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RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE
MINISTÈRE DE L'ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITÉ DES SCIENCES ET TECHNOLOGIE DE HOUARI BOUMEDIENNE
FACULTÉ DES MATHÉMATIQUES

Mr. Rachid OUAFI Maître de Conférences/A à l'USTHB Examinateur.
Mr. Abdelkader TATACHAK Maître de Conférences/A à l'USTHB Examinateur.

Table des matières

Table des matières Liste des figures Introduction Générale 1 Généralité sur Les Processus Stochastiques							iii v 3 6
	1.1		Introduction				7
	1.2		Définitions des processus				7
	1.3		Processus stochastiques particuliers				8
	1.4		Processus stochastiques établi à partir de la distribution gamma				10
	1.5		Processus stochastiques établi à partir de la distribution de Student				11
	1.6		Processus de Markov				12
	1.7		Processus du second ordre				13
	1.8		Processus ergodiques				15
	1.9		Martingales et temps d'arrêt				16
			1.9.1 Temps d'arrêt				16
			1.9.2 Théorème d'arrêt				17
2	Mouvement Brownien						18
	2.1		Introduction				19
	2.2		Construction du mouvement brownien				20
			2.2.1 Construction par un processus gaussien				20
			2.2.2 Construction par une limite d'une marche aléatoire				21
			2.2.3 Construction par le développement de Karhunen-Loève (D.K.L)				22
	2.3		Semi-groupe du mouvement brownien				24
			2.3.1 Propriété de Markov				24
			2.3.2 Mouvement brownien multidimensionnel				25
	2.4		Approximation la dérive d'un mouvement brownien standard par un bruit blanc
			gaussien				27
	2.5		Continuité des trajectoires				27
	2.6		Régularité des trajectoires				28
	2.7		Mouvement brownien arithmétique				32
	2.8		Mouvement brownien géométrique				34
	2.9		Pont brownien				36
		2.9.1 Construction par processus contraint 2.9.2 Construction par le développement de Karhunen-Loève (D.K.L) 2.10 Martingales exponentielles 2.10.1 Caractérisation de Paul Lévy du mouvement brownien 2.10.2 La loi du temps d'atteinte du mouvement brownien 2.10.3 Les temps de passage du mouvement brownien				37 39 39 40 42 43
		2.11 Conclusion				45
3		Processus de Diffusion				46
		3.1 Introduction				47
		3.2 Intégrale stochastique				48
		3.2.1 L'intégrale d'Itô				48
		3.2.2 L'intégrale de Stratonovitch				50
		3.2.3 Processus d'Itô				51
		3.2.4 Formule d'Itô				52
		3.2.5 La règle de multiplication				55
		3.3 Èquations différentielles stochastiques				56
		3.3.1 Introduction et définitions				56
		3.3.2 Existence et unicité des solutions de l'ÉDS				59
		3.3.3 Équation de Langevin				61
		3.3.4 Bruit blanc, bruit coloré				62
		3.3.5 Transformée de Lamperti				64
		3.4 Schémas numériques				65
		3.4.1 Simulation numérique				68
		3.4.2 Relation entre le schéma d'Euler et Milstein				72
		3.5 Les modèles attractives				75
		3.5.1 Modèle d'une diffusion en attraction M ó s=1(Vt)				76
		3.5.2 Modèle de deux diffusion en attraction M ó m>0(V(1) t		) +-' M 0 ó (V(2) t	) . . . .	80
		3.6 Conclusion				83
4		Comportement Asymptotique Des Processus de Diffusion				84
		4.1 Introduction				85
		4.2 Équation de Fokker-Planck				85
		4.2.1 L'origine de l'équation de Fokker-Planck				87
		4.2.2 Modélisation d'une équation physique				89
		4.2.3 Existence d'une solution				94
		4.3 Processus de diffusion stationnaires				95
		4.4 Classification des processus de diffusion linéaire				96
		4.4.1 Processus de diffusion de type N				97
		4.4.2 Processus de diffusion de type G				101
		4.4.3 Processus de diffusion de type B				105
		4.5 Calculs de l'instant de premier passage				108
		4.5.1 IPP d'une diffusion en attraction M ó s=1(Vt)				109