Compression d'image animmée par le codage EZW 3D

2.6 Compression d'image par transformée en ondelettes

2.6.1 Compression en deux dimensions

La théorie des ondelettes peut être généralisé, en plusieurs dimensions. Nous étudierons les ondelettes bidimensionnel et ces applications sur l'image.

Chaque sous-espace correspond à un produit tensoriel de deux espaces identiques suivant la formule :

Vm ( x , y ) = Vm ( x ) ? Vm(y) 2.28

La fonction d'échelle bidimensionnelle est alors un produit tensoriel de deux fonctions d'échelle monodimensionnelles :

Ö ( x , y ) = Ö ( x ) Ö ( y ) . 2.29

Où Ô( x) est la fonctions d'échelle monodimensionnelle.

L'approximation d'un signal bidimensionnel É (x, y) à la résolution 2^-m est alors donnée par :

An m nx m ny

( ) = { < ( ) Ö ( ) Ö ( ) > }( ) ? Æ Æ

nx ny f x y , x , y nx ny

, , , , * 2.41

Comme dans le cas monodimensionnel, le détail est obtenu en projetant le signal f(x, y) sur un espace complémentaire _Wm. Une base de cet espace complémentaire peut être obtenue par translation et dilation d'une fonction d'ondelettes.

Soit ø(x) l'ondelette associée à Ö(x) on peut alors définir les trois ondelettes bidimensionnelle.

(, ) ( ) ( )

x y x y

= Ö ø

= Ö

= ø

30 -

ø 1

( , ) ( ) ( )

x y x y

ø ø

2

2.30

( , ) ( ) ( )

x y x y

ø ø

3

Compression d'images animée par codage EZW 3D

Chapitre 2 Transformée en ondelettes

La différence entre deux approximations successives caractérisées par les trois coefficients d'ondelette représentant les détails :

D n ^H ( , m x					ny			)			{ } < Ö > f x y x y ( , ), ( ) ( ) m nx m ny nx ny , , ( , ) ø		? Z		2
D n ^V ( m x	,		ny			)			{ } < Ö > f x y x y ( , ), ( ) ( ) ø m nx m ny nx ny , , ( , )			?Z		2		2.31
D n ^D ( m x		,		ny			)			{ } 2 < > f x y x y ( , ), ( ) ( ) ø ø m nx m ny nx ny Z , , ( , ) ?

Le calcule d'une image S_m (n _x , n_y) à une résolution inférieur et les calcules du coefficients d'ondelettes { ( n _x , n _y ) , d ? { H, V, D } }

Dm ^d se font par convolution en utilisant

des filtres séparables 2D. Le filtrage 1D défini pour les signaux monodimensionnel est appliqué indépendamment sur les lignes et les colonnes, nous présentons d'une façon générale dans les figures 2.6-2.7 le principe de décomposition et de reconstruction dans le cas bidimensionnels.

H1

G1

Am-1

H1

1:2

2:1

G1

1:2

H1

1:2

2:1

G1

1:2

A_m

Dm H Dm V Dm D

Figure 2.6 : Un étage de décomposition multi-résolution bidimensionnelle

31 -

Compression d'images animée par codage EZW 3D

Chapitre 2 Transformée en ondelettes

Figure 2.7 : un étage de la synthèse multi-résolutions bidimensionnelle

Donc, à partir d'image initiale à la 3^eme résolution, on obtient quatre sous image (voir la figure 2.7 (a) .Après, on fait la décomposition sur trois niveaux du résolution et la figure 2.7 (b) représente un exemple de décomposition d'image sur trois niveaux de résolution

m=3, m=2, m=1.

H2

1:2

+

1:2

1:2

G2

+

Am-1

A_m

1:2

Dm H

Dm v

Dm D

H2

G2

1:2

1:2

G2

H2

+

A3	2-3	Horizontal D2 ^H Résolution ^2-2	Horizontal D1 H Résolution 2-1
2-3	2-3
Vertical D2 ^V Résolution 2-2		Diagonal D D2 Résolution 2-2
Vertical D1^V Résolution 2^-1			Diagonal D1^D Résolution 2-1

(a) (b)

Figure 2.7 décomposition bidimensionnelle sur trois niveaux de l'image

32 -

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Chapitre 2 Transformée en ondelettes

2.6.2 Compression en trois dimensions

Dans le cas de la 2eme dimension la construction d'une transformée en ondelette est le résultat d'un produit tensoriel d'une analyse multirésolution [2.8 ; 2.1] à une dimension

V₀ = V ?₀ V₀, ou V _j ,j? Z est une multirésolution de ( )

L ² R . La multirésolution est similaire

à celle d'une seule dimension, elle est comme suit :

.... 2 1 0 1 2

V ? V ? V ? V - ? V -

V0=V0?V0 2.32

F V F j j V F x x f x f x f g V

? ? ? = ?

( ) 0 ( 1 2 ) 1 2 0

2 ,2 , , ( ) ( ), ,

j

Et le produit :

Ö = Ö Ö = Ö ? Ö - ?

0 , , 1 2 0 , 1 0 , 2 1 0 , 2

m n n m m

x x x x x n x m n m Z 2.33

( , ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,

Est une base orthonormale de V0; la base Vj est obtenue comme [2.1] :

1

Ö = Ö Ö = Ö ? Ö -

(2 ) (2 )

j

( , ) ( ) ( ) 2.34

, , 1 2 , 1 , 2 1 0 , 2

x x x x x n x m

- - j

j m n j n j m j m

2

Le complément orthogonal dans V_j-1 pour V_j est W_j : V V V V W V W

- = - ? - = ? ? ?

( )

j j j j j j j

1 1 1

? ? ? ? ? ?

[ ( ) ( ) ( ) ]

V W W V W W

j j j j j j

V j

?

W j

Et les, W_j dépend de trois parties, qui sont des bases de ø, ces des combinaisons a une dimension de la fonction d'échelle Ö et la fonction d'ondelette ø :

k ( , ) ( ) ( )

= ö ø

x x x x

1 2 1 2

v ( , ) ( ) ( )

= ø ö

x x x x

1 2 1 2

d ( , ) ( ) ( )

x x x x

= ø ø

1 2 1 2

33 -

V j ? V j

2.35

Ø
Ø
Ø

2.36

Compression d'images animée par codage EZW 3D

Chapitre 2 Transformée en ondelettes

L'ensemble { j n ; j Z , n Z ² , h , v , d}

Ø , ? ? ë =

^ëest une base orthogonale de L²(R²) [2.8],

Dans cette construction, l'échantillonnage se fait séparément : verticalement et horizontalement, mais les bases d'ondelettes sont non separable.

La transformation en ondelette rapide en deux dimension est obtenue en utilisons des opérations de filtrage dans les directions horizontal et vertical de l'image.

L'image originale est filtrée en quadrants et ensuite le quadrant d'approximation est filtré lui aussi. Si la taille de l'image originale en N * N alors chaque quadrant est de taille N / 2 * N / 2. La transformation a la propriété de reconstruction parfaite.

Une approche similaire à celle de la transformation en deux dimensions est prévue .Le cas de trois dimensions est appliquée par exemple pour des images médicales, l'analyse multirésolution donne la configuration suivante :

VV V V

j j j j

- 1 1 1 1

= - ? - ? -

( ) ( )

V W V W

j j j j

? ? ?

( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )

V V V W W V W W W W

? ? ? ? ? ? ? ? ? ]

j j j j j j j j j j

( ) ( ) ( ) ( )

? V V W V W W V W W

? ? ? ? ? ? ? ? ?

j j j j j j j j j

V V V

j j j

? ? ? ?? ( ) ( ) ( ) ( )??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

W V V W V W W W V W W W

j j j j j j j j j j j j ?

La fonction d'échelle pour la base V₀ est :

Ö = Ö ? Ö ? Ö ? ?

n n n x x x x n x n x n n n n Z 2.38

0 , , , 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3

( , , ) ( ) ( ) ( ) ; , ,

1 2 3

2.37

34 -

Compression d'images animée par codage EZW 3D

Chapitre 2 Transformée en ondelettes

Et le filtrage des l'images est fait en utilisant une fonction d'échelle et sept ondelettes, qui sont définies comme :

(x₁, x₂,) (x₃)

x₃)0()x₁0(x₂

0

w s,a

w h,a

(x₁, x₂, )gt(x₃)

X3) 0( X_i) 0( X₂

w v,a (x₁ , x₂

) 0(x)gt( ) (x₃)

x

2

x₃

0

w d,a (x₁ , x₂ , x₃

) 0(x)gt( )v(x₃)

x

2

2.39

^s,d (x₁ , x₂, x₃ =

)

gt )0 x₂ 0

( ( ) (x₃)

x₁

_wh,d

(x₁, x₂ , x3 = » X₂

) ( ( )0

^v,d (x₁ , x₂, x₃ yf x x »

) (₁ )gt(₂

^d,d (x1,x2,x3gtx1 x2

)()

gt

(

)gt (x3)

Où toutes les dimensions sont dilatées de la même manière et l'échantillonnage se fait séparément le long de chaque dimension de l'image 3D. Si l'image originale est de taille N * N * N alors celle filtrée sera de taille N / 2 * N / 2 * N / 2 comme l'illustre.

(x₃)

(x₃ )

a₀

d .

1

v a

d₁^h.a

d₁^d.a

_ed

_dv.d
1

_ed

_ed

L'image originale

Transformation à deux niveaux

Figure2.8 : Une transformation en ondelette 3D appliques deux fois

35 -

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Chapitre 2 Transformée en ondelettes