II. THEORIE DES POSSIBILITES -
VARIABLES
LINGUISTIQUES - PROPOSITIONS FLOUES
A. LA THEORIE DES POSSIBILITES
Si la théorie des sous-ensembles flous assouplit le
cadre de la théorie classique des ensembles pour pouvoir traiter
l'imprécision, la théorie des possibilités propose un
cadre permettant de traiter les incertitudes difficiles, voire impossibles
à traiter par la théorie des probabilités. C'est une
théorie mathématique basée sur la théorie classique
des ensembles, correspondant à l'introduction de la nouvelle notion de
distribution de possibilité. En effet, raisonner en termes de
probabilités suppose de pouvoir définir la probabilité de
chaque événement. C'est donc un moyen de dire dans quelle mesure
la réalisation évènement est possible et à quel
point on en est certain sans toute fois avoir à sa disposition
l'évaluation de sa probabilité. Pour cela, il faut en avoir une
bonne connaissance. Si cette connaissance n'est pas disponible, alors on
raisonne en termes de possibilité (et de son dual,
nécessité). La théorie des possibilités comme la
théorie des ensembles flous est basée sur les fonctions
d'appartenance
1. Définition : Fonction de
possibilité
La fonction de possibilité ð associe à chaque
évènement d'un univers 1~ une valeur entre 0 et1 qui
définit le degré de possibilité de
l'événement :
ð : u ?
Ù-ð(u)? [0,1]
Il ne faut pas confondre possibilité et probabilité
car même si les deux notions traitent des incertitudes
évènementielles, certaines différences très
importantes séparent ces deux
0 0
concepts .Par exemple, si A est événement
contraire de A, on a P ( A ) = 1- P(A) mais il n'y a
0
aucune raison que (A)
ð soit égale à 1- t(A).
Nous allons à présent définir les notions de
mesure de probabilité, distribution de
possibilité, mesure de nécessite et donner une
propriété essentielle de la mesure de nécessite.
Définition : Une mesure de
possibilité est une fonction ð : P (
X ) ? [ 0,1] vérifiant les propriétés :
(i) t ({}) = 0, t (X) = 1
(ii) ? ? ?
( )
A P X
( ), ( ) sup ( )
ð U =
A ð A où I est un ensemble
i i I i i
i I
i I
?
quelconque d'indices.
Propriété : t (A U B) =
Max (t (A), t (B)) Définition :
?
On appelle distribution de
possibilité ou fonction de possibilité,
une fonction ð : X ? [ 0,1] qui
vérifie la condition de normalité ( ) = 1
Sup x
ð
x X
|
La mesure de possibilité de possibilité
associée est définie par :
|
ð ( ) = ð ( )
A Sup x
x ? A
|
Définition : Une
mesure de nécessité est une fonction N
définie de P(X) dans [0,1] et vérifiant :
(i) N ({}) = 0, N(X) = 1
(ii) N n Ai = Inf N A (
i ) où I est un ensemble quelconque d'indices.
i I
?
i I
?
Propriété : cette
propriété est vérifiée par la mesure de
nécessité.
Pour tous A et B éléments de P(X), nous avons N
(AnB) = min (N (A), N (B))
En outre, en l'absence de P (A) (évaluation de la
probabilité de l'évènement A), on se sert du couple (N
(A), ð (A)) pour représenter l'incertitude sur l'occurrence de
l'évènement A. La nécessité et la
probabilité d'un évènement quelconque encadrent sa
possibilité inconnue.
La théorie des ensembles flous fournit une base
naturelle à la théorie des possibilités. Une contrainte
souple ou floue sur les valeurs que peut prendre une variable x induit une
distribution de possibilité sur les valeurs que peut prendre cette
variable .On associe donc à une variable dont les valeurs sont
floues,une distribution de possibilité de la même manière
qu'on associe à une variable aléatoire dont les valeurs
stochastiques ont une distribution de probabilité .On peut
interpréter donc toute distribution de possibilité comme une
restriction floue élastique sur les valeurs que peut prendre une
variable .La distribution de possibilité devient alors une fonction
d'appartenance d'un ensemble flou représentant cette contrainte.
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