Conception d'antenne radiofréquence dédiée à l'imagerie par résonance magnétique

2.4. SIMULATION D'UNE ANTENNE DE SURFACE : CAS D'UNE ANTENNE

SIMPLE BOUCLE CIRCULAIRE 36

2.4.3.2 Champ magnétique B~ pour une antenne boucle circulaire

?-

Une forme analytique de B (en fonction des paramètres géométriques de l'antenne)

est relativement simple à obtenir si on se limite à des profils simples, comme sur l'axe de symétrie par exemple. Pour l'intégration de Biot-savart, l'épaisseur du conducteur électrique n'a pas été considérée et un modèle linéique a été utilisé, bien qu'une approche volumique soit possible. Le dipôle magnétique est constitué d'une boucle circulaire de courant dont le nom plus usuelle est antenne boucle. C'est une antenne de surface; dont on s'intéresse à exprimer son champ magnétique. Considérons une boucle de rayon b parcouru par un courant I (fig. 2.11).

FIGURE 2.11 - géométrie de la boucle circulaire [25]

La loi de Biot-savart pour cette antenne s'écrit :

I ?- B (r) = uoI 4ð C

?- dl ? ?- R (2.46) R3

Les composantes du segment infinitésimal le long du conducteur sont données par :

?- dl = (dx, dy, dz) = b(-sinè, cosè, 0) (2.47)

?-

Et les coordonnées du vecteur R sont :

?- R = (x - bcosè,y - bsinè,z) (2.48)

2.4. SIMULATION D'UNE ANTENNE DE SURFACE : CAS D'UNE ANTENNE

SIMPLE BOUCLE CIRCULAIRE 37

Où e est l'angle est l'angle de balayage de l'anneau circulaire. En utilisant l'équation (Biot-savart), les trois composantes du champ magnétique peuvent être calculées comme suite :

u0I Bx(x,y,z) = 47r	27r 0		bz cos ede 3 (2.49) [(x - bcose)^2 + (y - bsine)^2 + z2] 2
u0I By(x,y,z) = 47r		27r 0		bz sin ede 3 (2.50) [(x - bcose)^2 + (y - bsine)^2 + z2] 2

(b² - by sin e - bx cos e)de

[(x - bcose)² + (y - bsine)² + _z2]³ 2

(2.51)

Bz(x,y,z) = 47r

u0I

27r

0

2.4.3.2.1 Méthode analytique de calcul du champ pour une antenne le long de l'axe oz

Pour une boucle circulaire de rayon b parcouru par un courant permanent I, le champ magnétique le long de l'axe z ne contient que les composantes z et peut être calculé comme suit :

u0I Bz(0,0,z) = 47r	27r 0	b^2de	u0I = 47r	b^227r
		[(bcose)^2 + (bsine)^2 + z2]3/2		(b^2 + z2)3/2	(2.52)

Mémoire de Master of science de Physique, par Severin Didjeu. UYI

_b2

Bz(0,0,z) = u0I 2 ⁽b² + z2)3/2

Ce champ par unité de courant n'est autre que l'expression analytique de la sensibilité d'une simple boucle circulaire de rayon b, le long de l'axe (oz) de l'antenne :

Bz = u0

I 2

_b2

(2.53)

(b² + z2)3/2

2.4.3.2.2 Méthode d'intégration numériquement du champ : Gauss-Legendre

Quand il est impossible de déterminer analytiquement la primitive d'une équation, ou qu'il n'est pas possible de ramener le calcul d'une intégrale à une autre dont on connaît une solution, la façon d'obtenir un résultat est de procéder à une intégration numérique. La méthode de Gauss est celle qui permet d'avoir une formule exacte pour les polynômes de plus haut degré en choisissant au mieux à la fois les points d'évaluation de la fonction et les coefficients correspondants. On peut ainsi obtenir des valeurs approchées acceptables avec un nombre de points assez réduit, pourvu que la fonction à intégrer ne présente pas de trop grandes variations. L'intégration des équations (2.49), (2.50), (2.51) de Biot et savart par la méthode de Gauss-Legendre, En ce qui concerne la méthode de Gauss, on développe B(e) dans une base de polynômes orthogonaux dont les ei sont les racines de ces polynômes, qui sont alors irrégulièrement espacés. Ces polynômes sont définis sur l'intervalle [-1,1]. Dans