Variables linguistiques et propositions floues

REPUBLIQUE DU CAMEROUN
Paix - Travail - Patrie

UNIVERSITE DE YAOUNDE I THE UNIVERSITY OF YAOUNDE I

ECOLE NORMALE SUPERIEURE

HIGHER TEACHERS TRAINING

COLLEGE

N

E

S

DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
DEPARTMENT OF MATHEMATICS

MA 510 : LOGIQUE FLOUE

THEME:

VARIABLES LINGUISTIQUES ET PROPOSITIONS FLOUES

Filière : MATHEMATIQUES Niveau : 5

Sous la direction de : Dr FOTSO SIMEON

Année académique 2009- 2010

LISTE DES MEMBRES DU GROUPE

N°	NOMS ET PRENOMS	Matricule
1	AMANG GUEBEDIANG Stéphanie A.	98M012
2	LONLACK TCHOFFO Alain Isidore	02U184
3	MINLEND Ignace Aristide	03T192
4	NGONO AMOA Madeleine Flora	99Y469
5	NJIFON Ousseni	03V253
6	NTSAFACK DONGMO Frank Wilson	01S296
7	TAGUEDONG Raoul Bernard	02U060

TABLE DES MATIERES

INTRODUCTION 3

I. THEORIE DES ENSEMBLES FLOUS 3

PROPRIPTIS 4

OPERATIONS SUR LES ENSEMBLES ELOUS 5

II. THEORIE DES POSSIBILITES - VARIABLES LINGUISTIQUES - PROPOSITIONS

FLOUES 7

A. LA THEORIE DES POSSIBILITES 7

B. VARIABLES LINGUISTIQUES ET PROPOSITIONS FLOUES 8

DISTRIBUTION DE POSSIBILITES ASSOCIEE A UNE PROPOSITION FLOUE 9

CONCLUSION 10

LEXIQUE 10

BIBLIOGRAPHIE 10

INTRODUCTION

La modélisation est devenue un outil important dans l'ingénierie et la science. Les approches traditionnelles de modélisation insistaient énormément sur la précision et la description exacte des systèmes. L'utilisation des outils mathématiques comme les équations différentielles, équations aux différences, fonction de transfert, etc... est appropriée et justifiée pour les systèmes bien définis. Mais quand la complexité augmente, ces outils deviennent moins efficaces. Le traitement des systèmes complexes nécessite souvent la manipulation d'informations vagues, imprécises, incertaines ou à la fois imprécises et incertaines.

Depuis longtemps, l'homme recherche donc à maîtriser les incertitudes et les imperfections inhérentes à cette nature des choses. C'est pourquoi, au lieu de réfléchir en termes mathématiques, l'être humain décrit le comportement [mathématiques] à l'aide du système par les propositions linguistiques. Afin de pouvoir représenter ce type d'informations, ZADEH a proposé de modéliser le mécanisme de la pensée humaine par un raisonnement approximatif basé sur les variables linguistiques et les propositions floues.

Il convient pour mieux comprendre les concepts de variables linguistiques et de propositions floues, d'explorer avec beaucoup d'attention la théorie des ensembles flous qui constitue une interface entre les mondes numériques et linguistiques.

Dans la suite, notre tâche consistera donc à faire un rappel des définitions de base et concepts concernant les sous ensembles flous (noyau, hauteur, support, a-coupe...), les opérations sur ces sous ensembles flous (intersection, réunion complémentaire, etc...) d'une part, d'autre part nous étudierons la théorie des possibilités pour voir les variables linguistiques et les propositions floues.

I. THEORIE DES ENSEMBLES FLOUS

Les sous-ensembles flous (ou parties floues) ont été introduits afin de modéliser la représentation humaine des connaissances, et améliorer les performances des systèmes de décision qui utilisent cette modélisation.

Les sous ensembles flous sont utilises soit pour modéliser les incertitudes et l'imprécision, soit pour représenter des informations précises sous forme lexicale assimilable par un système expert.

Définition :

Une partie A d'un ensemble E est usuellement associée à sa fonction caractéristique. Celle-ci s'applique sur les éléments x de E. Elle prend la valeur 0 si x n'appartient pas à A et 1 si x appartient à A.

ì_A : E? { 0,1}

0 si			xA ?
x
1 si		x A ?

On souhaite définir une partie A floue de E en attribuant aux éléments x de E un degré d'appartenance, d'autant plus élevé qu'on souhaite exprimer avec certitude le fait que x est élément de A. Cette valeur vaudra 0 si on souhaite exprimer que x de façon certaine n'est pas

élément de A, elle vaudra 1 si on souhaite exprimer que x appartient à A de façon certaine, et elle prendra une valeur comprise entre 0 et 1 suivant qu'on estime plus ou moins certain l'appartenance de x à A. On est donc amené à définir une partie floue de la façon suivante :

Une partie floue (ou sous-ensemble flou) d'un ensemble E est une application de E dans [0,1].

Plus généralement, si L est un treillis complet, distributif et complémenté, on définit une partie L-floue comme étant une application de E dans L. Si L = [0,1], on retrouve la

définition précédente de partie floue, et si L = {0,1}, on retrouve la notion usuelle de partie de E.

PROPRItTtS

P1 : Une partie floue A de E est caractérisée par une application de E dans [0,1]. Cette application, appelée fonction d'appartenance et notée EiA représente le degré de validité de la proposition « x appartient à A » pour chacun des éléments x de E. Si EiA(x) = 1, l'objet x appartient totalement à A, et si EiA(x) = 0, il ne lui appartient pas du tout. Pour

un élément x donné, la valeur de la fonction d'appartenance EiA(x) est appelée ^degréd'appartenance de l'élément x au sous-ensemble A.

P2 : L'ensemble E est donné par la fonction d'appartenance identiquement égale à 1.

L'ensemble vide est donné par la fonction d'appartenance identiquement nulle.

P3 : Le noyau d'une partie floue A est l'ensemble des éléments qui appartiennent totalement à A c'est-à-dire dont le degré d'appartenance à A vaut 1.

P4 : Le support d'une partie floue A est l'ensemble des éléments appartenant, même très peu, à A c'est-à-dire dont le degré d'appartenance à A est différent de 0.

P5 : La hauteur d'un sous-ensemble flou A de E est définie par

P6 : a-coupe

Une partie floue A de E peut aussi être caractérisée par l'ensemble de ses á-coupes. Une

á-coupe d'une partie floue A est le sous-ensemble net (classique) des éléments ayant un degré d'appartenance supérieur ou égal à á.

P7 : Un ensemble fini possède un nombre fini de sous-ensembles L-flous si et seulement si le treillis L est fini³. Si L = [0,1], un ensemble fini possède une infinité de sous-ensembles flous.

OP~R~~IONS SUR LES I ~EMBLES FLOUS

En observant comment les opérations usuelles se comportent vis-à-vis des fonctions caractéristiques de parties, on étend ces opérations aux fonctions d'appartenance des parties floues.

O1. Réunion

Soient une famille de parties floues d'un ensemble E, données par leur

fonction d'appartenance. On définit la réunion de ces parties au moyen de la fonction d'appartenance suivante :

, ce qui sera noté

O2. Intersection

Soient une famille de parties floues d'un ensemble E, données par leur

fonction d'appartenance. On définit la réunion de ces parties au moyen de la fonction d'appartenance suivante :

, ce qui sera noté

Réunion et intersection restent distributives l'une par rapport à l'autre. C'est-à-dire

ì₁
ì₁

U fl

( ) ( ) ( )

ì ì ì ì ì ì

= U fl u

2 3 1 2 1 3

fl U

( ì ₂ ì ì ì ì ì

3 ) ( 1

= fl U fl

2 ) ( 1 3 )

O3. Complémentaire

Soit A une partie floue d'un ensemble E, donné par sa fonction d'appartenance i. Alors le complémentaire de A donnée par sa fonction d'appartenance JL est la partie floue dont la fonction d'appartenance est 1 - jt.

Notons que :

· Le complémentaire d'une intersection reste égal à la réunion des complémentaires.

· Le complémentaire d'une réunion est égal à l'intersection des complémentaires.

· Le complémentaire du complémentaire redonne la partie initiale.

On notera cependant que :

· La réunion d'une partie floue et de son complémentaire ne donne pas l'ensemble E

· L'intersection d'une partie floue et de son complémentaire ne donne pas l'ensemble vide.

O4. Image directe

Soient E et F deux ensembles et f une application de E dans F. Considérons une partie floue de E donnée par sa fonction d'appartenance p.. On appelle image directe de cette partie floue par f la partie floue de F donnée par la fonction d'appartenance suivante, notée f(p) :

O5. Image réciproque

Soient E et F deux ensembles et f une application de E dans F. Considérons une partie floue de F donnée par sa fonction d'appartenance p.. On appelle image réciproque de cette partie floue par f la partie floue de E donnée par la fonction d'appartenance suivante, notée f - ¹(p.) :

Après avoir donné les origines et rappelé quelques généralités sur la logique floue, nous venons de définir quelques propriétés des ensembles flous ou parties floues d'une part, et de rappeler les opérations sur les parties floues d'autre part.

Nous allons dans le paragraphe suivant, étudier la théorie des possibilités, les variables linguistiques et les propositions floues.