3.3. 5 Longueur de persistance.
Nous finissons cette section par un rappel de la
notion importante de longueur de persistance,
îp, qui est liée au phénomène de
froissement de la membrane. Cette longueur a été introduite, pour
la première fois, par de Gennes et Taupin [20,
21]. Cette idée a donné lieu, par la suite,
à une quantité impressionnante de travaux sur les surfaces
fluctuantes. Cette longueur de persistance peut être comprise en
notant
hapitre 2 :Mécanique Statistique des
biomembranes. 61
qu'une surface, si elle n'est soumise à aucune
tension latérale (u = 0), reste rigide
jusqu'à une certaine longueur îp. C'est la
longueur au-delà de laquelle la membrane perd sont ordre
orientationnel, et plus froissée à des échelles
supérieures à cette même longueur. Afin de
déterminer une telle longueur, il suffit de calculer la fonction de
corrélation du vecteur normal n
(-?n (0)
.-?n (-?r
)) ~ exp
{-r/îp} , (2.14)
avec la longueur de persistance
îp =
ao exp
{2ðk/kBT} , (2.15)
où ao
représente la taille typique des lipides. La relation
précédente montre que la longueur de persistance est d'autant
plus importante que la rigidité de courbure est forte. Aussi, cette
même échelle de longueur est sensible à la
température, et qu'elle se déplace vers ces faibles valeurs
à mesure que la température augmente. La formule
(2.14) suggère que pour des
échelles inférieures à îp, la
membrane est plane, et ses orientations sont alors
corrélées. En revanche, au-dessus de
îp, la membrane est plutôt
froissée, et ses orientations sont
décorrélées [21]. Nous
soulignons, de passage, qu'au-dessus de îp, la
description d'une membrane quasi-plane, gouvernée par le Hamiltonien de
Canham-Helfrich, n'a plus de sens.
Revenons à la définition
(2.15) et notons le point important
suivant. C'est que la longueur de persistance îp
dépend du rapport k/kBT, et ceci d'une
manière exponentielle. Une petite variation de k entraîne
donc une grande variation de îp.
hapitre 2 :Mécanique Statistique des
biomembranes. 62
Ainsi, si ê N
10kBT, cette longueur est astronomique, et la
membrane est lisse, à toutes les échelles. Si
ê N kBT, îp N 0,
5 pm, pour la valeur ao
N 10 Angströms, les fluctuations
de courbure sont assez fortes, pour des vésicules géantes ou des
globules rouges. Si ê N 0,
1kBT, îp N
230 Angströms.
Enfin, soulignons que, pour les
micro-émulsions, la longueur îp fixe
l'échelle de taille de la dispersion de l'huile dans l'eau ou
l'inverse.
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