CHAPITRE 2. LES GÉNÉRATEURS DE
SCÉNARIOS ÉCONOMIQUES
· rt : Taux court.
· lt : Taux long.
· êr : Vitesse de
retour à la moyenne des Taux court.
· êl : Vitesse de retour à
la moyenne des taux long.
· ór :
Volatilité des taux courts.
· ól : Volatilité des
taux longs.
· Bl,t, Br,t : Mouvement
brownien.
Après une discrétisation exact on
obtient :
rt+1 = rt
exp(-êr) + lt (1 -
exp(-êt)) + ór
1 - exp(-2êr) ~r.t
(2.3.10)
2êr
s
1 -
exp(-2êl)
lt+1 = lt
exp(-êl) + ul (1 -
exp(-êl)) + ól ~l.t
(2.3.11)
2êl
Déterminer les paramètres
lt et rt nécessite
une double régression linéaire, cette méthode consiste
à appliquer en deux étapes les MCO.
lt+1 =
â1 +
â24 +
Eî,t (2.3.12)
rt+1 =
á1à+
â21t
+ EZt (2.3.13)
La première étape consiste à
estimer â1 et
â2 et on déduit que :
·
r1-exp(-2êl)
2êl
êl =
-ln(â2)
â1
· ul =
1-â2
· ól : l'écart-type de
l'erreur du modèle estimé divisé par
Une fois les paramèetres du premier modèle
sont estimés, il convient de modèliser les
tauxd'intérêt réel à court terme en retenant les
taux réels a long terme estimé comme variable explicatif, soit
donc :
· á2 =
exp(-êr)
· á1 = 1 -
exp(-êr) = 1 -
á2
et donc :
Art + 1 =
rt+1 - rt =
á1(rt -
rt) + cr,t
(2.3.14)
Parsuite :
· êr = -ln(1
- á1)
q1-exp(-2êr)
· ór :
l'écart-type de l'erreur du modèle estimé divisé
par
2êr
Généralement les modèles
mathématiques de calibration classiques oscillent autour du mouvement
brownien géométrique, Orstein Uhlenbeck et Hull White dans le
cadre de ce mémoire.
Nous utilisons également le
théorème de cholesky : dans la formule de discrétisation,
le résidu suit une loi normale. La génération des
trajectoires revient alors à générer des lois normales
corrélées. Pour ce faire, nous allons nous baser sur le
théorème de cholesky.[14]
Théorème de cholesky :
Soit[27] M une matrice symétrique
définit positive, à déterminer une matrice triangulaire
37
38
CHAPITRE 2. LES GÉNÉRATEURS DE
SCÉNARIOS ÉCONOMIQUES
inférieure L et sa transposée telle que M
= LT L = LLT Avec :
· L : La matrice triangulaireinférieure
liée à M issue de la formule de décomposition de
Cholesky.
· LT : La transposée de
L.
De l'égalité M = LTL
on déduit : mij = (LLT )ij =
~nk=1 likljk =
~min(i,j)
k=1 likljk, 1 < i, j <
n
5. Analyse des résultats
Lors de la calibration des paramètres choisis on doit
analyser les résultats obtenus en adoptant des testes statistiques
particuliers, ceci revient à :
· Mesurer la qualité et la performance du
modèle.
· Mesurer la qualité d'ajustement : coefficient de
détermination.
· Réaliser des tests statistiques que nous allons
expliciter par la suite.
La robustesse d'un GSE est garantie à travers des
testes statistiques pour valider le caractère martingale et s'assurer de
la bonne convergence des prix estimés vers les prix de marché.
(a) Test d'ajustement
Ce test mesure la qualité de calibrage des
paramètres par rapport aux données historiques, on définit
tout d'abord SST ( Total Sum of Square) :
SST = Xn (yi -
y)2 (2.3.15)
i=1
Où :
· yi : représente les observations
étudiées.
· y : représente la moyenne empirique des
observations yi.
Le SST représente l'écart quadratique entre les
observations et leur moyenne, il peut être décomposé en
somme des variances du modèle noté SSR ( Regression Sum of
Square) et des variations résiduelles notée SSE
(Error Sum of Squares) :
SST = SSR + SSE (2.3.16)
Avec,
SSR = Xn ( byi-
y)2 (2.3.17)
i=1
Et,
SSE = Xn (yi -
yi)2 = Xn Êi
(2.3.18)
i=1 i=1
Où gi représente les
observations estimées.
Le coefficient de détermination ajusté
R2 est défini par :
|
R2 = SSR
SSt
|
SSE
= 1 - (2.3.19)
SST
|
| 
