Calcul des performances aérodynamiques de la configuration aile-fuselage Ara M100 par maillage hybride

I.2.3. Les équations de Navier-Stokes

Nous allons maintenant établir ces équations en supposant, pour simplifier, que la viscosité dynamique ì reste constante dans tout l'écoulement. Si cette viscosité n'est pas constante, des termes supplémentaires apparaissent dans les équations du mouvement. Nous parlons ici de l'équation de conservation de la quantité de mouvement projetée suivant l'axe i.

= - + ~~) +

dill

_dxi(I..8))

^P

dvi OP

Cette équation exprime l'égalité entre la quantité d'accélération par unité de volume et les forces extérieures qui s'appliquent l'unité de volume (pression, forces volumiques, contraintes visqueuses). Dans le cas d'un fluide newtonien, les contraintes visqueuses ont pour forme :

*)+ = - .~~) + ~~+ / - 2 3 -0?. 3⁴)+ (I. 9)

~~+ ~~)

Nous devons maintenant calculer^6789' commeìp est constant, on a :6:8i

dill dx1

= - ;~&~) + ~ <~~) => - 2 3 - ~ 0?. 3^4)+ ~~+~~+ ~~) ~~) ~~+ )

(I. 10)

Ou encore :

[

dill

dXj

0². 022 0= = 1.1 v
^is+ + ?V.. v)- 1¹ ?.. v)
OxiäXj 0.7Ci33 0.7Ci(I. .11)
On obtient finalement :

dill dXj

= -?&~) + - 0?. . v) (I. 12) 3 Oxi

Etl'équationn (I.10) devient :

dvi OP

+ ~~) + -?&~) + -

~ = - 0?. 3 (I. 13)

~ ~~) 3 ~~) i

Sous forme explicite, on peut écrire :

dVi ~ d

OP ~

+ ~~~ + -?&~~ + -

= - 0?. 3 (I. 14)

~~~

3 oxi

dv2 OP ~

+ ~~& + -?&~& + -

~ = - 0?. 3 (I. 15)

~ ~~& 3 ~~&

dv3 OP~

+ ~~? + -?&~? + -

~ = - 0?. 3 (I. 16)

~ ~~? 3 ~~?

On peut aussi représenter ces troiéquationsns sous forme vectorielle compacte. Les expressions précédentes sont appeléeéquationsns de Navier-Stokes.

Lorsque le fluide est incompressibleÄ.õti = 0 et le dernier termdisparaîtit on a alors

^:

~ dv -?PVP + pg p?²v²v (I. 17)

Leéquationsns de Navier-Stokes sontrèses complexes, des solutions Analytiques lie peuvenêtrere obtenues que par certaines configurations simples. On peut dire que si on sait leintégrer,r, on pourrairésoudrere analytiquement leproblèmeses d'hydrodynamique. I.3.3. Ledifférentsts typed'écoulementsts

Nous allons maintenant donner une description qualitative rapide de quelques

^{typed'écoulements.s}

I.3.1.1. Ecoulements incompressibles et compressibles

On dit qu'un fluide est incompressible si sa massspécifiqueue varie faiblement avec la pression ou ltempérature.e. Ainsi la variation relative de massspécifiqueue pour l'eau esÄñ/ñ/p = 5x10⁴ pour une variation dtempératurerÄTAT = 1⁰K eÄñ/ñ/p = 2x10^-4 pour une variation de pressioÄñOp = 1bar. On peut donc souvent traiter l'eau comme un fluide incompressible et utiliser dans leéquationsns du mouvement undensité tñ=ño=constante.e. Dans le cas des gaz trèses généralement, les gaz sont traités comme des fluides compressibles. Cependant nous verrons qu'aux faibles vitesses d'écoulement (aux nombre de mach petits devant uM<<M« 1, les variations de densité sont faibles grandeur du carre du nombre de mach

?p ₌Ap

/4M « 1<<1 (I. 18 ~

)

Dans ces conditions, on peut traitel'écoulementnà a l'aide deéquationsns qurégissentnt ^leécoulementsts incompressibles.