Modélisation et diagnostic des systèmes non linéaires par acp à noyaux

3.3 Détection et localisation en Kernel PCA

3.3.1 Détection en Kernel PCA

Une approche pour la surveillance des processus par ACP à noyau implique l'utilisation des indices de détection tel que les deux statistiques T²(Hotlling) et Q (SPE).

3.3.1.1 Statistique Q (SPE)

La technique de surveillance de la KPCA est similaire à la procédure utilisée dans l'ACP classique mais calculée dans l'espace caractéristique (Feature space). La statistique SPE pour la détection de défauts est donnée par :

SPE = kÖ(X) - ^bÖ_p(X)k² = k4;N(X) - ^bÖ_p(X)k^2_

= ÖN(X)^TbÖN(X) - 2^bÖN(X)^T Ö_p(X) + Ö_p(X)^T Ö_p(X)

=

XN j=1

tjVj^T

XN k=1

tkVk - 2

XN j=1

tjVj^T

X ^p k=1

tkVk +

X ^p j=1

tjVj^T

X ^p k=1

tkVk

=

XN j=1

t^2j - 2

X ^p j=1

t^2j +

X ^p j=1

t2 = j

XN j=1

t^2j -

X ^p j=1

t2 j

On donne :

N N

tk = hVk, Ö(Xt)i = a^k_i hÖ(Xi), Ö(Xt)i = a^k_ikt(Xi, Xt)

i=1 i=1

Détection et localisation en Kernel PCA L'ACP à Noyau (Kernel PCA)

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tk représente les dernières composantes. Le processus est considéréen fonctionnement anormal (présence d'un défaut) à l'instant k si :

SPE(k) > ä2 _á

Oùä² est le seuil, le même que pour l'ACP classique (voir chapitre 2).

3.3.1.2 Statistique T2

T2 = tË^-1t^T

Oùt sont les composantes principales et Ë les premières valeurs propres de la matrice de Gram.

Le seuil de détection peut être approximé, pour un seuil de confiance á donné, par une distribution du ÷².

Le processus est considéréen fonctionnement anormal (présence d'un défaut) à l'instant k si :

T2 (k) > ÷2 _l,á

Où:

÷2 l,á = l(N - 1)(N + 1)

N(N - l) Fl,(N-l),á