Chapitre 3 : Les difficultés de la
résolution numérique par éléments finis de la
consolidation unidimensionnelle de Terzaghi
3.1. - Introduction
En rappel l'équation établit par Terzaghi est :
e2
t
u eu
cv =
eu 2 e
(3. 1)
Dans cette équation, c, le coefficient de
consolidation est supposé constant. Considération faite, nous
avons une équation aux dérivées partielles du second ordre
à coefficient constant. Une solution exacte de cette équation
peut être déterminée par résolution analytique. La
complexité de cette résolution, le besoin d'outils pratiques
à la disposition des ingénieurs et le développement des
outils informatiques sont tels que les résolutions numériques
sont à l'ordre du jour. La résolution numérique par
éléments finis est très utilisée dans les calculs
de tassements à travers des logiciels comme Plaxis, CESAR-LCPC. Gardons
à l'esprit que la résolution numérique donne une solution
approchée de l'équation, la résolution analytique une
solution exacte et voyons le comportement de l'équation de Terzaghi dans
la résolution par éléments finis. Pour cela après
avoir fait la discrétisation en espace et en temps nous ferons la
résolution de l'équation dans un premier temps. Ensuite nous
analyserons les résultats de la résolution aux points singuliers.
Enfin nous comparerons les résultats issus de cette résolution
avec la solution exacte de l'équation.
3.2. - Discrétisation en espace de la
consolidation unidimensionnelle et fonction d'interpolation
Le principe de la méthode des éléments
finis c'est de diviser un ensemble en plusieurs éléments afin de
mieux appréhender son comportement. Considérons un massif de sol
de profondeur H et perméable à ses deux limites. Nous allons le
discrétiser comme suit sur la figure 3.1 : le massif est divisé
en n éléments. Chaque élément, verticale,
comporte deux noeuds. Les éléments peuvent avoir des longueurs
différentes. Pour simplifier nous les affecterons tous de la longueur h.
( h --* 0)
Mémoire de Master 16 Yamné
A.K. KOUAMA
UFR/SI
Surcharge
H
Limite perméable
h
Limite perméable
Noeud
Noeud i Elément i Noeud
i+1
Fig. 3. 1. -Discrétisation en espace
d'une couche de sol
Pour tout calcul avec les éléments finis, la
précision est d'autant plus grande que le maillage est important.
Le maillage terminé, nous devons trouver une relation
qui permet d'avoir la longueur à chaque point des
éléments. Pour ce faire on utilise des fonctions d'interpolation
encore appelées fonctions de forme. Il existe plusieurs types de
fonctions d'interpolations, linéaires ou polynomiales. En ce qui nous
concerne, consolidation unidimensionnelle, une fonction linéaire est ce
qui sied. Soit:
Ni(x j) = axj?b la
fonction de forme (3. 2)
Ni (x j) = ? ij (1
si i=j sinon 0) la fonction de Kronecker (3. 3)
N 1 ( x 1) 1
= z
= ? ? N 1' 1
N N x j
1 1 ( ) 1
? ?
h
?
?
?
?
h
(3. 4)
( x
2) = 0
N 1
N 2 ( x 1) 1
= z
= ? ? N '2 1
N N x j
2 2 ( ) 1
? ?
h
?
?
?
?
h
(3. 5)
(
x
N 2
2) = 0
| 
