Conception d'un pro logiciel interactif sous r pour la simulation de processus de diffusion

3.3.4 Bruit blanc, bruit coloré

L'interprétation en sciences physiques des équations stochastiques repose sur la notion de bruit blanc ou de bruit coloré. Un processus de Markov continu a des increments X(t +dt)-X(t) qui ne dépendant que du temps t, dt et de X(t) et de manière différentiable pour X(t) = x de t et de x. La continuité de X(t) traduit le fait que l'increment X(t + dt) - X(t) sachant que X(t) = x tend vers 0 quand dt tend vers 0. Cet increment suit une équation de la forme

v

X(t + dt) - X(t) = u(t,x)dt + ó(t,x)N(0,1) dt (3.18)

où u(t,x) et ó(t,x) sont des fonctions arbitraires et N(0,1) est une variable aléatoire gaussienne centrée réduite. En remplaçant x par Xt, on a

X(t +dt) -X(t)	ó(t,Xt)N(0,1) = u(t,Xt)dt + vdt
dt

Le processus aléatoire N(0, 1)/vdt suit une loi gaussienne N(0,1/dt). La limite de ce processus définit le bruit blanc gaussien

î(t) = lim dt?0

1 N ( 0, dt)

Ce bruit conduit à l'équation de Langevin (3.17)

dXt
dt

= u(t,Xt)dt + ó(t,Xt)î(t)

Il vérifie les propriétés

(î(t)) = E(î(t)) = 0

(î(s),î(t)) = R(s,t) = ä(t - s)

La fonction de corrélation ne dépend que de la différence ô = t - s. La densité spectrale du

processus vaut

+8 +8

S(ù) = 2J R(ô)e^-iùôdô = 2/ -8 ä(ô)e^-iùôdô = 2

Le spectre du bruit blanc est constant et indépendant des fréquences.

Un bruit coloré est un bruit dont la densité spectrale dépend des fréquences. La couleur est la sélectivité ¹ du spectre de fréquences. Donnons deux exemples de bruit coloré

(1) Le processus d'Ornstein-Uhlenbeck stable (l'exemple 3.5) est un bruit coloré. Il est obtenu à partir du processus d'Ornstein-Uhlenbeck Xt dépendant d'un instant t0 et en faisant tendre le temps initial vers -8

åt = lim t?-8

Xt = N ( 0, 2) 2r

Ce processus est indépendant de la condition initiale x0 et de t. Il vérifie les propriétés

(å(t)) = E(å(t)) = ⁰

2

Ws), å(t)) = R(s,t) = ó

_2r-r|t-s|

Lorsque le paramètre r tend vers l'infini, ce bruit coloré tend vers un bruit blanc. Sa densité spectrale est

S(ù) =

ó2 +^82a^2 | e -iùô _7 2a2 uô = r _ ù2 + r2 . I 8

1. Télécommunications capacité d'un récepteur à capter les signaux d'un émetteur tout en éliminant les signaux émis par des fréquences voisines.

óx (Xt)) dt + dWt (3.21)

Preuve Appliquant la formule d'Itô (3.7) à la fonction Yt = f (t,x) = fj ól:), avec

(2) Un autre exemple de bruit coloré est le bruit des télégraphistes. Le processus stochastique est un processus Xt = #177;a, qui ne prend que deux valeurs. L'intervalle de temps entre les changements de signe est distribue exponentiellement. Si on note u le nombre moyen de changement de signe par unité de temps, le processus a pour fonction de corrélation

(X(s),X(t)) = R(s,t) = _a2_e-2u|t-s|

Sa densité spectrale vaut

8u

S(ù) = a2 ù2 + 4u²