Memoire Online - Bond graphs couplés pour la surveillance

Chapitre 4

odelisation bond graph

4.1 Introduction

Le modele bond graph a ete invente par H.Paynter en 1961 et developpe ensuite par Karnopp et Rosenberg en 1983, Thoma en 1975 et 1991 et Breedveld en 1984 [26]. C'est un outil unifie de modelisation des systemes dynamiques et it permet la conception, la simulation et l'analyse des systemes complexes. Il est totalement in-dependant du domaine auquel appartient le systeme physique. C'est une reproduction graphique du systeme, en utilisant les sommets et les liens pour representer respectivement les composants et les relations definissant le systeme.

Dans ce chapitre, nous introduisons les fondements de base de la modelisation bond graph comportant une classification des elements mono et multiports ainsi la notion de la causalite. Le concept, chemin causal sera, par la suite decrit en detail pour les bond graphs simples et les bond graphs multiports.

4.2 Bond graphs simples

4.2.1 Les elements bond graph Le bond

Les elements bond graphs s'echangent l'energie a travers les bonds. La puissance est le ratio de la derivee de l'energie par rapport au temps ; la puissance est le produit de l'effort et du flux. Les directions des deux variables flux et effort sont opposees. A partir de ces

0 1

i V

e f

P = ef

u F

p(t) = R 0 t e(ô)d(ô) q(t) = f0 t f(ô)d(ô)

Z t

E(t) = p(ô)d(ô)


e	i	F	q
F	v	p	x
t	w	H	q
P	Q	Pp	V

(R, C, I, Se, Sf)

(TF,GY ) (0,1)

p(0) q(0)

p(t) q(t)

Se,Sf 0,1,TF,GY

ÖR(e,f) = 0

ÖC(e,q) = 0

R,C,I

ÖI(p,f) = 0

R,C,I

0,1,TF,GY

e1 = e2 = e3 = e4
e1f1 + e2f2 - _e_3f3 - e4f4 = 0

f1 + f2 - f3 - f4 = 0

0, 1

0 0

e1 = me2
f2 = mf1

f1 = f2 = f3 = f4
e1f1 + e2f2 - _e_3f3 - e4f4 = 0

e1 + e2 - e3 - e4 = 0

e1 = rf2

e2 = rf1

0 1

A B A

B p = ef

A B

e A

A B f

FIG. 4.12 -- Position du trait causal au niveau d'un bond

Ces deux cas conduisent a deux schemas blocs differents, illustres sur la figure 4.13.

FIG. 4.13 -- Les deux differentes situations de la causalite

Comme la position du trait causal est tout a fait independante du sens de la demi-fleche, on obtient les deux cas illustres sur la figure 4.14.

FIG. 4.14 -- Independance de la position du trait causal par rapport au sens du bond

Les differents types de la causalite :

Ports avec causalites fixes : Ce sont les elements de sources d'effort et de flux qui possedent une causalite fixe (voir figure 4.15). Cependant, si l'objectif de noire analyse est la derivation du modele mathematique (Equations d'etat), alors les elements non-lineaires seront consideres comme des ports avec causalite fixe. C'est le cas ou la relation constitutive de l'element non-lineaire ne peut pas etre exprimee par une forme arbitraire de causalite.

Ports avec causalites preferees : Pour des considerations d'ordre
numerique et souvent physique, it est plus aise d'integrer que de de-
river, par consequent on essaiera d'affecter aux elements de stockage

I C

f CI e

eC = 1 f fcdt

C
eI = I dfI

C I

e C I

fC = C deC

f eIdt

fI = I 1

C I

e = Rf f R

f = e e R

TF GY 0 1

e1 = e2, e3 = e2, e4 = e2

f2 = --f1 + f3 + f4

1 n

n -- 1

f1 = f2 = f3 = f4

e3 = e1 + e2 - e4

e1 - e2 - e3 - e4 = 0

f1 = f3, f2 = f3, f4 = f3

0 1 TF GY

1 -

2 - 3 - 4 I R

I R

E = {C, I, Se, Sf, De, Df}

{R,C,I}

I R 1 - 2 - 3 - 4 -

4 - 3 - 2 - 1

X p

I q C

1 - 5 - 5 - 1 4 - 3 - 6 - 6 - 3 - 4

xi xd

Xÿ X

ÿxi xi

ÿxd xd

Z f

I C

Zi Zd

Din R

Dout R

ÿxi		S11	S12	S13	S14	Zi	Zd
=	S21	S22	S23	S24	ÿxd	Din
	S31	S32	S33	S34	Dout	Y
	S41	S42	S43	S44	U

S (n_c +n_s) (n_c +ne)

n_c (R,C,I)

n_s
n_e

Dout = L.Din

s 1/s

Zi = H(s) ÿxi

Zd = H^'(1/s) ÿxd

L H(s) H'(1/s)

Df De

I R

(a) (b)

ÿxd = [f2, e5]^tÿxi = []^t Zd = [e2, f5]^t Zi = []^tt Dout[f4]^tDin = [e4]^t
U = [Se]^t Yout = [De, Df]^t
V = [Se, e2, e5, e4, f5, f4, f2, De, Df]t

e2
f5
e4

Df
De

f2
e5
f4

?
?

? =

Zd
Din

0 --1 0 1

? 1 0 --1 0

= ? 0 1 0 0

? ?1 0 0 0

0 1 0 0

R CISe Sf De Df TF GY

0 1

R C I

C I

C C

n C

ime ÿqi

Z t _>n Z t _>n Z t _>n Z q

E = (eifi)dt = (ei ÿqi)dt = (eiq()dqi = e(q)dq = E(q)

t0 i=1 t0 i=1 t0 i=1 q0

q =

, e =

q_n

e_n

Z t _>n Z t _>n Z t >:n Z p

E = (fiei)dt = (fi ÿpi)dt = (fip()dpi = f(p)dp = E(p)

t0 t0 t0 p0

i=1 i=1 i=1

E C

fidt = dqi

edq etdq et

n I

E I

f p

ei = ÖCi(q1, q2, · · · , qj, ej+1,· · · , e_n), i = 1,2,· · · ,j

,f =

f_n

ei = Ö-1

Ci (q1,q2,···,q_n),i = 1,2,···,n

? p1

? p2 ?

p = ? p3

p_n

qi = ÖCi(e1,e2,·· · ,e_n),i = 1,2, · ··,n

qk = Ö-1

Ci (q1, q2, · · ·, qj, _ej_+1,···, e_n),k = j, 2,··· ,m

fi = Ö-1

Ci (p1,p2, · · · ,p_n), i = 1,2, · · · ,m

eI% MP

eI1

MP I

MP

0 C0

1 C1

2 C2

1 - 2 C1 - 2

0 C0

{R,C,I}

t Tt 1 < t < dim(M) dim(M)

MP t

1 C1

2 C2

1-2 C1-2

le cas des multiports, le probleme combinatoire de parcours des chemins causaux est accentue. La notion de chemins causaux et leur classification ont ete fournies par la suite afin de mieux aborder le chapitre suivant.