L'interaction Faible et les Bosons intermédiaires

Chapitre 2

La Théorie de Fermi

2.1 La théorie de Fermi à quatre points

L'Italien E. Fermi s'intéressa à l'interaction faible, en donnant une interprétation à la désintégration â en postulant l'existence d'une nouvelle particule qu'il a appelée neutrino; cette interprétation est une conséquence des lois de conservations de l'énergie et de la quantité de mouvement au cours du processus. Cette nouvelle particule doit posséder les propriétés suivantes : charge électrique zéro, masse au repos zéro, spin intrinsèque (à), vitesse comme celle de toutes les particules sans masses, C (vitesse de la lumière).

n ? p + e^- + í_e

Ce fut la première application importante des idées qui venaient d'être développées en électrodynamique quantique, notamment par P. A. M. Dirac, W. Heinsenberg, W. Pauli, P. Jordan, E. P. Wigner et par Fermi lui même. Dans l'article de Fermi, ce dernier affirme que, d'après la théorie du rayonnement électromagnétique, le nombre de photons dans un système n'est pas constant; les photons sont créés lorsqu'ils sont émis par un atome, ils disparaissent lorsqu'ils sont absorbés. Ainsi dans sa théorie de la désintégration â il postule que »le nombre d'électrons aussi bien que celui de neutrinos n'est pas nécessairement

constant. Electrons (ou neutrinos) peuvent être créés ou détruits». Le noyau étant ^regardécomme constitué de protons et neutrons, Fermi dit que l'hamiltonien doit être expriméen fonction des variables des nucléons et des leptons et choisi de telle façon que chaque

transition d'un neutron dans un proton doit être associée avec la création d'un électron et d'un neutrino (aujourd'hui, on le sait, c'est l'anti-neutrino qui accompagne l'électron dans des réactions où le nombre leptonique est nul).

La préoccupation de Fermi était de décrire les expériences sur les rayons â émis par les noyaux et par conséquent sa théorie avait pour but de décrire des électrons et des neutrinos créés et qui se propagent librement comme les photons dans l'émission de la lumière. Il a donc remplacé le champ électromagnétique A_u(x) dans le lagrangien d'interaction de ce champ avec le courant électromagnétique

J^u(x) = iø(x)ã^uø(x) (2.1)

à savoir

L_ã = ie(ø(x)ã^uø(x))A_u(x)

par l'expression qui décrit la création d'un électron et d'un anti-neutrino - le courant faible chargé leptonique de la famille electron, à savoir ø_e(x)ãuø_í(x) .

Ainsi que^GF_v2 est la constante qui remplace dans cette théorie la charge (e^-) et qui exprime l'intensité des interactions faibles, Fermi a postulé le lagrangien d'interaction de sa théorie des rayons â:

LWeak =

^-GF(øp(x)ã^uøn(x)) (øe(x)ã^uøí(x)) v2

L'analogie avec l'électrodynamique l'a incité à choisir l'interaction vectorielle.

2.1.1 La désintégration du neutron

Fermi a postulé le Lagrangien de l'interaction faible(la désintégration â^-)comme suit :

Fig. 1: La désintégration du neutron
L = L0 + LI

Tel que

L0 : est le Lagrangien libre

LI : est le Lagrangien de l'interaction de toutes particules.

GF_)] LI = -_v2 ~(ø_pã^uø_n )(øeãuøíe ) + (ønãuøp ) (øíeãuøe

et

L_o = -ø_n(?/ + mn)øn - ø_p(?/ + m_p)ø p - ø_e(?/ + me)øe - øí_e?/øíe Les solutions du champ de Dirac libre sont de la forme :

Xølibre = }{b~p s~ ?~p u~p~s + d+ ~p~s ?* p^. v~p~s

~ ~ p s

où ?-_p(x) = /ipx

v2VEe^.

Dans notre cas les solutions pour chaque type de particules s'écrit : ø(e)=E { b⁽_kt ?^-k' u⁽;⁾-_' + d^(e)+-k'^-_ó' ?^*-k'v^(f'^)-'

- -
k^'ó^'

ø(p)=E ^-k^-ó ø(n)=E ^-p^-s		{b(p) } -k-ó?-k u(p) -k-ó + d^(p)+-k^-ó ?^*k^- v k-( pó {b^(n)?-pu;e^( )+d(e)p,(4v;.( )}
E ø(íe) = k'' - - ó''	{b(7)i' ? 7' u^(1-^' ·^e)-+d^(íe);^+cit 71 (10*- v(íe) k^" ók k'' k?^- -ó?

L'interprétation des différentes opérateurs est :

b^(n)+-p^-s : opérateur de création de la particule n(neutron).

b^(e)+_k'^-

_ó': opérateur de création de la particule e(électron).

-

b(p)+-k-ó : opérateur de création de la particule p(proton).

b(íe)⁺-

_k?

- '': opérateur de création de la particule í_e(neutrino électronique)

ó

et

d^(n)+-p^-s : opérateur de création de la anti-particule n(anti-neutron).

d^(e)#177;

_k'

_ó': opérateur de création de la anti-particule e⁺(positron).

-

d^(p)+-k^-ó : opérateur de creation de la anti-particule p(anti-proton).

d(íe)-

_k?

_ó'': opérateur de création de la anti-particule í_e(anti-neutrino électronique).

-

On a par définition

ø =ø⁺ã⁴

Donc

ø(e) = E

- -

_k' _ó'

ø(p)=E

^-k^-ó

ø(n)=E

^-p^-s

{

b(e)#177;.-* ,#177; _d(e)+} 4
k^'ó^' ?k-' _kl_c7 ?k' vkló' ã
{_b(p)#177; d(p) } 4

kó, ? (p_k V _Kif. -y

{

bn++ d^(e) (0,e⁺ }-y ps?p^-p^-s/5`s^- , ,

ø(íe) -- E = - - k»ó»

{b(íe)+ ? + ,}ã^4

Calcul de la densité hamiltonienne

H =H0+HI

Comme on a:

H = _X ðøiøi - L

i

Alors

HI = -LI

Pour pouvoir calculer les probabilités et les durées de vies moyennes des particules, lors de l'évolution de l'état initial : un neutron à l'instant t = -8 à l'état final : un proton, un électron et un anti-neutrino électronique à l'instant t = +8.

On définit le produit chronologique des champs qui range les temps d'une manière décroissante de gauche à droite tel que :

re-i R +8

-8 HId4x

S = T

[ Z +8 Z +8

HId⁴x + -1

? T 1 - i HI(x)HI(x)d⁴xd⁴x + . . .

2!

-8 -8

On arrête le développement au 1^er ordre, dans l'approximation de Born :

~ Z +8 ]

GF [(ø_pã^uø_n)(ø_eã^uø_íe) + (ø_nã^uø_p)(ø_íeã^uø_e)]d⁴x S = T 1 - i _v2

-8

La densité de probabilité d'évoluer de l'état initial |i) àt = -8, vers l'état final |f) àt = +8 est définit par:
Sif = (f|S|i)

Maintenant on l'applique ici pour notre cas :

|i) = |1n~p~s>= b(n)+ ~p,~s|0)

|f) = |1P~k~_ó,1e^{- ~}k~ób^(e)+

_k' ~

~ ó', 1íe k» ~ ~ ó») = b(p)+ _k' _ ó' d(íe)+

~ k» ~ _ó»|0)

~

(f| = (0|d(íe) ó »b(e) ~ ó' b(p)~k~ó

k» ~

~ _k' ~

D'où

~ [ +8 GF Sfi = (0|d(íe) ó» b(e) ~ k» ~ ~ k' ~ ó'b (p) k~ó T 1 - i v2 -8

~(øpã^uøn)(øeã^uøíe) ]+(ønã^uøp)(øíeã^uøe)] d4xbn+ ~p~s|0)

Z +8 ~

iGF

Sfi = (0|d^(íe)

_{v2 ó}»b^(e) ó' b(p) k ó [(øpãuøn)(øeãuøíe)

k »

_k'

-8

~+(ønãuøp)(øíeãuøe)I b(n)+ p s |0) d⁴x

On a:

{ø(n), b+(n)

p s } = ? p u(n)

p s

øn b(n)+ p s = -b(n)+ p s ø_n + ? p u(n)

p s

_X

{øp,b(p) _{k ó}} =

k ó

?* _kv(p)+

k ó {b(p)+ k ó, b(p)

k ó }ã4

On utilise pour le calcule de l'intégrale :

+8 d4y

ä4(p -i(p_x -p-q)y

_Z

x - p - q) = (2ð)4 e

- 8

= ?* _kv^(p)

k ó

b(p)

k ó ø_p = -øp b(p)

k ó + ø* k v(p)

k ó

{ b(e)

k' ó', ø_e} = ?* k' u(e)

k' _ó'

b(e)

k' _ó'ø e = -ø e b(e)

k' ó' + ø* k' u(e)

k' _ó'

{d(íe) k'' v

_k''

_ó'', ø(í_e)} = ø* _k'' _ó''

d(íe) ó ''ø(íe) = -ø(íe) d(íe) k'' v k'' _ó''

_k''

_k''

ó'' + ø*

Alors

iGFZ +? ó' b(p) k ó(øpã u[? p u(n)

Sf i = (0|d^(íe) I)(ø_eã^uø_íe)b⁽ⁿ⁾⁺

v2 k'' ó'' b(e) p s|0id4x

_k' p s

-8

Car: (0|(b+ p _søn) = 0

Z +8

Sf i = i^GF (0| d(íe)

v 2 k'' ó'' b(e) k' _ó'(?^* _kv^(p)

k ó )ã^u(? _pu⁽ⁿ⁾

p s )(øíeãuøe)|0id4x

-8

Donc

iGFZ +8

Sfi = _v2 (0|(?^* _kv^(p)

k ó )ã^u(?^* _ku⁽ⁿ⁾

p s )(?* _k'u^(e)

k' ó')ãu(?* k''v(íe)

k'' ó'')|0id4x

-8

Z +8

iGF

= _v2 (v^(p)

k ó ãuu(n)

p s )(u(e)

k' _ó'ã^uv k''^(íe) ó'') ?* _k? p?* k'?^* k''d⁴x

-8

D'où

f8⁺⁸ * * = (2ð)
?1^-,.?^-p?_k^-t ?k» 4V² ,VEkE_ktt EpEk^t

4

ä⁴(k + k^t + k^» - p)

Sfi = iGF(2ð)4 (v⁽14^liuV)((u⁽-^e_t⁾,ã^liv !^ue_tt

))ä4(k+k' ? - p)

+ k

4V² ,V2Ek E_ktt EpEkt ka ka k a

La matrice Sfi au carré nous donne la probabilité de transition de l'état initial à l'état final, son calcul est comme suit :

T(2ð)⁸G²_F

= {veã^liue)((uV_eã^live,^e₆⁾_tt)}{ (e9 )+ ãli 41:2 + )}

32 V³EkEk^ttEpEk^t

×ä⁴(k + k^' + k^? - p)

T(271-)⁸G²_F

On pose : A =

32 V³EkE_ktt EpE_kt

| Sfi | 2 = A{(vt.⁾)a(ã^li)as(u_p1),(3(u_p⁽⁾)-r(ã^li)-rË(vt.⁾)Ë}

× {(u⁽iY)t)p(ã^li)p.(v_içr,7)tt).(v⁽_i-r,tt),(ã^li)aÙ(uL)Ù}

On constate que dans la relation précédente, les indices se contractent jusqu'à ce qu'on aura

|Sfi|² = A{(-ik/ - mn)Ëa(ã^li)a,(-ip/ + mp),-r(ã^li)-rË}

× {(-ik/^t+ m_e)Ù,(ã^li)_p.(-ik/^» --- mu_e).c(ã^li)aÙ}

= A Tr{(-ik/ - m_n)(ã^li)(-ip/+ m_p)(ã^li)}

× Tr{(-ik/t + m_e) (ã^li)(-ik/^» - m_ue)(ã^li)}

= A Tr{(-ik_uã^uã^li --- m_nã^li)(-ip_aã^aã^li + m_pã^li)}

× Tr{(-ik^t_uã^uã^li + m_eã^li)(-ik^»_aã^aã^li)}

|Sfi|²= A Tr{-k_uã^uã^lip_aã^aã^li - ik_uã^uã^lim_pã^li + im_nã^lip_aã^aã^li - m_nm_pã^liã^li} × Tr {- k^t_uk^»_aã^u ã^liã^aã^li - im_ek^»_aã^liã^aã^li}

On rappelle que :

Tr(ã^liã^u) = 21 Tr(-eã^u +

= Tr(äliuI4×4)

= 4äliu.

et

Tr(ã^u) = 0.

alors;

|Sfi|² = A{-k_íp_áTr(ã^íã^uã^áã^u) - ikímp ^{Tr(ãíãuãu)+} _imnpá Tr(ã^uã^áã^u)

-mnmp Tr(ã^uã^u)} × {-k^' ík » á Tr(ã^íã^uã^áã^u) - imek» _á Tr(ãuãáãu)} = A(-4k_íp_í - 4m_nm_p)(4k^' _ík^» _í)

Finalement

|Sfi|² = T(2ð)8G2

2 V3EkEk''EpEk' (kpk^'k^' - m_nm_pk^'k^?)

F

Si on passe au calcul de la vitesse de désintégration de ce processus, on trouve un résultat qui n'est pas cohérent avec l'expérience. En effet, le résultat théorique va nous donner une infinité qui est due à l'hélicité du neutrino que cette théorie n'a pas pris en compte (le neutrino a une hélicité gauche).