IV.1 Introduction
Les vibrations induites par effet de couronne sont des
phénomènes non linéaires et dépendent de plusieurs
paramètres, cela implique donc une grande complexité et
difficulté importante à résoudre de manière exacte
les équations régissant le phénomène de
vibration.
La méthode des éléments finis,
constituant un moyen efficace pour modéliser et simuler les vibrations
induites par effet de couronne d'un conducteur tendu soumis à une pluie
artificielle, est employée dans ce travail. Deux techniques sont
sélectionnées, tout d'abord la superposition modale pour la
discrétisation du mouvement, ensuite la méthode des
différences finies centrales pour discrétiser le temps.
IV.2 Théorie des éléments
finis
Dans un problème continu le champ variable (telle que:
la pression, température, déplacement ou autre quantité)
peut prendre infiniment beaucoup de valeurs par ce qu'il est en fonction de
chaque point générique dans le corps ou dans la région de
la solution. Par conséquence le problème a un nombre infini
d'inconnus. La procédure de la discrétisation par
élément fini réduit le problème tout en divisant la
région de la solution (Domaine) en
éléments et en exprimant le champ variable en
termes des fonctions d'approximation supposées à
l'intérieur de chaque élément. Les fonctions
d'approximation ou quelquefois appelées fonctions
d'interpolation sont définies en fonction des valeurs du champ
variable aux points spécifies appelés noeuds ou
points nodaux. Généralement les noeuds se trouvent sur les
frontières de l'élément où les
éléments adjacents sont considérés pour être
connectés. En plus des noeuds des frontières, un
élément peut avoir aussi quelques noeuds intérieurs. Les
valeurs nodales et la fonction d'interpolation pour les éléments
définissent complètement le comportement du champ variable
à l'intérieur des éléments. Pour la
représentation d'un problème par éléments fini les
valeurs nodales deviennent les nouveaux inconnus, et les fonctions
d'interpolation définissent le champ variable dans
l'assemblage des éléments. Il est à noter
que la nature de la solution et le degré d'approximation
dépendent non seulement de la dimension et du nombre
d'éléments utilisés mais aussi de la fonction
d'interpolation sélectionnée. Souvent ces fonctions sont choisies
d'une façon que le champ variable ou ses dérivées soient
continuées à travers les frontières de
l'élément adjacent. Une caractéristique importante de la
méthode des éléments finis par rapport aux autres
méthodes numérique est sa capacité de formuler des
solutions pour les éléments individuels avant de les
réunir pour
représenter le problème entier. Cela veux dire
que si nous traitons un problème dans l'analyse de la fatigue nous
pouvons trouver la relation entre la force et le déplacement ou la
caractéristique de la rigidité de chaque élément
individuel et ensuite nous assemblons les éléments pour trouver
la rigidité de la structure complète. Donc un problème
complexe est réduit à une série de problèmes
grandement simplifiés. Un autre avantage de la méthode des
éléments finis est la variété des chemins pour
formuler les propriétés des éléments individuels.
[8, 33-39]
Pour un problème unidimensionnel, la discrétisation
par élément finis d'un problème défini par une
équation différentielle ordinaire entraîne les
étapes suivantes:
1- Définition du résidu R(x)=0 avec les conditions
aux limites pour xa < x < xb.
2- Établir la forme intégrale et
intégration par partie pour obtenir la forme faible.
3- Choix du type d'élément (degré
d'interpolation) et du nombre pour discrétiser le domaine dans lequel on
cherche une solution.
4- Établir pour chaque élément la forme
intégrale qui générera un système matriciel.
5- Sommer toutes les formes intégrales ce qui
entraîne la phase dite d'assemblage des matrices
élémentaires.
6- Imposer les conditions aux limites essentielles (sur la
variable d'état).
7- Résoudre le problème ou le système
matriciel résultant.
8- Présenter les résultats de façon
intelligible et synthétique sous forme numérique ou graphique
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