Application des générateurs de scénarios économiques en alm pour les compagnies d'assurance

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CHAPITRE 2. LES GÉNÉRATEURS DE SCÉNARIOS ÉCONOMIQUES

· Une structure développée par A.Faleh-Planchet[18] dans ses travaux en 2011 "pour les modèles qui s'avèrent difficiles à calibrer et à implémenter on segmente la matrice de corrélation selon la nature de la volatilité forte ou bien faible."

Dans le cadre de ce mémoire, nous modéliserons la dépendance par une matrice de corrélation qui sera soumise à un backtesting pour la validation.

4. Calibration

L'objectif de cette étape se résume en ces points spécifiques :

· Déterminer les valeurs des paramètres manquantes.

· Discrétisatier des états continues en un équivalent discret. Dans notre mémoire nous utilisons la discrétisation des processus d'Orstein-Uhlenbeck, Hull and White à deux facteurs et black and scholes .

Rappelons que La discrétisation en mathématiques appliquées, c'est la transposition d'un état continue (fonction, modèle, variable, équation) en un équivalent discret.

· Respecter les modèles de calibration que demande le modèle choisit.

Ce procédé constitue en général une étape préliminaire à la résolution numérique d'un problème ou sa programmation sur machine.[25]

Méthode de projection

La méthode de projection des scénarios consiste à utiliser les processus précédemment calibrés en utilisant une matrice de corrélations. Nous présentons par la suite les processus utilisés ainsi que leurs discrétisation[20], soit :

(a) Processus de Black and Scholes

Appelé aussi mouvement brownien géomètrique : il s'agit d'un processus stochastique utilisé pour la modélisation de l'action et l'inflation adopté dans le cadre de ce mémoire.

Soit St le cours d'une action suit un mouvement brownien géomètrique :

dSt St

= udt + ódBt (2.3.1)

avec:

· u Rendement espéré.

· ó Volatilité.

La résolution de l'équation différentiel stochastique donne :

_ó2

St = S0 exp((u - 2 )t + ó(Bt - B0)) (2.3.2)

Après discrétisation exacte on obtient :

_ó2 v

St+o = St exp((u - 2 )ä + ó ä c) (2.3.3)

avec:

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CHAPITRE 2. LES GÉNÉRATEURS DE SCÉNARIOS ÉCONOMIQUES

· ä : Pas de discrétisation

· E : Variable aléatoire de loi normale centrée réduite.

(b) Processus d'orstein-uhlenbeck

Ce processus est utilisé dans le cadre de l'estimation des paramètres du modèle AR ¹(k) basé sur la méthode classique des MCO ², on se restreint à k = 1 dans le cadre de ce mémoire.

Ce processus est déjà utilisé pour modéliser l'inflation, le taux d'intérêt réel, le rendement de l'immobilier.

On suppose que X suit un processus d'Orstein-Uhlenbeck :

dXt = ê(u - Xt)dt + ódBt (2.3.4)

avec :

· ê : le vitesse de retour à la moyenne.

· u : la moyenne à long terme de X.

· ó : le terme de volatilité.

Ce processus est caractérisé par une oscillation autour de sa valeur moyenne, en effet u - Xt aura tendance à converger vers ê

La résolution de l'EDS donne :

t

Xt = X0 exp(-êt) + u (1 - exp(-êt)) + ó exp(-êt) ^f exp(-ês) dBS (2.3.5)

Après discrètisation exact on obtient :

X X p(-- ) ,u ( p(-- )) \I1 - e2(-2êä) (2.3.6)

t+a = _t ex r~S + 1 -- exp(--k S + o- Ex.t 2.3.6

avec :

· ä : Pas de discrétisation.

· E : Variable aléatoire de loi normale centrée réduite.

On considére dans notre mémoire que ä = 1 : l'estimation des paramètres est effectuè par une régression linéaire simple :

Xt+1 = Xt â + á + à~x.t (2.3.7)

Après une estimation de á, â il vient que :

· ê = -ln(â)

á

· = u

1-âV 1-exp(-2ê

· ó est égal à l'écart type de l'erreur du modèle estimé divisé par

2ê

(c) Processus de Hull-White à deux facteurs

Le modèle Hull-White a deux facteurs consiste en une dynamique du taux court rt et une dynamique du taux long lt reprenant l'approche de retour à la moyenne de Vasicek. Les équations différentielles stochastiques associées sont :

drt = êr(lt - rt)dt + órdBr,t (2.3.8)

dlt = êl(ut - rt)dt + óldBl,t (2.3.9)

avec :

1. autorégressif

2. Moindre carré