Application des générateurs de scénarios économiques en alm pour les compagnies d'assurance

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CHAPITRE 2. LES GÉNÉRATEURS DE SCÉNARIOS ÉCONOMIQUES

2.4.2 Modèle de Brennan and Xia

En 2000, un variant du modèle de WILKIE des générateurs de scénarios économiques est apparu, il s'agit d'un modèle singularisé par sa structure de corrélation, plus précisément à partir des données historiques disponibles, il est possible de tirer une structure de dépendance entre les variables pour assurer une projection cohérente.

Ce variant prend plus de paramètres par rapport à celle du modèle de WILKIE et prend l'inflation et l'indice action comme inputs et ne prend pas l'indice immobilier malgré son importance dans le secteur d'assurance.

L'objectif de ce modèle est de déterminer le prix d'une obligation zéro coupon sous la probabilité historique.

Il est aussi basé sur les données historiques et prend en considération deux hypothèses fondamentales :

· Constance des prix du marché de risque

· Le modèle d'équilibre décrit l'état stationnaire des facteurs observés

Les variables modélisées

1. Processus d'inflation

Modélisé par un processus de retour à la moyenne d'Orstein-Uhlenbeck sous la probabilité historique :

dInft = ê (u - Inft)dt + ó dBt (2.4.3)

Avec :

· ê : Vitesse de retour à la moyenne

· u : Moyenne long terme de Inft

· ó : Volatilité

· B : Mouvement brownien

Cette équation discrétisée soit l'approximation suivante :

_s

1 - e_2ê

Inft+1 = Inft e^-ê + u(1 - e^-ê) dt + Inft,t (2.4.4)

2ê

2. Processus d'action

Sous la probabilité historique, le prix des actions est représenté par la dynamique brownienne géométrique prend en considération l'hypothèse de constance de la prime de risque:

dSt St

= u_sdt + ó_sdB^P (2.4.5)

s

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CHAPITRE 2. LES GÉNÉRATEURS DE SCÉNARIOS ÉCONOMIQUES

Avec :

· u_s = Rt + ëS ó_s

· Rt : Taux d'intérêt nominal.

· ëS ó_s : La prime de risque.

Où ó_s la volatilité des actions et ëS la prime de risque unitaire.

3. Taux réel

Sous la probabilité risque neutre, le taux réel _Rr,t est représenté par un modèle d'équilibre de retour à la moyenne d'Ornstein-Uhlenbeck à un facteur (modèle de taux court à un facteur), soit :

dRr,t = ê(u_r - Rr,t)dt + órdW r Q (t) (2.4.6)

Avec

· ê : Vitesse de retour à la moyenne

· u_r : Moyenne à court terme de Rr,t

· ó_r : Volatilité du taux réel

· W _r Q(t) : Mouvement Brownien

· Q : Probabilité risque neutre

4. L'indice de prix à la consommation (IPC)

Dans notre mémoire on considère que l'inflation est le dérivé de l'IPC, sous la probabilité historique ,le modèle de Black and Scholes, soit :

dIt It

= Inftdt + óIdW ^P (2.4.7)

I

Avec

· I : L'indice des Prix a la Consommations

· óI : Volatilité des Indices de Prix à la Consommations

· I : Mouvement brownien

· P : Probabilité Historique

5. Taux Réel

Dédier lorsqu'on utilise la monnaie étrangère, sous la probabilité risque neutre étrangère, la dynamique du taux réel suit un modèle de Hull and White à un facteur.

Le schéma suivant montre la structure du fonctionnement du modèle :

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