Mécanisme des vibrations induites par effet de couronne

IV.3 Développement mathématique

IV.3.2 Hypothèses générales

Les hypothèses physiques liées au modèle mathématique utilisé sont les suivantes [3, 7, 23]:

La tension mécanique est constante sur la longueur de la portée.

On suppose que l'influence de la rigidité flexionnelle sera faible devant les autres effets mécaniques. C'est pourquoi on n'en tiendra pas compte dans les équations.

On suppose qu'il n'y a aucun déplacement longitudinal.

L'amortissement interne, qui est principalement produit par la friction entre brins est uniforme donc pas fonction de l'amplitude des vibrations.

On suppose que la vitesse du vent est normale à la portée.

IV.3.2 Développement de l'équation différentielle de base

Le but est de trouver l'équation différentielle gouvernante de base qui régit les déplacements verticaux d'un conducteur tendu soumis à une force externe distribuée.

Le modèle utilisé est celui de la corde vibrante [23], dans lequel en ajoutant un terme pour

les forces d'amortissement "

ì ( ) " à cause des frictions internes et un terme pour les ? ( , ) U x t x ? t

2

forces externes "f(x, t) ", on trouve l'équation intégrale gouvernante d'un câble suspendu:

? U x t

( , ) ? U x t

( , ) ? ? U x t

( , )

ñ ì á

( ) 2

x + ( )

x - ( ( )

x ) ( , )

= f x t (IV.1)

? t ? t x

? ? x

qui est définie sur le domaine suivant:

0 = x = L t>t 0

et avec les conditions aux frontières suivantes:

) 0

à x t t U x t

0 0 0

( ) ( ,

>

) 0

à x t t U x t

L L

( ) ( ,

> 0

et les conditions initiales suivantes:

à t x = x = x _L U x t = U x

0 0 0 0

( , ) ( )

( 0 =

? U x t

? t

( , ) ) t 0

? 2 ( , )

U x t? ( , )

Le terme 2

ñ ( )

x

? t

représente

représente les forces d'inertie, et le terme )

? á U x t

( ( ) x

x

? x ?

la force de tension mécanique.

ñ : densité du conducteur [kg/m].

á : tension mécanique dans le conducteur [N/m²].

ì : coefficient d'amortissement.

U(x,t) : positon verticale du conducteur en fonction de la coordonnée x et du temps t[m]. U0(x) : position initiale du conducteur en fonction de la coordonnée x [m].

? ( , ) : vitesse du conducteur. [m/s].

U x t

? t

2 ( , )

U x t

? t 2

? : accélération du conducteur. [m/s²].

f(x,t) : forces externes par unité de longueur. [N/m]. (Voir ANNEXE I).

L'équation (IV.1), peut être résolue par la méthode des éléments finis. Cette méthode discrétise une formulation intégrale pour conduire à un système d'équations algébriques fournissant une solution approchée du problème. Avec la technique des éléments finis, le domaine est discrétisé en plusieurs petits éléments de forme et de longueur variables.

Pour obtenir la forme discrétisée de l'équation (IV.1), nous utilisons la technique des résidus pondérés de GALERKIN qui permet de diminuer l'ordre d'intégration tout en faisant apparaître un terme supplémentaire en utilisant l'intégrale par partie [31, 34].

L'équation de résidus pondérés sur un élément typique s'écrit :

e 2 U x t

e e e

? ( , ) ? U x t

( , ) ? ? U x t

( , )

ñ ì á

( ) 2 + - - f x t x dx

Ö =

e

( )

x x ( ( ) ) ( , ) ( ) 0

x i (IV.2)

? t ? t x

? ? x

où les Ö_i (x) sont les fonctions d'interpolation nodales (indépendants du temps). Nous effectuons une intégration par parties pour l'équation (IV.2), nous aurons:

e e

~ e ~

e e

U x t

( , ) ( )

d x

Ö ?

? U x t

( , )

i

dx + á ( )

xdx

? d ?

x

f x t x dx x

( , ) ( ) ( ( )

e á

= Ö - -

i

+ Ö e i ~

( ) ( ) x x ì

x )

x 1

t

x_n

x

(IV.3)

e ~

? 2 U x t

e ( , )dx

? t

e

2

U x t

e

? ( , ) ) (

Ö e

i

?

x

Ö e

i

( ) ( )
x x

ñ

~ La fonction U e

est une solution approchée du problème sur un élément et dont la forme est:

n

~

U ^e x t a a t x

(IV.4)

( , ; ) ( ) ( )

= Ö e

j j

j 1

où les aj (t) représentent les valeurs de la fonction U

aux noeuds, et n est le nombre de degrés de

libertés (degré d'interpolation).

Substituons la forme générale de la solution approchée élémentaire (IV.4) et ses dérivées :

j

j

n

) =

a t j ( )

~

? U e

e ( ,

( , x t x t

? x

~

e

? U x t

( , ) =

? t

1

n da t

j (

1 dt

d x

Ö _j ( )

dx

)

Ö ( )

j

x

(IV.5)

? ( , ) (

n d a t

2

U x t j

=

? t 2 j = 1 dt 2

)

Ö ( )

x

2 ~ e

j

dans l'équation (IV.3), nous retrouvons l'équation élémentaire d'un élément typique qui est de la forme:

[ ] ^e [ ] ^e [ ] e e

d a t

2 ( ) ( )

da t

M + + =

C K a t F t

( ) ( ) (IV.6)

dt 2 dt

où les matrices élémentaires: masse, amortissement et rigidité sont liées aux fonctions d'interpolation Ö_i (x) de la manière suivante :

e

e

Ö i

e

Ö j

M x x x dx

=

e ( ) ( ) ( )

ñ

ij

e

e
j

C x x x dx

e = Ö Ö

e ( ) ( ) ( )

ì

ij i

=

_Ke

ij

)

dx

e Ö Ö

e d x

e

d x

( ) (

i j

á ( )

x

dx dx

F t e ( ) i

e

f x t x ( , ) ( ) e Ö i

dx x t x e - Ö [ ô ( , ) ( ) e i

n 1

~

e ( , )
x t

? x

ô á

( , ) ( )

t x

= -

e

x

? U

Développons maintenant une expression spécifique pour Ö_i (x) correspondant à un élément linéaire (Figure IV.1) :

Figure IV.1 Fonctions d'interpolation pour un élément linéaire. [7, 34]

Ö

Ö

e ( )

1

x

x x

-

²

e ( )

2

x

x x

- 1

x x

-

2 1

d x

Ö ^e ( ) 1

1 = x x

-

(IV.7)

2 1

d x

Ö ^e ( ) 1

1 =

x x

- dx

2 1

x x

-

2 1

dx

Substituons la fonction dans l'équation élémentaire (IV.6) qui devient :

3 6

+

ññe e L L

_áe

á â

e e L

+

L

L 3

e

-

( )
t

â^eL

_áe

+

L

3

a 1

f L

e

+ ô

2

e

( x ,

t )

ñ ñ

e e

L L

3 6

ñ ñ

e e

L L

6 3

d a t

2 1 ( )

dt²

d a t

2 2 ( )

dt²

ñ ñ

e e

L L

6 3

d a t

2 1 ( )

dt²

d a t

2 2 ( )

dt²

á

L

+

-

a 2

( )
t

f L

e

-

2

ô e

( ,
x

t)

(IV.8)

Après avoir effectué l'assemblage de tous les éléments, on obtient un système d'équations différentielles discrétisées où les a_i (t) représentent les déplacements de chaque noeud.

(IV.9)

·
·
·

[ M ] a [ C ] a [ K ] a { F }

+ + =

L'équation (IV.8) est l'équation différentielle de base qui régit les déplacements verticaux d'un conducteur tendu soumis à une force externe distribuée.

II s'agit maintenant d'intégrer l'équation (IV.9) par rapport au temps afin d'isoler l'amplitude des vibrations. Pour résoudre cette équation, on peut utiliser soit une méthode d'intégration directe, soit la méthode de superposition modale.

IV.3.3 Méthode de superposition modale

Pour présenter un modèle raisonnable de vibration, les cinq premiers harmoniques du mouvement sont important d'être considérés. Ce peu de modes de vibration est capable de décrire le comportement du système. Par ce que le nombre de modes de vibration est peut (5 modes) et le système d'équation (IV.8) est linéaire, la superposition modale devrait être un bon choix et il n'y aura aucun besoin d'utiliser une intégration directe. [7, 8, 32, 33]

Le but de la méthode de superposition modale est de découpler le système d'équations en "n" équations indépendantes, représentant chacune un mode de vibration. Par conséquent, un système d'équations différentielles découplées et réduit est beaucoup plus court à intégrer qu'un système couplé. L'économie de temps permet d'utiliser un pas de temps plus petit et donc d'augmenter la précision des résultats. [7]

Dans un premier temps, il s'agit de calculer les valeurs et les vecteurs propres du système [30].

Soit le système sans amortissement et sans sollicitation externe suivant :

· · [ ] [ ] M a K a 0 + = Les solutions de l'équation (IV.10) sont de la forme:			(IV.10)
a v e =	i t ù	(IV.11)

En remplaçant l'équation (IV.11) dans l'équation (IV10) on obtient:

[ ] [ ]

K a ë M a 0

- =

(IV.1 2)

II existe "n" solutions à l'équation (IV.12); chaque solution consiste en une valeur propre ë , et un vecteur propre v correspondant; satisfaisant l'équation suivante:

[ ] [ ] K v M v = ë i i i

(IV.13)

On définit la matrice des vecteurs propres [V] et la matrice des valeurs propres [~²] telles que:

[ ]

V = v ₁ , v ₂ , , v_n (IV.14)

ù ^2 1

0 0 . . . 0

0 0 . . . 0

ù ²

2

0 0 ù 2 3 . . . 0

où ù i = ë i

² (IV.15)

[ ]

Ù =

2

~	~	~	~
0 0 0 . . .				ùn ^2

Les vecteurs propres d'un système correspondant à des valeurs propres distinctes sont linéairement indépendants [7, 8, 32], Par conséquent, la matrice [V] est orthogonale avec [M] et [K], et orthonormale avec [M] c'est-à-dire :

T v K v i i [ ] = ù ^2 pour i j				=		j		(IV.1 6)
	=	0 pour	i		?		j

T

[ M

v

v i j

= =

1 pour

(IV.17)

i

j =

0 pour

i

?

j

La solution de l'équation (IV.9) peut être écrite sous forme de superposition linéaire des "n" modes, chacun multiplié par une amplitude générale variant en fonction du temps; donc:

n a t A j t v ( ) ( ) ou bien [ ] = a ( t ) V A ( t ) = j=1

(IV.18)

En substituant l'équation (IV.18) dans l'équation (IV.9) et en multipliant par [V]^T (la matrice transparente) , et en utilisant les relations d'orthogonalité développées précédemment, on obtient un système d'équations transformées où les termes masse et rigidité sont découplés:

· · · A t V C V A t 2 A t V F ( ) [ ] [ ][ ] ( ) [ ] ( ) [ ] { } T T + + Ù =

(IV.1 9)

On peut découpler entièrement l'équation (IV.19), en regroupant les facteurs d'amortissement sur la diagonale de la façon suivante:

2 0 ù î 2 1 1								0 .				. .			0
0 2ù						2 2	î 2		0 .					. .				0
[ ] [ ] [ ] V ^T C V=	0 0		2 . ù î 2 3 3										. .				0		(IV.20)
~		~			~						~
0 0				0 .						. . 2ù						2 n n î

Où îi représente le pourcentage d'amortissement relié au i^ème mode de vibration.

En substituant l'équation (IV.20) dans l'équation (IV.19), on obtient un système d'équations séparées où chaque équation représente un mode de vibration.

·
·
·

A t A t A t f t i ,. .

( ) 2 2 ( ) 2 ( ) ( )

+ + = =

ù î ù 1 2

, m

i i i i (IV.21)

Où m est le nombre de mode nécessaire pour bien représenter le système et :

T f ( t ) v { F ( t )} = i i

(IV.22)

Les conditions initiales a t et

( )

0

multiplication par [V]^T [M], donc:

·

a sont transférés aux A (t)et

·

A(t) par la

A t V ^T M a t ( ) ( = [ ] [ ] 0	) 0	(IV.23)
· · A t V ^T M a t ( ) ( ) = [ ] [ ]			(IV.24)

00

Le système d'équations (IV.21) peut être résolu en utilisant une des méthodes d'intégration directe, ensuite on fait la sommation des A (t) en accord avec (IV.18) pour obtenir les déplacements réels a(t).

IV.3.4 Discrétisation du temps

Les méthodes d'intégration directe discrétisent le temps en plusieurs petits intervalles variables où l'on évalue l'équation différentielle à chaque pas de temps. Ces méthodes utilisent des relations de récurrence qui relie les valeurs inconnues au temps t_n avec les valeurs connues à un temps plus antérieur comme _tn-1 ^et _tn-2. Quatre parmi ces relations de récurrences sont les plus utilisées actuellement dans les programmes commerciaux [7, 8, 32, 33]:

· Méthode des différences centrales.

· Méthode de Houbolt

· Méthode de Wilson

· Méthode de Newmark

La méthode des différences centrales est une méthode d'intégration explicite [ 7, 33], donc très rapide. Pour cette raison cette méthode est utilisée pour résoudre le système d'équations découplées (IV.21). Cette méthode requiert trois temps soit : tn-1, t_n et _tn-2, le système d'équations est évalué au temps central.

·
·
·

A t C A t A t f

( ) ( ) ( )

[ ] [ ] 1 { } 1

² (IV.25)

n D n n n

- -

1 1

+ + Ù =

- -

Les deux dérivées ont été approximées par différences centrales :

{ } { }

A A

-

n

·

A

n - 2

n - 1

·
·

A =
n - 1

2

Ät

2

Ät

(IV.26)

- 2

{ } { } { }

A A A

n n n

- +

2 - 1

En remplaçant les deux dérivées dans l'équation (IV.25), et en isolant pour { A}_n :

2

{ } { } { } { } 1

2 ? Ä

w t

2 2 w t 1 Ä t

i i i Ä -

î

A = A - - -

1 2

+ A + f

n n n (IV.27)

1 + Ä

w t 1 1

n

î + Ä

w t + Ä

w t

i i i î i i î i

Où i=1, m m étant le nombre de mode utilisés.

Il s'agit maintenant de résoudre le système d'équations (IV.27) pour trouver les déplacements
modaux A _j (t) en utilisant les conditions initiales, et calculer ensuite les déplacements réels a(t) à

l'aide de l'équation (IV.18).