Méthodes géostatistique pour l'interpolation et la modélisation en 2d/3d des données spatiales

1.2/ Variogrammes directionnels

La figure 4.3 montre les variogrammes directionnels, le long des quatre directions principales du plan, d'orientation -35°, 55°, 100° 145° par rapport à la direction est-ouest. Ces directions ont été choisies en fonction de l'orientation des profils 13 et 12 (cf. figure 3.5) et de la géographie observée sur l'image LIDAR (figure 4.2).

embouchure

pointe

N

baie

dunes

55°

-35°

Figure 4.2

La bathymétrie de la zone d'étude montre une continuité spatiale dans la direction 55°. On remarque que si l'on se déplace sur un axe du sud-ouest au nord-est, la profondeur du fond marin reste sensiblement la même, alors que si l'on se déplace du nord-ouest au sud-est on doit faire face à de forte variation de profondeurs. Cette morphologie est le résultat de la baie formé au nord-ouest et de l'écoulement de l'eau provenant en grande force le l'embouchure au nord-est.

ó^2=38,5

Figure 4.3

Les variogrammes de la figure 4.3 sont sensiblement différents. La différence d'accroissement à l'origine est le symptôme d'une anisotropie. C'est un paramètre qu'il faut prendre en compte.

1.3/ Anisotropie

Une anisotropie caractérise un phénomène qui se déploie préférentiellement dans certaines directions de l'espace.

Les notions d'anisotropie, de continuité maximale et minimale peuvent être schématisées de la manière suivante :

55°

0.56km

-35°

0.175km

Anisotropie : Bien que la distance entre le point central et celui en direction 55° soit plus grande que celle entre le point central et le point en direction -35°, les valeurs prises en ces points sont très proche (la corrélation est la même).

Direction de continuité maximale : direction à plus forte porté.

On distingue deux types d'anisotropie.

L'anisotropie géométrique : On observe dans diverses directions des paliers et des composantes pépitiques identiques mais des portées différentes. Les portées maximales (a_g) et minimales (a_p) s'observent selon deux directions orthogonales (cf. chap. II § 3.4).

L'anisotropie zonale : On observe des paliers différents selon les directions. Il n'existe pas de modèle d'ajustement pratique pour traiter ce type d'anisotropie.

En observant la figure 4.3, on remarque que les paliers ne sont pas identiques. Mais si l'on considère que la variable régionalisée est stationnaire d'ordre 2, le palier est approximativement égal à la variance. Les directions de continuités maximale et minimale sont alors respectivement de 55° et -35° par rapport à l'axe ouest-est avec une portée de 1100 mètres et 250 mètres.

·

Soit	hg

2

Pour prendre en compte l'anisotropie géométrique, on peut intervenir sur la distance. On peut ainsi évaluer ã(h,è) en corrigeant la distance h.

?a ?

g

( cos )²

h è è + ?? h è è

sin ??

? a p ?

Le modèle isotrope avec une portée maximale a_g=1100 mètres est alors _ã(h_g).

Distance d'origines

Distances corrigées

Figure 4.4

L'accroissement à l'origine devient sensiblement identique pour les deux directions principales. La nouvelle définition de la distance a pour effet d'atténuer l'anisotropie.

· Une autre façon de tenir compte de l'anisotropie est de faire un changement de repère. Si è est l'angle de rotation, dans notre cas è=35°, la formule est la suivante :

?
??

)

)

sin(è

cos(è

- sin( ) cos( )

è è

? ? ?

? ?

_y1

_y1

x 1

_x'

1

' '

·

_yi

_yi

x i

?
??

x_i

? ? ?

? ?

' '

_yn

_yn

x_n

x n

? ? ? ? ?

?

?

?

? ?

De cette façon nous nous replaçons dans un système de coordonnés redressé de 35° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Pour prendre en compte les portées dans les deux directions on résout le système

? ? ?

a_g

·

0

? ? ?

0

? ? ?

? ?

a_p

''

x ' '

1

' '

x_i

''

x_n

a_p : portée sur l'axe 0X
a_g : portée sur l'axe 0Y

? ? ?

? ?

? ? ?

? ?

y₁

_x'

1

' '

x_i

y_i

? ? ?

? ?

' '

y_n

x_n

Nouvel axe et unité

Axe et unité d'origine

35°

y₁

''

y_i

' '

y_n

C'est cette seconde méthode que l'on retient pour l'estimation par krigeage. 1.4/ Comportement à l'origine du variogramme

Le comportement du variogramme à l'origine, reflète le degré de régularité spatiale de la variable régionalisée (cf. chap. II § 3.2).

- Un comportement de ãà ( h ) à l'origine parabolique indique une grande régularité de la variable régionalisée (continue et différentiable).

- Un comportement à l'origine linéaire montre que la variable régionalisée est moins régulière (elle est continue mais pas différentiable)

- Une discontinuité à l'origine ou effet de pépite, signale une plus grande irrégularité de la variable régionalisée. Il y a absence (partielle ou totale) de corrélation entre les valeurs prises en deux sites très proches. (Journel et Huijbregts, 1993 p.38).

D'après de la figure 4.1 et 4.3, on constate que les variogrammes ont un comportement à
l'origine linéaire ( ãà ( h ) 10*h). La profondeur au toit du socle cristallin est donc une variable

aléatoire continue.

1.5/ Variogrammes croisés

Cov=28,2

Figure 4.5

Comme dans le cas monovarié, l'inférence statistique nécessite des hypothèses de stationnarité de la corégionalisation (ensemble des variables régionalisées).

Pour analyser les liens spatiaux entre la profondeur du substratum et la profondeur à la surface du fond marin, la figure 4.5 (de droite) montre les variogrammes croisés selon les directions principales d'anisotropie. A sa lecture, nous faisons l'hypothèse d'une stationnarité d'ordre deux car ils atteignent tous deux un palier environ égal à la covariance.

D'autre part, nous observons que les variogrammes des deux variables régionalisées et le variogramme croisé se ressemblent fortement. Ca nous emmène à choisir le même modèle de base pour leurs ajustements.