Conception d'antenne radiofréquence dédiée à l'imagerie par résonance magnétique

2.4. SIMULATION D'UNE ANTENNE DE SURFACE : CAS D'UNE ANTENNE

SIMPLE BOUCLE CIRCULAIRE 34

solution obtenue dans le cas de l'électrostatique pour le potentiel électrostatique. L'équation de Poisson pour le potentiel électrostatique U :

?^2-?U = - ñ å0	admet comme solution :
	ZZZU(M) =	ñ(p) dv (2.35) 4ðå0 k --? P M k

?-

De même, l'équation vectorielle pour A, peut s'écrire comme un ensemble de trois équations

?-

aux dérivées partielles pour chacune des composantes Ax, Ay et Az de A :

? ?? ??

?^2Ax = -ujx ?^2Ay = -ujy ?^2Az = -ujz

(2.36)

Mémoire de Master of science de Physique, par Severin Didjeu. UYI

Chacune de ces équations scalaires admet, par analogie avec la solution pour le potentiel scalaire, une solution sous la forme :

? ???? ????

Ax(M) = fff u0jx(p) 4ðk^--? P Mk^dv Ay(M) = fff u0jy(p) 4ðk^--? P Mk^dv Az(M) = fff u0jz(p) 4ðk^--? P Mk^dv

(2.37)

_ u0 ( )

^?-A(M) -fff4 PM

_7r

~

-? jp

Ce qui peut s'écrit sous une forme vectorielle qui constitue la loi de Biot-Savart pour le potentiel vecteur :

dv (2.38)

Dans un système de coordonnées cartésiennes, la loi de Biot-Savart s'écrit :

1(x z) = u0j (x_p, y_p, zp) dv (2.39)

y' ,fff /
4ð_y (x - x_p)² + (y - y_p)² + (z - z_p)²

?-

Cette expression permet de calculer le potentiel vecteur A au point M (x, y, z) créé par une distribution de courants électriques dans un volume (v) qui est découpé en éléments de volumes dv localisés aux points où les courants sont définis localement par le vecteur

?- densité de courant j (xp, yp, zp). Le champ magnétique ?- B = ?- ? ? ?- potentiel vecteur par : A

?- Bpeut être obtenu à partir du

=? ?.111 // u0 j (x_p, y_p, zp) dv (2.40)

4ð _1/(x - x_p)² + (y - y_p)² + (z - z_p)²

Le rotationnel étant calculé autour du point M, les opérations de dérivation se font par rapport aux coordonnées x, y et z. Comme l'intégration se fait par rapport aux coordonnées

2.4. SIMULATION D'UNE ANTENNE DE SURFACE : CAS D'UNE ANTENNE

SIMPLE BOUCLE CIRCULAIRE 35

x_p, y_p et z_p nous pouvons écrire :

=

fff?u0j (x_p, y_p, zp) dv (2.41)

47r\/(x -- x_p)² + (y _ y_p)² + (z _ z_p)²
7r_1//(x--x₇,)²+(y-y_y)²+(z-z_z)²

?- u + f-?

Rappelons que : ? ? (f-^? u ) = ?- ?f ? ?- ? ? ?- u d'où

(?- ? ?

?- v(x-xp)^2+(y-yp)^2+(z-zp)^2j (xp,yp,zp)

1 ((x--xp)2#177;(y--yp)2#177;(z_zp)2) ? ^?-(_p)

?- j (p)

= ?- ?

(2.42)

1

+ v(x-xp)2+(y-yp)2+(z-zp)2

?- ? ?

or

-? ?

(x-x_p)²+(y-y_p)²+(z-z_p)²)

1 P M

_k--?

^=-PMk³

et comme on calcule le rotationnel en dérivant par rapport à x, y et z et que ne dépend que

de ?- j (P) :

?- ? ? ?-j (P) = ?-0 (2.43)

?-

On obtient la loi de Biot-Savart pour le champ magnétique B :

4ð fff

~ ~ --? ~ ~ PM

?- j (p) ?--?

P M

₃ dv (2.44)

Dans le cas particulier d'un circuit filiforme parcouru par un courant I, le volume élémentaire s'écrit : d³v = d²S.dl où d²S est un élément de surface situé en un point M et dl un élément de longueur du fil ; en considérant que le point M est situé à une distance du fil supposé très mince, ainsi on écrit :

u0I Bz(0,0,z) = 4ð	2ð f 0	b^2dè
		[(bcosè)^2+ (bsinè)^2+ z213/2

Mémoire de Master of science de Physique, par Severin Didjeu. UYI

u0I =

4ð	b^22ð	(2.45)
	(b^2+ z2)3/2

u0I b2

Bz(0 0 z) = 2 (b² + z2)3/2

?-

Cette expression constitue la loi de Biot-Savart pour le champ magnétique B

Mémoire de Master of science de Physique, par Severin Didjeu. UYI