2.4. SIMULATION D'UNE ANTENNE DE SURFACE : CAS D'UNE
ANTENNE
SIMPLE BOUCLE CIRCULAIRE 32
* Calcul de l'inductance pour une boucle
circulaire
L'inductance des boucles a été calculée en
utilisant les valeurs suivantes :
|
L 4ðI2 ZZZ
V
|
ZZZ
V
|
J(r).J(r') dvdv' (2.22)
W
|
Où J est la densité de courant dans le
conducteur, u0 est la perméabilité de l'espace libre, I
représente le courant total dans le conducteur, V est le volume du
conducteur, et W=|r-r'|. Pour les géométries simples, de
nombreuses tables et formulations existent pour le calcul de l'inductance de la
boucle de l'antenne L. par exemple, pour une boucle circulaire de rayon b
constitué d'un fil de rayon a, l'inductance L (en H) s'écrit
simplement :
L = u0bl ln l âb l - 1.75 I (2.23)
2.4.3 Modélisation analytique d'une antenne à
boucle circulaire
2.4.3.1 Calcul du champ magnétique B~ par
Biot-savart
Les expériences montrent que le champ magnétique
est créé par des particules chargées
?-
en mouvement (courants électriques). Le champ
magnétostatique B obéit à deux lois :
~ Le champ magnétique
?- Bcréé par un courant I est donné par le
théorème d'Ampère :
Ic
B.-?
-? dl = u0I (2.24)
?- j ,
où C est une courbe fermée quelconque
traversée par le courant électrique I et u0 =
4ð.10-7H.m-1 est la perméabilité
magnétique du vide. Si le courant I correspond à une distribution
de charges électriques mobiles définissant un vecteur
densité de courant
?-
alors le courant I encerclé par la boucle fermée C
est le flux de j à travers une surface
quelconque délimitée par C :
I = 1111>is (2.25)
Le théorème d'ampère s'écrit alors
:
Ic dl = u0 Z f?-j.dS (2.26)
En tenant compte du théorème de Stokes :
ic B = ZP ??-B . dS (2.27)
On obtient :
ZZ ? B c = u0 Zf .7
·'`
db (2.28)
2.4. SIMULATION D'UNE ANTENNE DE SURFACE : CAS D'UNE
ANTENNE
SIMPLE BOUCLE CIRCULAIRE 33
Cette égalité étant vraie quelle que soit
la surface S, on obtient la forme locale du théorème
d'Ampère qui s'écrit :
?- ?? ?- B = u0-? j (2.29)
-Le flux du champ magnétique à travers une
surface fermée S quelconque est nul. On dit que le champ
magnétostatique est à flux conservatif. Cette
propriété est traduite par l'intégrale suivante :
ZZ
~
?-B.-?dS = 0 (2.30)
En tenant compte du théorème de
Gauss-Ostrogradski, on obtient l'équation du flux magnétique :
?- ?.-? B= 0 (2.31)
?-
Sachant que ?.-?B = 0 et que la divergence du
rotationnel d'un champ vectoriel est nulle, on
?-
vectoriel ?- A' tel que : A' =
?- A+ ?- ?ö; calculons le champ magnétostatique ?- B
' associé à
en déduit qu'il existe un champ vectoriel ?- A
appelé potentiel vecteur tel que : ?- B = ?- ? ? ?- A Ce potentiel
vecteur n'est pas défini de manière unique. En effet
considérons un autre champ
?- -?A'
? ?+ ?-? ?ö
?-
= ?? ?-A
?- A' :
-?
B' =
(2.32)
Car le rotationnel du gradient d'un champ vectoriel est
égal à zéro. Nous voyons donc que
- ?A' et -?A'=
Mémoire de Master of science de Physique, par Severin
Didjeu. UYI
= ?- B
les deux potentiels vecteurs
?- A+ ?- ?ö qui ne diffèrent que par ?- ?ö
conduisent
?-
au même champ magnétostatique B . On dit que le
potentiel vecteur est défini à un gradient
?-
près. Pour définir A de manière unique, il
faut imposer une condition supplémentaire à ?-A. Cette
condition est appelée condition de jauge. La plus utilisée en
magnétostatique est la
?- ?.-? A = 0 ; En remplaçant ?- B par ?- B = ?- ? ?
?-
condition de jauge de Coulomb qui s'écrit : A
?- Adans le théorème d'Ampère :
?- ?? ?- B = u0-?j (2.33)
Et en tenant compte de la jauge de Coulomb
?-?.-?A = 0 on obtient :
?- -? ? ? ?- = u0-?
? ? A j
?- -? ?.-? - ?2-? A = u0-?
? A j .
-?2-? A = u0-? j
Ce résultat constitue l'équation de Poisson pour le
potentiel vecteur :
?2-?A = -u0-? j (2.34)
|
?-
En absence de courants, on obtient l'équation de Laplace
pour A : ?2
|
-? A= -u0
|
-? j Pour
|
?-
trouver une solution à l'équation de Poisson pour
A, nous procéderons par analogie avec la
| 
