L'interaction Faible et les Bosons intermédiaires

Chapitre 1

Rappel et formalisme mathématique[3]

Durant la discussion sur la théorie des Interactions Faibles, les propriétés des particules de spin 1/2 jouent un rôle important. Le formalisme de base utilisé pour la description de quelques particules est donné par la Mécanique Quantique Relativiste (M.Q.R). L'équation de mouvement des particules de spin 1/2 et de masse m est donnée par Dirac. Elle s'écrit sous la forme suivante :

(ã^p?_p + m)ø(x) = 0 (1.1)

La fonction d'onde ø(x) est un spineur à quatres composantes. Dans l'équation de Dirac les quatre composantes sont couplées à quatre matrices _ã4×4 qui satisfont les relations suivantes:

{ã^p, ã^í}=2ä p í pour u,í=1-?4

et

(ã^p)² = 1

(ã^p)⁺ = ãp

et la forme de ces matrices est donnée dans la représentation Standard par: (I 0 '\/ 0 -iói ~

ã4 = , ãⁱ =

0 -I iói0

où I matrice unité 2 × 2 et ói sont les matrices de Pauli;

~ 0 1 ~ ~ 0 -i ~ ~ 1 0 ~

ó1 = , ó2 = , ó3 =

1 0 i 0 0 -1

On définit le spineur adjoint ø(x) :

ø(x) = ø+(x) ã4

qui satisfait l'équation du mouvement suivante:

?-

ø(x)( ?/ - m) = 0 (1.2)

Puisque la fonction de Dirac est relativiste, elle satisfait la condition d'invariance de Lorentz, ce qui conduit ø(x) à se transformer de la façon suivante :

ø(x) -? ø^'(x) = Sø(x) (1.3)

où S est une matrice qui vérifie les conditions ci-dessous :

~

S_¹ãPS_¹ = L_{P í}ã^í S_1 = ã⁴S⁺ã⁴ D'où,

'

ø(x) -? ø (x^') = ø(x)S_¹ (1.4)

De (1.3) et (1.4), on voit immédiatement que la forme bilineaire ø(x)ø(x) se transforme comme un scalaire de Lorentz, car :

ø(x)ø(x) -? ø^'(x^')ø^'(x^') = ø(x)S_¹Sø(x) (1.5)

= ø(x)ø(x) (1.6)

De la même manière, on peut définir les propriétés de transformation pour les autres expressions bilineaires formées par les matrices ã; celles-ci sont présentées dans le tableau suivant :

les bilineaires	N^bre de composantes indépendantes	Propriétés de transformation
ø(x)ø(x)	1	scalaire
ø(x)ã^4ø(x)	4	vecteur
ø(x)óPíø(x)	6	Vrai-tenseur
ø(x)ã^5ãPø(x)	4	vecteur axial
ø(x)ã^5ø(x)	1	pseudo-scalaire

On utilise les définitions suivantes :

? ????

????

óPí =

₂(ã^Pã^í- ã^íã^P)

i

et

ã5 = ã¹ã²ã³ã⁴

(ã⁵)² = 1, (ã⁵)⁺ = ã⁵.

La matrice ã⁵ est hérmitienne, et anti-commute avec toutes les autres matrices ã :
{ã^P, ã⁵} = 0

La théorie de Dirac des particules de spin (1/2) est une théorie à une seule particule. La solution de cette équation est donnée par ø(x) décrivant la propagation d'une particule de spin 1/2 et masse m, par contre ø(x) décrit la propagation d'une anti-particule. Cependant, une théorie complètement consistante de particule-anti-particule peut être seulement donnée dans le cadre de la seconde quantification, tel que les propriétés de symétrie des états de plusieurs particules sont proprement prises en compte. Dans le cadre de la quantification de la théorie, le champ ø(x) devient un opérateur agissant dans l'espace des états. Les états sont notés |á). Les opérateurs ø(x) sont choisis de manière qu'ils satisfont certaines relations de commutations imposées à l'avance. La forme de ces champs dans la représentation de fourier est donnée par :

¹ X ø(x) = J2E-pV {b-.p-.ru-.r-.p exp (ipx) + d+ -.p-.rv-.r-.p exp (-ipx)} (1.7)

^-p^-r

1 X

ø(x) = {b⁺

/2E-_pV -.p-.ru-.r-.p exp (-ipx) + _{d-.r-.pv-.r-.p} exp (ipx)} (1.8)

^-p^-r

Où V est le volume, u(p) et v(p) sont des fonctions d'ondes spinorielles, et qui satisfont les équations suivantes :

~

(iãupu + m)uⁱ(^-.p) = 0 (-iãupu + m)vⁱ(^-.p)= O et aussi ils vérifient les relations de fermeture suivantes :

? ????? ?????

2 X i=1 2 X i=1

uⁱ(p)uⁱ(p) = (-ip/ + m), tq. la sommation se fait sur l'indice de polarisation i

vⁱ(p)vⁱ(p) = (-ip/ - m).

Les opérateurs b⁺, b, d et d⁺ satisfont les relations d'anti-commutations suivantes :
^{d+-.p^-.r^, d-.p'-.s} = ä-.p-.p'ä-.r-.s

{b+ ^-.p^-.r^, b-.p'-.s } = ä-.p-.p'ä-.r-.s

Et tous les autres anti-commutateurs s'annulent. Il est consistant d'interpréter ces opérateurs comme étant des opérateurs de création et d'annihilation, par leur action sur l'état du vide, qui s'écrit :

|p,ri = a+ pr|O)

et

a+ _pr|p,ri =a+ pra⁺ pr|O) =0

cules identiques; l'existence de cet état viole le principe d'exclusion de Pauli.

On peut faire le passage, dans l'espace des impulsions, du cas discret au cas continus lors de la sommation sur les impulsions finales, en remplaçant la somme par une intégrale:

_X
p~

_Z

V

f(~p) -? d³~pf(~p)

(2ð) ³

Une expérience avec des particules élémentaires consiste à préparer (définir) un certain système initial. Et ensuite, on s'intéresse à l'état final résultant après interaction. A partir de l'état |i) on peut définir l'état |f) tel que :

|f) = S|i); S: est la matrice de diffusion

En général, l'état initial peut se transformer en plusieurs états finaux; ce qui nous permet de définir la probabilité de chaque transition :

P(i -? f^') = |hf^'|f)|²

P(i -? f^') = |(f^'|S|i)|² = |Sfi|²

La connaissance de la matrice S nous aide dans le calculer des quantités physiques de chaque transition comme : les durées de vie moyenne, les sections efficaces, les masses, les vitesses de désintégration, ... Exemple :

|Sfi|² T .

La vitesse de transition s'écrit :

X~ =

|fi

On obtient les durées de vie moyenne des particules par la formule suivante:

1

^ô=1I'

Dans les calculs, on rencontre des difficultés à calculer la fonction de Dirac au carré qui n'a pas de sens mathématique, car il s'agit d'une distribution. Pour enlever cette ambiguïté, on utilise une astuce judicieuse, en faisant le passage au cas discret, en élevant au ^carréles symboles de kronecker, puis en revenant au continu. Cela se résume par la substitution simple de :

[ä⁴(p - p^' - k - k^')]² -? V T

(2ð)4 ä⁴(p - p^' - k - k').