La mécanique statistique des membranes biologiques confinées

6.2 Hamiltonien effectif.

Nous considérons une membrane fluide fluctuante, immergée dans un liquide à trois dimensions, qui contient de très petites impuretés. Pour simplifier l'étude, nous supposons que les impuretés sont ponctuelles.

Dans la représentation de Monge, un point de l'interface peut être repéré par les coordonnées (x, y, h (x, y)). Ici, (x, y) représentent les coordonnées sur le plan de projection, et h (x, y) la fonction hauteur pouvant prendre des valeurs positives ou négatives. Dans ce qui suit, nous adopterons la notation (r, z = h (r)), où r = (x, y) ? R² est le vecteur transverse et z la distance perpendiculaire au plan de projection.

La Mécanique Statistique des membranes fluides, sans impuretés, est basée sur l'énergie libre de courbure de Canham-Helfrich [8]

~ ~ê 2 h2

Ho [h] = d2r ₂ (?h)² + ~ , (5.1)

avec ê la constante de rigidité de courbure, et u > 0 est le paramètre de confinement. La membrane est supposée sans tension. En fait, cette supposition ne change pas les conclusions faites ci-dessous. Le terme de confinement est responsable de la localisation de la membrane dans quelque région de l'espace Euclidien, où elle fluctue autour d'un plan d'équilibre. Pour modéliser les effets d'impuretés sur les propriétés statistiques du système, nous supposons que celles-ci ont tendance à renforcer le

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confinement de la membrane, si elles sont répulsives, et elles rendent cette membrane plus libre, si les particules sont plutôt attractives. Ces tendances peuvent être expliquées par le fait que le paramètre température est supposé local dans l'espace, et en faisant la substitution

u (r) = u + V (r) . (5.2)

Le déviation V (r) peut être regardé comme un potentiel externe aléatoire. Pour simplifier, la distribution de probabilité correspondante est supposée être Gaussienne (désordre non carrelées), et l'on a alors

V (r) = 0 , V (r) V (r^') = -vä2 (r - r^') . (5.3)

Ici, -v est une constante positive, qui est proportionnelle à la concentration des impuretés et à l'amplitude de leur force d'interaction avec la membrane. La notation ä2 (r) signifie la fonction de Dirac à deux dimensions.

Par conséquent, le Hamiltonien de Canham-Helfrich revêt la nouvelle forme suivante

~ _~ê ~

H [h] = d2r ₂ (?h)² + 2 1 (~ + V (r)) h² . (5.4)

Pour des impuretés répulsives, il suffit de remplacer V (r) par iV (r), avec i² = -1. Puisque la distribution de désordre est Gaussienne, tous ses moments impairs sont nuls. Cela implique que toutes les grandeurs physiques calculées avec le potentiel imaginaire pur iV sont des nombres réels.

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Les impuretés et la membrane ne sont pas en équilibre, donc le désordre est plutôt trempé. Dans ce cas, nous n'avons pas à moyenner la fonction de partition, Z, mais plutôt son logarithme, ln Z. Ce dernier, définit l'énergie libre. La fonction de partition, à une configuration d'impuretés donnée, s'écrit

Z = Dhe^-A[h] , (5.5)

avec l'action

A [h] = l~B[T = d²r

(?h)² +

2 + V~(r)h² . (5.6)

Nous avons utilisé les notations

~ê =	ê		u=	u		V~= V kBT . (5.7)
	kBT ,			kBT ,

En terme du potentiel aléatoire réduit, V, la deuxième loi du désordre apparaissant

dans la relation (5.3), devient : V (r) V~ (r^') = -vä (r - r^'), avec la constante de couplage renormalisée : v = v/ (kBT)². Une simple analyse dimensionnelle montre que : [îZ] = L⁰, [u] = L^-4 et [v] = L^-s, avec L une certaine longueur pouvant être l'épaisseur de la membrane.

Pour calculer la moyenne ln Z, la procédure standard consiste à utiliser la méthode des répliques [3], basée sur la limite

ln Z = lim n?0	Zn - 1		(5.8)
	n	.

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En moyennant sur le désordre, l'on obtient

~Zⁿ = Dh1...Dh_ne^{-A[h~,...,h~]} ,(5.9)

avec l'action effective, obtenue après n répliques,

A [h1, ..., h_n] = f d2r $2 ~ (?h_á)² + 2 h²_á + v8 ~ ha (2_, h²â ,

á=1 á=1

á=1â=1

(5.10) où les indices grecs désignent les répliques. Le dernier terme est responsable de l'interaction effective entre les répliques, dues à la présence d'impuretés (i < 0). L'action ci-dessus décrit des impuretés attractives. Pour des impuretés répulsives, le couplage i doit être remplacé par -v. L'apparition de ce terme signifie que la présence des impuretés augmente l'entropie, si elles sont attractives, et la diminue lorsqu'elles sont répulsives.

Au paragraphe qui suit, l'objectif est une détermination quantitative du spectre de fluctuations d'une membrane presque-plate, en présence d'impuretés.