3.3.5 Transformée de Lamperti
Avant d'aborder les méthodes de résolution
numérique, nous allons introduire la transformée de
Lamperti [30] qui est très utile pour traiter de nombreux processus
stochastiques markoviens. Sous la forme différentielle suivante
dXt = u(t,Xt)dt +
ó(Xt)dWt (3.19)
On appelle la transformée de Lamperti de X, la
fonction Y définie de la manière suivante :
Xt du
Yt = F(Xt) = fo ó(u)
(3.20)
Avec ce changement de variable, l'équation stochastique
(3.19) devient
dYt = uY (t,Yt)dt
+ dWt
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avec
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u (t,F-1(y))
uY (t, Yt) = ó
(F-1(y))
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1 ?
2 ?x ó (F-1 (y))
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d'où, on a
dYt =
( 1
p(t
,
Xt)
ó(Xt)2
?f(t,x)
?t
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?f(t,x) 1
?2 f(t,x)
óx(x)
= 0 , = et =
?x ó(x) ?x2
-ó2(x)
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on obtient directement le résultat
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dYt = df(t,x) = (0
+u(t,Xt)
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1 1 2 óx PO 1
ó (Xt) 2 ) dt + ó(Xt)
dWt
ó (Xt) 2 ó (Xt)
óW(t)
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(u(t,Xt) 1
=
ó(Xt)
2óx(Xt)) dt + dWt
L'intérêt de cette transformation est qu'elle
supprime le bruit multiplicatifs de l'équation différentielle
stochastique initiale au profit d'une équation de Langevin non
linéaire avec un bruit blanc simple. Nous allons voir par la suite que
sur le plan numérique ce changement de variable est très utile et
peut améliorer la précision numérique. Cette
transformation a été l'objet de peu de travaux jusqu'à un
passé récent, elle est étudié en détail ses
propriétés et son intérêt dans [19]. En fait, la
transformation de Lamperti peut être envisagée d'au moins deux
points de vue. D'une part, elle permet une manipulation indirecte des processus
auto-similaires (filtrage, prédiction, etc.) en opérant sur leurs
contreparties stationnaires. D'autre part, des outils stationnaires classiques
peuvent être "Lampertisés", offrant ainsi de nouvelles
façons de manipuler les processus autosimilaires2.
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