Programmation des robots industriel et application sur le robot manipulateur Algérie machines outil 1

3-2-3 Evaluation des erreurs de positionnement ou de poursuite de trajectoire [55] :

La simulation de l'effecteur dans l'espace opérationnel est donnée par le vecteur x. Si on désigne par:

XD : la situation instantanée de l'effecteur correspond à la configuration déformée du manipulateur.

XR : La situation de l'effecteur correspond à la configuration non déformée du manipulateur.

L'erreur de positionnement ou de poursuite de trajectoire instantané sera donnée par:

ä X = XD - XR .(3.21)

La situation XR de l'effecteur est donnée par le modèle géométrique direct, dans l'hypothèse rigide obtenu par le produit des matrices de transformations homogènes

Ces matrices sont calculées sur la base des paramètres de descriptions géométrique de la topologie du manipulateur.

Les déformations d'un segment (segment _Cj-1) engendre un torseur des déplacements au
point de l'articulation en aval (point Oi) du segment et se traduisent par une variation de la

O 'j 1

Trans (xj 1,Lj 1)

C)j

X²j 1

Y'j 1

T~ flex

Yj Zj

o

Xj

Y²j-1

Rot (xj-1, áj-1)

Y³j-1

Z3 _j-1

X3 _j-1

Rot (Zj-1, èj)

Zj-1

oj-1

X'j 1

Xj-1

Yj 1

j-1

T f ~

transformation relative entre deux repères consécutifs (le repère {Rj-1 } et le repère {Rj } ) le modèle d'évaluation de la situation XD de l'effecteur peut être donc obtenu par un modèle géométrique modifié basé sur des matrices de transformations homogènes corrigées pour prendre en compte l'effet des déformations sur la situation de l'effecteur .

3-2-4 Le modèle géométrique direct corrige [55]

La figure 3.4 représente le corps _Cj-1 du manipulateur dans la configuration rigide puis en position déformée et les deux référentiels {Rj-1 } et {Rj} associés aux articulateurs _Ai-1 et Ai respectivement.

Y

o

o

Z

Z X

Figure : 3.4 Flexibilité d'un segment du manipulateur [55]

Le passage de _{Rj-1} à {Rj} s'exprime en fonction des composants du vecteur des
déplacements dus aux déformations du corps _Cj-1 et des trois paramètres de descriptions áj,

Lj , et èj . Z²j-1

Z'j-1 oj

La manière de transformation définissant le repère {Rj } dans le repère {Rj-1 } Figure 3.5 est donnée par:

T f Trans X L T flex Rot x Rot ( Z j) ~ ~ j j j j j j j j 1 1 1 4 1 á 1 , è = * * * ( , ) - - - - - - ( , )

.(3.22)

Où:

Rot (xj-1) =

Trans (xj-1, Lj-1) =

Rot (zj , èj) =

(3.23)

(3.24)

(3.25)

1 0 0 0

0 0

C S

á á

j j

- - -

1 1

0 0

S C

á á

j j

- -

1 1

0 0 0 1

1

C

è

j

S - è j 0100 001 0 00

0 0 Lj-1 01 0

0

S C

è è

j j 00

	0 0 10
	0 0 01

~

La matrice de transformation homogène associée aux déplacements 1

T flex_j-

(Translations et rotations) dus aux déformations du corps _Cj-1 . Cette matrice peut être décomposée en deux matrices:

Une matrice de transformation pure qui représente les translations dus aux déformations

dx j - 1 , dy j - 1 , dz j - 1 donnée par :

100

dx

j-1

~

Tflex i = 010 dy j -1 (3.26)

001

dz

j

-1

000 1

~

Représente les rotations dues aux déformations Tflexr et une matrice de rotation pure

r x j - 1 , ry j - 1 , r z j - 1 de la section droite d'abscisse _bi-1 au corps _Ci-1 ^point _Oi-1 par rapport à l'extrémité (point _Oj-1) , autour des trois axes _xj-1 , _yj-1 , _zj-1 respectivement les matrices de transformation homogène associées à ces rotations , sont donnée par:

10 00

Rot (r xj-1 , xj-1) =	0 0 C S x x - 0 0 S C x x 00 01		(3.27)
Cy		0 0 S y

0100

Rot (r yj-1 , yj-1) =

-

Sy

0 0 C y

(3.28)

0001

C - z

Sz

00

Rot (rzj-1 , zj-1) =

S C

z z

0 0 10

00

(3.29)

0 0 01

avec: C_x = cos(r _xj-1) , C_y = cos(r _yj-1) , C_z = cos(r zj-1) S_x = sin(r _xj-1) , S_y = sin(r _yj-1) , S_z = sin(r zj-1)

Les rotations _rxj-1 , _ryj-1 , et _rzj-1 sont des rotations infinitésimales , on peut écrire:

C_x ? 1 S_y ? ryj -1 S x ? rxj - 1 C_z ?1 C_y ? 1

, ,

S_z ? rz j -1

Rot (r xj-1 , xj-1) =

10 0 0 0 10 - rx j - 1 01 0 rx j - 1 00 0

(3.30)

1

0 0

ry j - 1

0 1 00

Rot _(ryj-1 , yj-1) =

- ry j - 1 01 0 (3.31)

0 001

1 - rz j - 1 00

Rot _(rzj-1 , zj-1) =

rz j- 1 1 00

0 0 10

(3.32)

0 0 01

~

La matrice homogène est obtenue par le produit des matrices de transformation 1

T flexri -

Rot _(rxj-1 , _xj-1) , Rot _(ryj-1 , _yj-1) ,et Rot _(rzj-1 , _zj-1), on peut effectuer ce produit dans
n'importe quel ordre , En faisant abstraction des valeurs infinitésimales de deuxième ordre

de type r x j - 1 × ry j - 1 , et ryj - 1 × r z j - 1 on obtient :

1 0

r r

z y

j j

- -

1 1

r r

z x

1 0

-

j j

- -

1 1

-r r

y x

j j

- -

1 1

~

Tflexr =

1 0

(3.33)

0 0 0 1

La matrice de transformation homogène associée aux déplacements dus aux déformations du corps _Cj-1 ( la matrice de flexibilité) est donnée donc par:

~ ~

T flexr j- * 1

T flext j-

1

~

= 1

T flex_j-

1 r z j - 1

r d

y x

j j

- -

1 1

~

Tflex_j- 1

r r

z x

= ? 1 -

j j

- 1

?

.(3.34)

d

1 1

y j -

d

z

j j

- 1

1

- r r

y x

j - 1

1

0 0 0 1

Soit RE (oE , xE , yE , zE ) un repère lié à l'effecteur , la position et l'orientation de l'effecteur (l'outil) correspondant à la configuration déformée du manipulateur , sont définies dans le repère {R_o} par la matrice de transformation :

~ ^n TfE

n-1 T~f n

1~fT 1 o = E T~f ^o T~f 2

..(3.35)

Le modèle géométrique direct corrigé du manipulateur est l'ensemble des relations qui permettent d'exprimer la situation de l'effecteur qui correspond à la configuration déformée du manipulateur Xd en fonction des coordonnées articulaires q et des vecteurs des déplacements dus aux déformations des différents segments: [63]

Xd = Fd (q , u) (3.36 a)

Les trois premières composantes de Xj fixent la position du point OE de l'effecteur par rapport au repère ({RE}/{R_o}) .

3-2-4-1 Procédure et modèle de compensation :

La configuration rigide La configuration déformée La configuration corrigée

La configuration déformée

après deformation

XC

XE

äX
äX

XC

La situation désirée

Supposons que le manipulateur est dans une configuration q bien déterminée, les erreurs dues aux déformations des segments correspondant à cette configuration sont représentées par le vecteur äX , la correction ou la compensation de ces erreurs port de l'idée schématisée ci-après:

On commande le déplacement du manipulateur sur une situation XC = XR - äX

(La situation de l'effecteur qui correspond à la configuration corrigée et non déformée du manipulateur) dans l'espace de travail de telle sorte que:

Xed XC + äX = XE - äX + äX = XE ..(3.36 b)

La situation que doit atteindre le manipulateur rigide permet de calculer; si elles existent les solutions articulaires possibles.

Parmi ces solutions, il existe une solution définie dans l'espace articulaire par le vecteur des coordonnées généralisées (q + ä_q) qui est la plus indiquée pour réaliser la tâche car elle se traduit par de légères corrections sur les variables de commande relativement à l'hypothèse rigide.

Ainsi au lieu de traiter le problème par la résolution du modèle géométrique inverse, il est plus pratique d'utiliser le modèle différentiel:

~

X J q q q J q X

~ - 1

- = = = -

ä ä ä ä

( ) ( ) (3.37)

q_C =q+äq (3.38)

ä_q : Représente le mouvement correctif à effectuer au niveau des variables articulaires, à partir de la configuration rigide.

q_c : Les coordonnées articulaires corrigées permettant la compensation des erreurs dues aux déformations élastiques des segments.

L'organigramme figure 3.7 présente, de manière chronologique les étapes de calcul nécessaire à l'évaluation et à la compensation des erreurs de positionnement ou de poursuite dues aux déformations quasi-statiques des segments d'un manipulateur en fonction des paramètres cinématiques (coordonnées, vitesses, et accélérations généralisées) et de charge.

REMARQUES:

Pour un manipulateur à moins de six degrés de liberté, plan par exemple, il est bien évident que les mouvements correctifs - ä_q ne pourront jamais compenser une erreur qui se produirait hors plan. Donc dans la relation (3.37), on ne tiendra pas compte les composantes d_e - äX qui ne peuvent pas être engendrées par -ä_q.

Si l'écart - äX est important, on ne peut pas compenser l'erreur de positionnement d'un seul coup, mais il faut faire la compensation par plusieurs itérations.

Les données du problème:

- Les paramètres géométriques et mécaniques du manipulateur . (q , q & , & & q)- Les paramètres cinématiques

Modèle géométrique direct:

Situation de l'effecteur dans l'hypothèse du manipultateur rigide XE = F(q)

Modèle des déformations :

Evaluation des torseurs des déplacements élémentaires par segments:

Uj = [ d x j , d y j , d z j , 1

r x j , r y j , r z ]T j = 1 .n.

Modèle géométrique direct corrigé:

Situation de l'effecteur correspond à la configuration déformée du manipulateur: Xd = Fd (q , u)

Modèle d'évaluation des erreurs :

Erreurs de positionnement ou de poursuite: äX = Xd - XE

Début

Fin

Modèle de compensation :

⁰J^~(q) Calcul de la matrice jacobienne du manipulateur: Algorithme de Greville :

0J~(q) la pseudo-inverse de J~ - 1(q) Calcul de la matrice * äX J ~-1( q)Compensation : äq = -qc = q + äq

3-2-4-2 Calibration et déformation des manipulateurs :[56,66] :

L'étalonnage ou l'identification géométrique consiste à déterminer, suite à une série de mesures et à l'aide d'un modèle mathématique basée sur un modèle géométrique de description du manipulateur et des offsets codeurs.

Les valeurs des paramètres géométriques et des offsets codeurs identifiés au cours de l'étalonnage sont des valeurs optimisées, l'optimisation est itérative est basé sur la méthode des moindre carrés. Les paramètres géométriques identifiés, selon les procédures classiques de calibration, intégrant moyennement les effets des déformations.

Manipulateur non calibré, l'écart de positionnement entre la situation mesurée et la situation désirée pour une configuration q donné, dépend surtout des erreurs dues aux déformations :

~

Xmes(q)- Xthé(q) = H (q) * (P_{g réel} - P_{g nom} ) + ? Xdef (q) (3.39)

Avec : Xmes(q) = la situation mesurée.

Xthé(q) = la situation théorique

~

H (q) = la matrice d'identification

P_g réel = les paramètres géométriques réels du manipulateur

P_{g nom=} les paramètres géométriques nominaux du manipulateur

Il est suffisant d'intégrer les erreurs deus aux déformations dans les valeurs identifiées des paramètres géométriques de description, la procédure d'identification est celle qui est classiquement utilisée:

~

Xmes(q)- Xthé(q) = ð(q) x (P_{g thé} - P_{g nom} ) ....(3.40)

Avec : P_g thé : les valeurs des paramètres géométriques et offsets codeurs identifiés.

Dans les cas, des manipulateurs flexibles ou applications exigeantes en précision. La calibration géométrique préalable n'est pas en mesure de rendre compte, à elle seule du problème des déformations. La compensation est incontournable et un modèle des déformations est donc nécessaire.