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Etude des transferts de chaleur dans une enceinte confinant un matériau à  changement de phase et chauffée par des sources de chaleur protubérantes sur une paroi conductrice verticale

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par Mustapha Faraji
Université Cadi Ayad Marrakech - Doctorat 2010
  

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2. 2. 9 Convergence

La nature des équations gouvernantes (couplage et non linéarité des équations) nécessite un calcul itératif. La convergence d'un tel calcul est déclarée lorsque les trois critères suivants sont satisfaits:

- Critère mathématique:

~

k 1

+(i, j) (i, j)

- Ö k

Ö

i,j

 
 
 
 

< å

(2. 59)

 

~

i,j

Ö

k

(i, j)

où (i, j)

Ö k est la valeur de la variable dépendante Ö ( è, U ou V) au noeud (i, j) à l'itération

k. Le paramètre å doit être suffisamment petit (= 10 -9).

- Critère physique traduisant la conservation de la masse et de l'énergie:

Max ? in (i,j) -? out (i,j) < ~ m (2. 60)

1- (Q sen,s + Q sen,c + Q sen,l + Q lat ) < å T (2. 61)

où -8

å m =10 et å T= 10 -2

?in et ?out sont les débits massiques adimensionnels entrant et sortant:

? (i,j) (U (i,j) AY V (i,j) AX)

= + ~

in

~ ~

(i,j) (U (i 1,j) AY V (i,j 1) AX)

+ + ~ ~

? = +

out

1 i M+1 ; 1 j N+1

= = = =

(2. 62)

La chaleur sensible stockée par la plaque conductrice, les sources de chaleur et le MCP liquide sont exprimées par:

k 1

+ k

Q = ~ Ä Ä è - è ô (2. 63)

R X Y( ) / d

sen, s s

plaque conductrice

= ~ Ä Ä è - è ô (2. 64)

k 1

+ k

Q X Y( ) / d

sen, l

MCP liquide

k 1

+ k

Q = ~ Ä Ä è - è ô (2. 65)

R X Y( ) / d

sen, c c

source de chaleur 1,2,3

MCP

1 f

?

Q = ~ Ä Ä

X Y

lat Ste ?ô

(2. 66)

avec s p,s

ñ c ñ c

c p,c

R = ; R =

s c

ñ c ñ c

l p,l l p,l

2. 2. 10 Optimisation du maillage et du pas de temps

Afin de réaliser un compromis entre le temps de calcul et la précision des résultats des simulations numériques, une étude d'optimisation du maillage et du pas de temps a été faite. Aussi, l'effet du nombre maximal d'itérations internes sur les résultats obtenus a été analysé. En se basant sur les données de la configuration de référence données au Tableau 3.3 du chapitre III, les résultas des effets des pas de temps et d'espace sont donnés au Tableau 2.3 et à la Figure 2.5.

Le Tableau 2.3 donne l'effet de trois maillages différents: 40x60, 60x80 et 80x100, sur la fraction liquide et la température adimensionnelle maximale, à l'instant ô = 0,0343. Le pas de temps choisi étant -4

~~ = 4,42x 10(20 s). L'effet du maillage sur la durée adimensionnelle de fonctionnement sécurisé, ôfonc (è max = è cr) et la fraction liquide correspondante, f, est aussi

donné dans ce tableau. Comme on peut l'observer, le passage du maillage de 60x80 à 80x100, entraîne des variations relatives de la fraction liquide et de la température maximale adimensionnelle de l'ordre de 0,82 % et 0,76 %, respectivement. Quant à la durée maximale de fonctionnement sécurisé, ôfonc , et la fraction liquide correspondante, f, les variations

maximales sont estimées à 0,04 % et 0,11 %, respectivement. Pour confirmer ces résultats, on a analysé l'effet du maillage sur la position du front de fusion. Visuellement, la Figure 2.5.a montre que les fronts de fusion sont pratiquement confondus pour ces deux maillages.

Tableau 2.3: Effet du maillage (a) et du pas de temps (b) sur les résultats

èmax

ôfonc

M x N

Variation
relative
(%)

Variation
relative
(%)

Variation
relative
(%)

Variation
relative
(%)

f
(ô = 0,0343)

(ô = 0,0343)

(è max = è cr)

f

(è max = è cr)

Variation
relative

Variation
relative

Variation
relative

Variation
relative

èmax

f

ôfonc

f

Äô

40x60 0,3290 - 0, 01956 - 0,0964 - 0,801

60x80 0,3502 6,44 0, 01705 12,83 0,1013 4,83 0,868 7,72

80x100 0,3569 0,82 0, 01694 0,76 0,10134 0,04 0,869 0,11

(a, Äô = 4,42 x 10-4)

 

(ô = 0,0343)

(%)

(ô = 0,0343)

(%)

(è max = è cr )

(%)

(è max = è cr)

(%)

1,32x10-3 (60 s)

0, 3931

-

0, 01948

-

0,07250

-

0,758

-

7,73x10-4 (35 s)

0,3622

7,86

0,01772

9,03

0,08992

19,37

0,825

8,12

4,42x 10-4 (20 s)

0,3502

3,31

0,01705

3,78

0,10130

11,24

0,868

4,95

2,21x10-4 (10 s)

0, 3490

0,34

0,016970

0,46

0,10191

0,59

0,869

0,16

(c, M x N= 60x80)

Le Tableau 2.3.b montre que les pas de temps 4

~~ 4,42x10-

= et

At = 2,21x 10conduisent à des variations relatives de la fraction liquide, de la température

-4

adimensionnelle maximale, de la durée adimensionnelle de fonctionnement sécurisé, ôfonc ,

(è max = è cr) et de la fraction liquide correspondante, f, de l'ordre de 0,34 %, 0,46 %, 0,59 % et 0,16 %, respectivement. La Figure 2.5.b montre que les fronts de fusion sont pratiquement confondus pour des pas de temps inférieurs ( At 4,42x10- 4

= ).

(a, Äô =4,42 x 10-4) (b: 60x80)

Figure 2.5: Effet du maillage, (a) et du pas de temps, (b) sur la position du front de fusion, à l'instant ô = 0,0343

En conclusion, l'analyse des Tableaux 2.3 a et 2.3 b et des Figures 2.5 a et 2.5 b
permet de conclure qu'un maillage de 60x80 et un pas de temps 4

~~ 4,42x10-

= (20 s) sont

suffisants pour avoir des résultas insensibles aux pas de temps et d'espace. D'autres pas de temps et d'espace ont été testés, ces pas nécessitent une durée d'exécution de calcul relativement longue sans, toutefois, apporter des variations appréciables aux résultas.

Itérations internes:

Pour chaque variable Ö et pour chaque pas de temps, il faut itérer jusqu'à résoudre le couplage spatial. A cet effet, il faut que les itérations internes soient poursuivies jusqu'à ce que la somme des résidus absolus soit réduite à un niveau fixé, ou que le nombre maximal d'itérations soit atteint. Le Tableau 2.4 donne l'effet du nombre maximum d'itérations sur les résultats des simulations numériques, en se basant sur les données de la configuration de référence indiquées au Tableau 3.3 du Chapitre III.

Tableau 2.4: Effet du nombre maximal d'itérations internes sur la fraction liquide, f, et la durée adimensionnelle de fonctionnement sécurisé, ôfonc

Nombre
d'itérations

f

( è max = è cr)

Variation relative
(%)

ôfonc

(è max = è cr)

Variation relative
(%)

5

0,7203

-

0,1140

-

7

0,7910

8,94

0,1075

6,05

10

0,853

7,27

0,1025

4,88

15

0,8685

1,78

0,1013

1,18

20

0,8700

0,17

0,1018

0,49

L'analyse des résultats obtenus montre qu'un nombre maximal d'itération internes égale à 15 est suffisant pour avoir des résultats précis. En effet, si on augmente le nombre maximal d'itérations à 20, les variations relatives respectives de la fraction liquide, f, et la durée adimensionnelle de fonctionnement sécurisé, ôfonc sont égales à 0,17 % et 0,5 %.

Les équations algébriques résultantes sont résolues en utilisant l'algorithme de Thomas (TDMA), pour chaque pas de temps. La durée d'exécution d'une simulation numérique dépend directement du maillage et du pas de temps utilisés. Le contrôle du nombre maximal d'itérations internes permet de réaliser un compromis entre le temps de calcul et la précision des résultats. La durée d'une simulation typique (jusqu'à ce que è max = è cr (Tmax = Tcr)) est de

l'ordre de 9 heures de calcul itératif sur un ordinateur de bureau équipé d'un microprocesseur 2.6 GHz avec 1 Gb de RAM.

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