintégration, les masses, ... Comme on l'a déjà dit, le lagrangien devient :

GF (ø_a(x)ã^u(1 + ã⁵)øb(x)) (ø_c(x)ã^u(1 + ã⁵)ød(x)) + C.C LI = _v2

Où les indices (a, b, c, d) sont les quatre particules d'interaction.

2.2.1 Désintégration du muon dans la théorie V-A

Dans cette partie on va s'intéresser à la désintégration du muon.

GF

LI = _v2[ø_e(x)ã^u(1 + ã⁵)ø_íe(x)][ø_íu(x)ã^u(1 + ã⁵)ø_u(x)] + C. C.
Pour alléger la notation, les indices spinoriels ont été omis dans les calculs intermédiaires.

|i) = |ups) = b(u)+

ps |0)

hf | = h0 |d(íe)

k'_ó'b^(e)

kó b(íu)

_p' _s'

A l'ordre GF:

f d4xiGF

Sf i = (0|d^(íe)b^(e)b^(íu) _v2[ø_eã^u(1 + ã⁵)ø_íe(x)]

× [ø_íuã^u(1 + ã⁵)ø_íu(x)]b^(u)+|0)

f d4xiGF

= _v2{ø_u, b^(u)+}{b^(e), ø_e}{d^(íe), ø_e}{b^(íu), øí_u}

× [ã^u(1 + ã⁵)] [ã^u(1 + ã⁵)]

Z d4xiGF Sfi = v2 /2EpV eikp ukó ups v2EkV e

ik x vk^'ó^' e-ik'x ^up's' e-ip^'x v2Ek'V p2Ep'V

×[ã^u(1 +ã⁵)][ã^u(1 +ã⁵)]

Donc

Sfi=

iGF (2ð)ä(p - p^' - k - k^')

v2 J2Ep2Ep'2Ek2Ek'V2

×[u^(e)

_kóã^u(1 +ã⁵)v^(íe)

k'ó'] [u(íu

_p'_s'ã^u(1 +ã⁵)u^(u)

_p'_s'].

Remarque :u^(u)

p_setu^(íu)

p_ssont différents.

Ils vérifient par exemple :

_X
s

_u(u)

ps u(u)

ps = -ip/ + m_u

_X
s

_u(íu)

ps u(íu)

ps = -ip/ + m?0 _íu= ip/

|Sfi|^2 T	=	G2 F (2ð)^4ä(p - p^' - k - k^')
		2V^32Ep2Ep'2Ek2Ek' ×Tr{u^(e)ã^(u) (1 + ã^5)v^(íe)v^(íe)ã^4(1 + ã^5)ã^áã^4u^(e)} ×Tr{u^(íu)ã^u(1 + ã^5)u^(u)u^(u)ã^4(1 +ã^5)ã^áã^4u^(íu)}

La vitesse de désitégration est :

X (u^- -? e - + íe + íu) = |fi

|Sfi|^2 T;

X |fi

Z >1 2 d3p'd3kd3k' V ^3 = (2ð)9 ó,ó^',s^'=1

On utilisera aussi le fait que le muon initial est non polarisé, donc

1

uu psu u ps = ₂(-ip/ + m_u)

s=1

GF = = 4(2ð)5

Z d3p' 1 d^3k d^3k^' 2Ek' ä (p - p^' - k - k^') 2E p 2Ep' 2Ek

×Tr{(-ik/ + m_e)ã^u(1 + ã⁵)(-ik/^' + 0)ã⁴(1 + ã⁵)ã^áã⁴}
×Tr{(-ip/^' + 0)ã^u(1 + ã⁵)(-ip/ + m_u)ã⁴(1 + ã5)ãáã4}

Nous avons supposé que les neutrinos avaient une masse nulle. Calcul des traces :

On a:

(1 + -y⁵)m₁,-y⁴(1 + -y⁵) = (1 + -y⁵)(1 - -y⁵)-y⁴m₁, = 0

De même pour le terme en m_e. On posera donc m1, = m_e = 0 dans les traces. On simplifie les -y⁴ :

Tr(...-y⁴-y^a-y⁴)Tr(...-y⁴-y^a-y⁴) = Tr(...-y⁴-y⁴-y⁴)Tr(...-y⁴-y⁴-y⁴) + Tr(...-y⁴-yⁱ-y⁴)Tr(...-y⁴-yⁱ-y⁴) = Tr(...-y^a)Tr(...-y^a);

on a utilisé

(...-yⁱ-y⁴)(...-yⁱ-y⁴) = +(...-y⁴-yⁱ)(...-y⁴-yⁱ)

Nous devons donc calculer :

(I) = 4Tr[kb-y^1,kb^'-y^a(1 --- -y⁵)]Tr[pb^'-y^1,pb-y^a(1 - -y⁵)] Dans notre calcul, on a deux types de traces à calculer :

Tr(-y^1,-y^u-y^°-y³) et Tr(-y^1,-y^u-y^°-y³-y⁵)

Rappel :

(-i)⁴ = 1; (1 + -y⁵)² = 2(1 + -y⁵)

Tr (-y^1,-y^u) = ₂Tr(-y^1,-y^u + -y^u-y^1,)
1

= Tr(81,uI4x4)

= 481,u.

Tr(-y^1,-y^u-y^°-y³) = Tr[-y^1,-y^u(--y³-y^a + 28_a3)]

= 881,u8á3 - Tr[-y^1,(--y³-y^u + 283_u)-y^a]

= 881,u8o3 + Tr[(--y³-y^1, + 283₁,)-y^u-y^a] - 883u81,a = -Tr(-y³-y^1,-y^u-y^a) + 881,u8á3 - 883u81,a + 881,38ua Tr(-y^1,-y^u-y^°-y³) = 481,u8a3 - 481,á8u3 + 481,38uá.

Donc :

Tr(kb-y^1,k^'b-y^a) = k_uk^'3Tr(-y^u-y^1,-y^beta-y^a)

= kuk^'3[48u1,83 --- 48u381,á + 48u,81,3]

= 4k1,k? á --- 481,kk^' + 4kák' 1,

De même pour Tr(p^'b-y^1,pb-y^a) = 4p^' - up_á + 4p^'_ap1, - 48 1,ap^'p

Si on remplace -y⁵ par -y¹-y²-y³-y⁴, on pourrait calculer Tr(-y^1,-y^u-y^a-y³-y⁵) de la même manière

que précédemment ; le résutat contiendrait des termes _{8li18u28a3834+} toutes les permu-
tations des indices iii, v, a, l3, avec des signes #177;. Le résultat serait complètement anti-

symétrique dans l'interchange de deux indices quelconques ; le résultat est proportionnel à cliua3 défini complètement anti-symétrique et c1234 = +1. Une autre manère de voir ceci est de considérer :

Tr(-y^li-y^u-y⁵) = 0

En effet :

Si iii = v, -yli-y^u = 1, et Tr-y⁵ = 0

Si _iii =6 v, ex : _iii = 1, v = 2, alors Tr(^-y¹-y²-y⁵) = Tr(--y³-y⁴) = 0

Considérons Tr(-yli-y^u-y^a-y³-y⁵) :

Si deux indices sont les mêmes, ex : _iii = v, alors -yli-y^u = 1, et on a Tr(-y^a-y³-y⁵) = 0. Donc tous les indices doivent être différent, sinon c'est zéro.

-y⁵) = -4

Si tous les indices sont différents, ex : iiival3 = 1234 = Tr(-y^li-y^u-y^a-y³-y⁵)Tr(-y⁵-y⁵) = +4 Un autre exemple : iiival3 = 3214 = Tr(-y^li-y^u-y^a-y³-y⁵) = TrQy³-y²-y¹-y⁴

-v- }

-₁,5

Cela donne le résultat simple :

Tr(-yli-yu-ya-y3-y5) = _4cliua3

Nous avons donc :

(I) =Tr[k/-y^lik^'/-y^a(1 --- -y⁵)]Tr[p^'/-y^lip/-y^a (1 - -y⁵)]

= 4(4klik^'_a + 4kak^'_li - 48liakk^' - 4c^Pliaak^Pk^'a)

×(4p_lip^'_a+ 4pap^'_li --- 48liapp^' - 4cP'lia'ap'P' pa')

Quand on développe cette expression, on aura des termes qui contiennent un tenseur cPliaa, anti-symétrique en _iii et v. Ces termes seront multipliés par des termes comme plip^'_a + _pap'li, symétrique en iii et a. Cela donne zéro pour ces termes.

Ce qui reste sont des termes avec z~ro tenseurs c, et des termes avec deux tenseurs c. Termes sans c :

64(kp k^'p^'+kp^'k^'p-kk^' pp^'+kp^' k^'p+kp k^'p^'-kk^' pp^'-kk^'(pp ^'+pp^' -4pp^')) = 128(kp k^'p^'+kp^' k^'p) Termes avec c :

64 cliaPacliaP''' .. J-..- ?

kPk'a p'P^' pa^'

Ce terme est nul à moins que p = p^' et u = u' ou p = u^' et u = p'

En effet : iii et a sont sommés : prenons par exemple iii = 1 et a = 2. Alors

On aura donc :

E12paE12p' a' -- =

{

+1 si p = 3, a^- = 4, p^' = 3, a-^' = 4 , - 1 si p = 3, a^- = 4, p^' = 4, a-^' = 3 , +1 si p = 4, a^- = 3, p^' = 4, a-^' = 3 , - 1 si p = 4, a^- = 3, p^' = 3, a-^' = 4 , 0 ailleurs .

_Efcpe Efap' a' ~ 8 8 ¹-8 ¹

pp' a a p8a a p'

Donc

_Euapc Eiwp' c' = N ( 8pp^' 800^' -- _8p0' 8_{0 p}' ) ; il faut trouver le nombre N

On prend { a- ^P P 3

= a-^f =4

{

Epa34Epa34 = N; les valeurs possible de iiiet v : iii = 1=v = 2 _iii = 2 = v = 1 =2 = N

Donc les termes avec 2E donnent :

64 × 2(8_pp'8' - 8 pa'8,p')kp _k?ó _p'p^' pa' = 128(kp^' k^'p - kp k^'p^')

Résultat :

4Tr[k/-y^uk/^'-y^a(1 - -y⁵)] Tr[p/^'-y^up/-y^a(1 - -y⁵)] = 256(kp^')(k^'p)

Remarque : De nos jours, il est beaucoup plus simple de faire ce calcul de trace avec un ordinateur. Facile d'écrire le code, et le résultat est assuré! ! Voici le code avec le programme FORM :

#-

Off statistics;

ü k, kp, p, pp;

I mu, al;

.global

L aa =

g_ (1, k)

* g_ (1, mu)

* g_ (1, kp)

* g_ (1, al)

* ( 1- g5_ (1) )

*

g_ (2, pp)

* g_ (2, mu)

* g_ (2, p)

* g_ (2, al)

* ( 1 - g5_ (2) ) ;

trace4, 1;

trace4, 2;

print;

.end

Après compilation de ce programme, le résultat qu'on a obtenu est :

aa = 64 (kp^') (k^'p)

La vitesse de désintégration devient :

f d3p'

G2 d³k d³k^'

F

F = 2Ek' ä(p - p^' - k - k^') (kp^')(k^'p)

ð⁵E p 2E_p' 2Ek

Il faut intégrer! (de manière intelligente!). Nous calculons F dans le référentiel propre du muon, c-à-d p = (^~O, im,). La durée de vie ô, = ~ dans ce référentiel.

Dans un autre référentiel où le muon a une vitesse ~v, sa durée de vie sera ô~v =ôu

q

1- v2 _c2 (dilatation du temps).

On a : p~ = Ô'

? ??? ???

E p = m, k^'p = -m,Ek' = -m,|^~k^'| (^~k^' pour øíe) kp^' = k(p-k-k^') = -Ekm, +m2 e -kk' ä(p - p^' - k - k^') =ä(^~v^' + k^~ + ^~k^')ä(m, - Ep' - Ek - Ek')

Intégrons par rapport à d3 _p'. (^~p^' impulsion deí, final)

Cela revient à éliminer ä(^~p^' + k^~ + ^~k^') et faire les remplacements : ^~p^'-? -(~k+ ^~k^' ; donc E_p' -? |^~k + ^~k^'|

on a:

f d3k

G2 d³k^' 1

F

F = m,|~k'|(-m2 _e +m,Ek+^~k^~k^'-EkEk')ä(m,-|^~k+ ^~k^'|-Ek-Ek')

ð⁵E_p 2Ek 2Ek' 2|^~k + ^~k^'|

^~k|| ^~k^'| cosè.

Ce que nous devons intégrer ne dépend que de Ek' = |^~k^'|, de |^~k|, et ^~k^~k^' = |

La fonction de Dirac ne contribue que si son argument est nul. Comme son argument dépend de | ^~k|, | ^~k^'| et cos è = z, alors certaines limites seront imposées à|^~k^'| et|^~k| qui normalement vont de O à l'infini. Voyons comment cela fonctionne:

Physiquement, les énergies, Ek et Ek' ne peuvent dépasser m,, sinon nous allons faire intégration sur d3k'.

On écrit d³k^' = |^~k^'|²d|^~k^'| sin èdèdö; è est mesurée par rapport à ^~k^' [la direction de k~ sera appelée l'axe des z].

L'intégration sur dö donne 2ð. On fixe |

^~k^'| et on intègre sur R 2ð 0dè sin è.... La fonction

de Dirac nous sera utile pour faire cette intégration. On écrit :ä(m_u - Ek - Ek' - |^~k + ^~k^'|) = ä(f(z)) avec z = cos è ?> R 2ð

₀dè sin è... = R 1 -1dz....

Nous devons résoudre f(z) = 0;

ä(z - z0)

et utiliser ä(f(z)) = |f'(Z)| ; (z0 solution)

qf(z)=m_u -Ek- |k^'| - ^~k² + ^~k^'2 + 2|^~k||^~k^'|z = 0

(m_u - Ek - |^~k^'|)² = ^~k² + ^~k^'2 + ^~k^~k^'z

^~k^'|)²-^~k²-^~k^'2

2|

^~k||

z = (mu-Ek-|

~k'| = z0

On a aussi f^'(z) = -|

vm_u-Ek -|

~k'| |f^'(z0)| =

^~k||^~k^'|

|

m_u

-Ek-|~k'| (le dominateur est =6 de 0 )

^~k||

^~k^'|

Remarquons que z varie de -1 à +1. Donc toute valeur de z0 tel que : |z0| > 1 ne donne aucune contribution. Ceci limite les valeurs de|^~k| et|^~k^'| possibles à:

~~ = 1 (en d'autre termes, z0 = cos è et on n'accepte que | cos è| ? 1)

~~

^~k^'|)²-^~k²-^~k^'2

(m_u-Ek-|

^~k||^~k^'|

2|

Ceci définit une région d'intégration pour les variables |^~k| et|^~k^'|. Nous appelons cette région ~. On a donc:

1

_Z

G2 d³k |^~k^'|²d|^~k^'|

F

~ = ð⁵m u 2Ek 2Ek'

Ù

2|^~k+ ^~k^'|
_z }| {
1

2(m u -Ek - Ek')^mu|

^~k^'|

×(m_uEk -m2 e - EkEk^' +|~k||~k'|z0) ₍mu - Ek - Ek^'₎

|^~k||^~k^'|
| _{z -I

1

|f'(z0)|

On remplace z0 :

|-. k||^-. k^'|z0 = (m_u - Ek - Ek')² - ^~k² - ~k'2 2

On utilise Ek' = | ^~k^'|, et on simplifie : L'avant dernière parenthèse se réduit à:

(

m2 u

2

m_u| ^~k^'|)

m2 e

2

_f

G2 d³k |^~k^'|d|^~k^'| ₍m²

F 2 - m2

u

~ = ð5 (2ð) 2 - m_u|^~k^'|)

e

2Ek 4|^~k|

Ù

tel que :

_{f f}

d³k... =|^~k²|d|^~k|(4ð)...

G^2F i = ð5

f (8ð)2 d|^-. k|d|^-.k^'|^|~k| | 8 Ek Ù

^~k^'|(

m2 u 2

m2 e 2

mu|

~k'|)

Il nous reste à préciser cette région pour définir les bornes d'intégration sur |^~k| et|^~k^'|.

VNote : Ek = ^~k² + m² _e.

~ est défini par : |z0| = 1

-2| ^~k|| ^~k^'| = (m_u - Ek - | ^~k^'|)² - ^~k² - ^~k^'2 =2|^~k||^~k^'|

(|^~k| - | ^~k^'|)² = (m u - Ek - |^~k^'|)² = (|^~k| + |^~k^'|)²

On utilise deux fois : a² - b² = (a - b)(a + b)

(m_u - Ek+ |^~k|)(m_u - Ek- | et

(m_u - Ek - | ^~k|)(m_u - Ek + |

^~k| - 2|^~k^'|) = 0

^~k| - 2|^~k^'|) = 0

? ?

?

La première in~galité (m_u - Ek + |^~k|)(m_u - Ek - |^~k| - 2|^~k^'|) = O n'est vrai que si l'un est positif et l'autre négatif. Le premier terme est plus grand que le 2^eme, donc :

{

m_u - Ek + |^~k| = O (1)

m_u - Ek - |^~k| - 2|^~k^'| = O (2)

La deuxième inégalité (m_u - Ek - |^~k|)(m_u - Ek +|^~k| - 2|^~k^'|) = O n'est vrai que si

les deux positifs, car le premier terme (m_u - Ek - |^~k|) ne peut être négatif! (sinon il y a contradiction avec l'équation (1) ci-dessus).

Donc:

(3)

m_u - Ek + |^~k| - 2|^~k^'| = 0 (4)

_{mu - Ek - |^~k| = 0