III Formulation mathématique
III-1 Introduction
La plupart des écoulements d'importance pratique
existent en régime turbulent. Plusieurs méthodes sont alors
appliquées aux écoulements turbulents et correspondent à
différents niveaux de description, ayant chacun leurs performances et
leurs limitations spécifiques. Parmi la variété des
modèles de turbulence et des approches possibles, sera souvent
amené à effectuer un choix, dicté le plus souvent par la
nature du problème physique à résoudre et par les
réponses recherchées. Dans le présent travail, nous allons
tenter d'appliquer un modèle connu dans le domaine de la turbulence qui
est le modèle (RNG-k-å) pour l'étude de l'écoulement
bidimensionnel turbulent de flamme de diffusion d' impact. Ce modèle,
donne une description plus réaliste des phénomènes
d'interaction turbulente en suivant l'évolution de chaque
paramètre turbulent, par des équations de transport.
III-2 Equations régissantes
Les équations qui régissent l'écoulement
sont :
3.2.1 Equation de continuité
( ) =
ñ U i
0 (III-1)
?
i
?x
3.2.2 Equation de quantité de mouvement
: traduite par les équations de Navier-Stokes, elle exprime
tout simplement la loi fondamentale de la dynamique appliquée à
un fluide Newtonien. Les équations de quantité de mouvement
écrites suivants xi (i =1, 2,3) sont :
forcedinertie
'
force appliquées
6 444 7 444 8
6 47 48
? U 1 ? P ? ? U
i i
U = - + ( )
í
j ? x ñ ? x x ? x
j i j
? j
(III-2)
6 47 48
6 444 7 444 8
? T 1?P? ? T
U = - + ( )
í
j ? x j i j j
ñ ? x x
? ? x
III.3 Décomposition statistique
Pour résoudre ce système, (III-1, III-2), on
utilise une approche statistique. Les grandeurs
caractéristiques
instantanées de l'écoulement turbulent seront
décomposées selon les règles de
Reynolds comme suit : le premier représente le mouvement
moyen et le second le mouvement fluctuant, soient :
'
u'
+u
0
U i
Ui
'
(III-3)
i,
0
P P
= +
p, p'
III-4 Règles de Reynolds
En utilisant les règles dites de Reynolds, Hinze [35] :
ö ' 0.
ö ö.
fö f .ö
+
(III-4)
g
f g f
+ =
f ö . f . ö
? ö
? ö
?x ?x
f f '
'
'
+ ö ö
' ,
III-5) Equations aux tensions de Reynolds
Le formalisme des règles de Reynolds conduit en prenant la
moyenne de chaque équation, aux équations de Reynolds.
? 1 ? ? ?
)) (III-5)
?
? t
( ' ) ( ' ) ( ' )
U u U u
+ + + U u
+ = - ( ' ) ( ( '
P p
+ + í U u
+
i j i i
? x ñ ? x ? x x
j i j i
j i i
?
En moyennant ensuite ces équations et après
réarrangement, on retrouve l'équation de continuité et
celles de Navier-Stokes moyennées.
? U (III-6)
?x
i = 0
i
U
i i
U + ( )
i
+ = - í - u u
j i j
?U
?
?
?t
U
1
? P
?
' '
? x
j
ñ
x i
? ? ? x
x
j
(III-7)
123
terme de Reynolds
j
Le terme ' '
u i u j donne naissance aux
tensions de Reynolds. Il provient de la non linéarité des
équations de Navier Stokes et s'interprètes comme des
contraintes. Le système d'équations (III-6) et (III-7) comporte
plus d'inconnues que d'équations. C'est un système ouvert. Le
problème qui se pose à ce stade est le problème de
fermeture. On a 5 équations au total dont 3 pour la quantité de
mouvement et 1 pour la continuité plus l'équation
d'énergie mais le
nombre d'inconnues est maintenant égal à 10 (U
i ,i= 1,2,3,p et6u'
i u' j ) ; d'où la
nécessité de
la modélisation des équations de Reynolds. Pour
cela, beaucoup de chercheurs se sont investis dans le domaine et plusieurs
contributions de modèles de résolution ont été
proposées. Parmi ces modèles, on peut citer le modèle le
plus utilisé qui est le modèle (k-å). Le tenseur de
Reynolds est alors défini par la matrice suivante :
?u u u u u u
' ' ' ' ' ' ?
1 1 1 2 1 3
? ?
Rij ñ
= -u u u u u u (III-8)
? 2 1 2 2 2 3
' ' ' ' ' ' ?
? ' ' ' ' ' ' ?
?
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