II.2.1.2 Equation générale de la convection
naturelle
La détermination de l'écoulement de convection
pour un fluide newtonien se fait grâce aux équations de
Navier-Stokes qui regroupent trois équations (continuité,
conservation de quantité de mouvement et conservation d'énergie).
Voici l'expression de ce système d'équations dans le cas de la
convection naturelle :
? Equation de continuité :
? ? ? ?
II-1
? Equation de conservation de quantité de mouvement :
? ? ? ? ? ?
II-2
? Equation de conservation d'énergie, sous forme
d'enthalpie :
? ? ?
II-3
Où est la pression motrice qui correspond à
l'état de référence telle que
. Et á est la diffusivité thermique du fluide : /
.
est le terme source qui caractérise la participation
radiative du fluide (absorption,
émission) telle que ? . Ce terme se
calcule une fois le champ spatial et directionnel de la
luminance connu dans
tout le domaine de calcul. Il est à noter que les luminances sont
solutions de l'équation de transfert radiatif qui exprime en chaque
point d'un chemin optique et suivant une direction donnée, le bilan
entre la perte (absorption et diffusion) et le gain (émission et
renforcement par diffusion) de photons. soit :
? ? ( ) ? ? II-4
Dans le cadre des hypothèses de Boussinesq, les
caractéristiques physiques sont considérées comme
constantes. L'évolution de la masse volumique étant la cause des
mouvements, seules les variations de la masse volumique en fonction de la
température sont considérées dans le terme de
l'équation de conservation de la quantité de mouvement. Les
équations de Navier-Stokes deviennent donc :
? Equation de continuité :
?
II-5
? Equation de conservation de la quantité de mouvement
:
Rédigé et soutenu par TIENTCHEU NSIEWE Maxwell
Phidelo Page 37
« Etude de la convection naturelle turbulente dans
une enceinte à paroi chauffé »
?
? ? ? II-6
> Equation de conservation de l''énergie :
?
II-7
II.2.1.3 Equations adimensionnées
II.2.1.3.1 Grandeurs adimensionnelles
caractéristiques du problème
>
Rapport de forme vertical :
> Rapport de forme transverse :
> Rapport de forme Horizontale :
> Coordonnées adimensionnées
:
> Température adimensionnée
:
> Vitesses adimensionnées :
·rre
V' W V v
H
> Temps adimensionné : t avec tref =
Lref = a~
V F
> Rapport de température :
> Nombre de Planck : 6T (son inverse le nombre
de rayonnement Nr)
> Terme source adimensionné :
v
> Flux radiatif adimensionné :
> Nombre de Rayleigh : le nombre de Rayleigh est le
rapport entre le phénomène moteur du mouvement (la poussée
d'Archimède) et les phénomènes résistants
(diffusion de chaleur et frottements visqueux). Dans le cas où
l'élément moteur du mouvement est un écart de
température, ce qui est tout le temps le cas dans des cavités
différentiellement chauffées, ce nombre s'exprime de
la façon suivante
> Nombre de Prandtl : afin de caractériser le
fluide, le nombre de Prandtl est introduit. Il s'agit du rapport entre la
diffusivité de quantité de mouvement (viscosité
cinématique) et la
diffusivité thermique
> -Nombre de Nusselt : C'est le flux de chaleur
échangé de manière conduction, convection et radiation,
adimensionnée par un flux de conduction de référence. Il
peut se
décomposer en deux parties : d'une part le nombre de
Nusselt conducto-convectif noté et le
nombre de Nusselt radiatif noté . On écrit :
Rédigé et soutenu par TIENTCHEU NSIEWE Maxwell
Phidelo Page 38
« Etude de la convection naturelle turbulente dans
une enceinte à paroi chauffé »
Le flux de conduction de référence est
basé sur l'écart de température entre les parois
différentiellement chauffées et sur la hauteur
de la cavité (en général, on le base sur la largeur de
la
cavité), soit :
Le flux conducto-convectif s'exprime à partir du
gradient normal à la paroi considérée, soit
? ?
|
Le flux radiatif quant à lui, est défini tel que
:
|
??
|
? [ ]
|
? Paramètre de stratification thermique est donné
par :
| 
