Chapitre 2
Approximation des systèmes d'ordre
non entier implicites
2.1 Introduction
On a vu dans le chapitre 1 que la dérivée d'une
fonction f(t) peut ne pas concerner explicitement la fonction elle même
mais son produitpar a fonction exponentielle croiss sante
eùt. On l'appelle dans ce cas la
dérivéeimplicite de la fonction f(t). Cette dérivée
peut être très utile lorsquela fonction est obtenue à
partirde a transformation de Laa place inverse d'une fonction retardée
ou avancéedans e domaine fréquentiel.Lesmodèles utilisant
ce type de dérivation sont appelés les systèmes
mplicites.
De même que la dérivation explicite la
dérivation implicite peut êtregénéralisée aux
ordres de dérivation non entiers. Dans ce cas, la fonction de transfert
correspondante est du type (s + 1/r)á (r étant
l'inverse de la pulsation davance ou deretardet a un nombre réel
quelconque) etles modèles utilisantce genre de fonction de transfertont
appelés les modèles implicites d'ordre non entier ou tout
simplement esmodèlesnon entiers implicites.
Les mêmes problèmes de réalisation et
desimulation sont de ce fait posés pour ces modèles implicites
tout autant que les modèles non entiers explicites sinon plus. i pour
les modèles utilisant la dérivation explicite, plusieurs
méthodesd'approximation ont été
développées, tant dans le domaine continu [10]
64][69]quedans edomaine discret[], [15], [40], [45] il n'en est pas de
même pour les modèles utilisant adérivationmplicite pour
lesquels la littérature est très peu abondanteeC'estdans ce cadre
ques'inscrit notre contribution qui faitl'objet de la première partiede
ce chapitree
On y propose une méthode d'approximation des
systèmes non entiersmplicites contii nus en se basant sur le
développement en fractions continu du modèleeCette méthode
est ensuite comparée à la méthode basée sur la
distribution récursive des pôles et éros du transfert
entier qui approxime le modèle nonentier mplicite proposéedans11]
qu'on appelle d'ailleurs l'approximation de Charef.La méthode utilisant
edéveloppement en fractions continu est aussi utilisée pour
développer le modèlediscret des systèmesnon entiers
implicites représentés par un modèle transfertcontinuu
Cette partie traite également de la
modélisationdans 'espace d'état continu desyss tèmes non
entiers implicites. On développe dans ce cas aussi, le modèle
discretéquivalemment, on utilise pour ce faireles fonctions
génératricesd''Euler, de Tustin et deAllAlaoui qui ont permis de
développer le modèle discret dans la représentation
transfertt
Dans la deuxième partie de ce chapitreon montrecomment
'approximation de struc tures d'ordre non entier simples du type, (1 + r
s)á ou bien 1 + (r s)á, par un
modèle entier de grande dimension peut être avantageusement
exploitéee En e~et, on développe des méthodes qui
permettent de faire lapproximation nverse, c'est à dire approximer par
des modèles non entiers, utilisant un nombre réduitde
paramètres, desmodèles entiers de grande dimension utilisant un
nombre très important de paramètressOn appelle cette nouvelle
application la compression du nombre de
paramètredesmodèlesentierss
2.2 Modèle non entier implicite continu
2.2.1 Caractéristiques fréquentielles des
opérateurs dedériivation et d'intégration d'ordre non
entier implicite
Definition 12 La dérivée non entière de
la fonction f(t), est dite implicite lorsquelle ne porte pas directement sur la
fonction f(t) mais le produit de f(t) par la fonction exponentielle croissante
e(t/ô) de constante de temps r; Elle est donnée par :
f(t) et/ô]
Da impl f(t) = Da[(2.1)
Ainsi l'équation différentielle dun système
implicite monovariablede dimension 1 est donnée par:
ra Da [y(t) et/ô] = u(t)
et/ô (2.2)
u(t) E R étant l'entrée du système et y E
R sa sortie. Lorsque les conditions initiales sont nulles et sachant que £
[f(t) et/ô] = F(s -- 1/r), la transformation de Laplace de
l'équation (2.2) dans le plan complexe de la variable p, donne :
rapaY(p-- 1/r) = U(p-- 1/r) (2.3)
a
En effectuant le changement de variable s = (p -- 1/r),
l'équation (2.3) devient
ra ( )
s + 1/r Y (s) = U(s) (2.4)
La fonction de transfert correspondant à 'équation
différentielle2.2) est donc
Y (s) 1
G(s) = U(s) = (2.5)
(1+rs)a
U(s) et Y(s) sont respectivement les transformations de Laplace
de u(t) et y(t). r est la constante de temps et a un nombre réel
quelconque.
La fonction de transfert (25) est appelée un
pôeà puissance fractionnaire, fractional power pole) (FPP), [18]
Son module en décibels est caractérisé par
FIGURE 2.1: Diagramme de Bode d'un FPP (trait plein) et dun
FPZ(trait discontinu)
En basses fréquences, son diagramme asymptotiquedeBode
présente une droite de pente nulle, comme dans le cas entier, et en
hautes fréquences ilest caractérisé parune droite de pente
de --20 a dB/décade. Le diagramme de phase quant à lui, il est
donné par
arg (G(jù)) = --a arctan(jrù) (2.7)
Son diagramme de Bode présente une phase
constanteégale à --a ð 2.
lorsque a < 0, la fonction de transfert (25) est
appelée unzéro à puissance fractionn naire (fractional
power zero) (FPZ) Lafigure 2.1) llustrees diagrammes de Bode d'un FPP et un FPZ
lorsque a = 0.65 et r = 0.5.
2.2.2 Approximation de charef
La méthode d'approximation de Charef12] a
été ntroduite pour représentere comportement dynamique des
systèmes fractals, également appelésFractionalPower Pole
(FPP) [17], caractérisés par un diagramme damplitude de Bode
à pente fractionnaire. Le système fractal,
représenté par la fonctionde transfert2.5), est alors
approximé par une fonction de singularité constituée dune
série de pôes et de zérosdont enombre et la distribution
dépendent d'une erreur dapproximationdéfinieau préalable.
On montre
FIGURE 2.2: Principe de calcul des singularités du
transfert entier selon améthode d'app proximation de Charef
dans [12] que cette approximation peut être obtenue en
mettant en série plusieurs filtres passe bande dont le diagramme de Bode
est constituéd'unensemble de droites aaant all ternativement des pentes
de --20 dB et 0 dB. Par conséquent, lorsqueles pôles et les
zéros de ces filtres sont particulièrement disposés, le
lieudeBode de a fonction de transfert non entière (2.5) peut être
approximée par untransfertd'ordre entier. Cette approximation est
d'autant plus précise que le nombre de filtres utilisés est
très grand et quea bande de fréquence est large. La fonction
detransfert entièreéquivalente à cettemise enérie
des filtres passe bande est alors donnée par
? QN-1 ( ~ ?
1 + s
1 i=0 ùz i
G(s) = = lim ? ( ) ? (2.8)
(1 + T s)á fJN
N_oo 1 + s
i=0 ùp i
L'approximation de G(s), sur une bande de fréquences
finie, peut être obtenue à l'aidede la fonction de transfert
entière de dimension finie
( ~
QN (2.9)
1 + s
i=0 ùp i
G(s)
[TN-1 ( ~
1 + s
i=0 ùz i
1 vç (2.10)
Les fréquences transitionnelles wz i et
wp isont déterminées, par un simple calcul
géométrique, sur la base de l'écart maximum å > 0
(en décibels) entre la ligne dapproximation en zigzag et la droite de
pende --20a dB/décade. comme le montrela figure (22)
Le premier pôle est donné par
Les autres singularités sont calculées par les
expressions
|
ùz i =8ùp
ii=0,1,...,N-1
ùpi+1='qùz i i=1,2,...,N-1
|
(2.11)
|
8 et 'q sont deux constantes qui dépendent de
lerreurdapproximation å. Elles sont données par:
|
ùz i
8 =ùp i
|
e
= 1010á(1-á) et 'q =
|
ùp i+1
ùz i
|
= 10 e
10 á (2.12)
|
Le nombre de singularité N, qui constitue
également la dimension du modèle entier G(s), dépend de la
limite supérieur ùmax de la bande de fréquences où
s'effectue lapproximation. Il est donné par :
" log(ùmax #
ùp0 )
N = P E + 1 (2.13)
log(8 'q)
PE : désigne la partie entière
Lorsque le transfert (25) représente un FPZ ( á
< 0), il peut être approximé en utilisant les mêmes
équations de (29) à (2.13) en remplaçant es pôles
par des zéros et les zéros par des pôles.
2.2.3 Approximation utilisant le développement
enfractions continu
Une fonction irrationnelle quelconque G(s), de variable s, peut
être développée en fractions continu (CFE)Ce
développement étant in fini et s'écrit sousa forme
|
G(s) = a0(s) +
|
b1(s)
|
(2.14)
|
|
|
a1(s) +
|
b2 (s)
|
|
|
a2(s) +
|
b3 (s)
|
|
a3(s) + · · ·
|
b2(s) b3(s) · · · (2.15)
a1(s)+ a2(s)+ a3(s)+
G(s) = a0(s) +
b1(s)
ai(s) et bi(s) sont des fonctions
rationnellesde la variable s (polynômes) ou bien de simples constantes. A
la notation de léquation (2.14), on préfère
souventutilisera notation plus compacte :
bG(s), la fonction de transfert de dimension finie
ainsi obtenue.Unsimple réarrangement des coefficients ai(s)
et bi(s), suffit ensuite de transformer le développement en
fractions continu (2.15) à la forme traditionnelle dune fonctionde
transfert écriteousaorme d'un rapport de deux polynômes en s:
bG(s) = Q(s) (2.16)
P(s)
C'est ce principe qui est utilisé pour approximer la
fonctionde transfertrrationnelle d'un modèle non entier implicite. Le
programme (2.17) écritdanseangageMAPLE, peut être utilisé
pour calculer le développement en fractions continu de N
éléments qui approxime un FPP :
|
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
|
with(numtheory);
Gdes := 1/(1+ô*s)àá;
CFEGdes := cf rac(Gdes, á, s, N);
Gapp :=
nthconver(CFEGdes, N);
|
(2.17)
|
Pour comparer la méthode dapproximation de Charef et
celleutilisante développe ment en fractions continuon présente
dans la figure(2..3) es diagrammes deBode des transferts entiers obtenus
à laide de ces deux méthodespour approximeremodèle non
entier implicite 1/(1+s)0.5. Les paramètres des transferts
entiers sont calculésde sorte que les deux modèles soient de
même dimensionPour la méthodede Charef on a choisi å = 1 dB
et ùmax = 104 et pour la méthode utilisantle
développement en fractions continu, on a choisi N = 24.
On constate que dans la bande de fréquences
[10_2, 10+2] les deux approximations sont similaires. Une
analyse plus détaillée des deux fonctions de transfert
entière, basées sur la position de leurs pôles et
zéros, (figure 2..4) montre que améthode de Charef distribue
l'ensemble des pôles et zéros sur toute la largeur de abandede
fréquences imposée par ùmax, alors que, la méthode
utilisant le développement en fractions continu focalise ces
singularités aux basses fréquences puisque cette méthode
estbaséeur un développement au voisinage de s = 0.
FIGURE 2.3: Comparaison entre es deux méthodes
dapproximation (trait plein : CFE, en pointillés : méthode de
Charef)
2.2.4 Approximation d'un modèle non entier implicite Etant
donné le modèle non entier implicite
Eim=1 bi si á
G f rac(s ) (2.18)
Er=1 ai si
Pour être approximé en utilisant la méthode
de Charef, Gfrac(s) doit être décomposé en
éléments simples selon :
|
ir 1 (1 + ôz,i s)
Gfrac(s)=[K
ni + ôp i s)
|
#á
|
(2.19)
|
qui peut être écrit sous la forme
G frac(s) = Ká [fi (1 + sri1 [ ni 1
(2.20)
i=1 (1+ôp,i sri
La méthode de Charef permet alors dapproximer chaque
FPP et chaque FPZ ndividuell lement. Le modèle entier qui approxime le
modèle non entier mplicite (2.18) est alors donné par :
G ent(s) = Ká [G FPZ i(s)1[GFPP i(s)1 (2.21)
GFPZi(s) et GFPPi(s) sont respectivement les
approximations des diiérents FPP et FPZ, donnés par :
GFPZi(s) (1 + ôz,i s)áá > 0
(2.22)
et :
GFPPi(s) 1 á > 0 (2.23)
)á
(1+
qui peuvent être calculés en utilisant les relations
(2..) à 2.13).
Par contre, en utilisant la méthode de C FE, il est
inutile de décomposer e modèle non entier (2.18) en
éléments simples ilil suffit dadapter lele programme 2..).
Pour illustrer ces deux méthodes dapproximation,
considérons 'exemple donné par l'équation (2.24). [60]
1
G f rac(s) = (2.24)
(1 + 10000 s)0.11 (1 + 210 s)0.36 (1 + 0.124 s)0.35
FIGURE 2.5: Approximation du modèle (224) en utilisant la
méthode de Charef eta méthode utilisant CFE
Les résultats obtenus sont représentés
par la figure 2.5) dansaquelleontracéses diagrammes de Bode des
modèles entiers obtenus par les deux méthodes ddapproximation
ainsi que le diagramme de Bode du transfert (2.24) tracépoint par
point.
La figure (2.5) montre que les deux approximations sont
très proches en basses fréé quences mais très
différentes aux hautes fréquences.Cela estdûau fait
queaméthode utilisant le développement en fractions continu donne
une fonction de transfert entière de classe zéro
caractérisé par une phase nulleet un gain constant aux hautes
fréquences, alors que la méthode de Charef donne un modèle
entier declasse 3 caractérisée par une phase de --270 et un gain
de --60 dB/decade en hautes fréquences
2.3 Discrétisation d'un modèle non entier
implicite
La discrétisation est une étape
nécessaire lorsqu'on utilisedesmachines fonctionnant en discret pour
commander ou simuler des modèles continus.Dans ecasdes ssstèmes
non entiers, il existe deux méthodes permettant
dobteniremodèlediscret partir du modèle continu.
La première méthode, appeléela
méthode indirecte, se déroule endeux étapes.Dans la
première étape on doit calculer le modèle entiercontinu
qui approxime emodèlenon entier. Puis dans une seconde étapeen
utilisant les méthodes de discrétisation usuelles des
modèles entiers continus, on obtient le modèleentier discret qui
approxime emodèle non entier continu.
La deuxième méthode est appeléela
méthode directe car elle permetde calculer direc tement le modèle
entier discretde la variable z, à partir du modèle non entier
continu de la variable s. On utilise pour ce faireles fonctions
génératrices, notéesù(z_1). En effet, il
suffit de remplacer l'opérateur de Laplace s du modèle non entier
continu parla fonction ù(z_1) de la variable z. On obtient
ainsi le modèle discret équivalent au modèle nonentier
continu. Il faut noter néanmoins que le modèle discret ainsi
obtenu estrrationnel, l doit donc être approximé par un
modèle rationnel dedimension finie.C'est ce qui est
présenté dans ce paragraphe en utilisant une nouvelle fois le
développement en fractions continu.
|
G(z) = G(s = ù(z_1)) = a0(z) +
|
b1(z)
|
|
b2 (z)
|
b3 (z)
· · ·
a3(z)+
|
|
a1(z)+
|
|
a2 (z) +
|
Dans ce cas aussi, il faut arrêter le
développement n fini à unnombre fini N et d'écrire le
résultat obtenu sous forme dun rapport de deux pollynômesde a
variablez sous la forme :
bG(z) = Q(z) (2.25)
P (z)
Ainsi, le modèle discret correspondant à la
fonction de transfertdu slystème non entier implicite de dimension un de
l'équation (25) sécrit
1
G(z) = ( )á (2.26)
1 + ôù(z_1)
Le tableau (2.1) résumeles modèles discrets
irrationnelsobtenusorsqu'on utiliseesrois principales fonctions
génératrices.
Le programme (2.17) devient dans ce cas (le programme
donné par'équation2.27)
|
fonction génératrice
|
ù(z-1)
|
|
G(z)
|
|
|
Euler
|
(
1 1 -- z-1) h
|
|
1
|
|
|
(1+ô h (1-z-1))á
|
|
Tustin
|
2 (1-z-1 ~
h 1+z-1
|
|
1
|
|
|
( 1+ 2ô 1-z-1 ~á
h 1+z-1
|
|
|
Al-Alaoui
|
( 1-z-1 ~
8
7h 1+z-1/7
|
1
( ~á
1+8T 1-z-1
7h 1+z-1/7
|
TABLE 2.1: FPP discret obtenu en utilisant les trois principales
fonctions génératrices
est écrit en utilisant la fonction
génératrice de Tustin)
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
with(numtheory);
s := (2/h)*(1--x)/(1+x);
(2.27)
Gdes := 1/(1+ô*s)àá; CFEGdex := cfrac(Gdes,
á, x, N); Gapp := nthconver(CFEGdex, N);
Il faut noter que la variable x doit être
utilisée à la place de la variable ( z-1) sinon la
fonction cfrac de MAPLE ne fonctionne pas. Par conséquent, ilfaut
remplacer, dans e résultat obtenu la variable x par (z-1)
pour obtenir le modèle discret àG(z).
Pour comparer ces trois fonctions génératrices,
onapproxime denouveauemodèle non entier implicite de dimension 1
donné par l'équation (2.5) avec ô = 1 et á = 0.5, la
période d'échantillonnage étant h = 0.01 s. La
méthode d'approximation utilisée est dans ce cas aussi celle
utilisant le développement en fractions continu avecN = 10. La figure
(2.6) illustre les diagrammes de Bode des troismodèlesentiers ainsi
obtenus. es résultats montrent que pour h = 0.01, la fonction
génératrice dEuler semble être la plus indiquée.
Enfin, pour illustrer les deux méthodes de
discrétisation, directe etndirecte, on considère de nouveau le
modèle non entier implicitede
léquation(2.24).Enutilisantaméthode
FIGURE 2.6: Comparaison entre les modèlesdiscrets obtenus
enutilisant es trois fonctions génératrices (h = 0.01)
indirecte, chaque FPP est approximé par un
modèle entier qui est ensuite discrétisé en utilisant une
des trois fonctions génératrices ù(z-1). Dans
la deuxième étape, on effectue le produit des trois
modèles discrets ainsi obtenus pour obteniremodèle discret qui
approxime le modèle non entier continu (2.24)
En utilisant la méthode directe il suffit de
remplacerdans le modèlenon entier continu, l'opérateur de Laplace
par unedes trois fonctionsgénératricesù(z-1) et
d'utiliser le programme (2.27) adapté pour ce modèle.Les
résultatsobtenus sont présentés dansa figure (2.7). La
fonction génératrice utiliséedans cette simulation esta
fonction d'Euler avec h = 0.01 s.
Cette figure montre queles deux méthodes dapproximation
sont très proches.l faut noter néanmoins une différence au
voisinage de t = 0 où la méthode indirecte est plus
précise que la méthode directeCela est dû au faitque
l'approximation utilisante déé veloppement en fractions continu
est moins performante auxhautes fréquences que'app proximation de
Charef.
FIGURE 2.7: Comparaison entreles deux méthodes
dediscrétisation qui permettent d'app proximer le modèle non
entier (224) (trait plein : méthode indirecte, trait discontinu :
méthode directe)
2.4 Représentation d'état des systèmes non
entiers implicit es
On rappelle dans la première partie de ce paragraphe
emodèled'état d'un ssstème implicite donné dans
[11], [74]. Dans la deuxième partie, on présente emodèle
discret obtenu en utilisant, dans ce cas aussi, les fonctions
génératricesù(z-1) données dans le
tableau (2.1).
2.4.1 Modèle d'état non entier implicite continu
Le modèle d'état associé à la
fonction detransfertdu système non entiermplicite de dimension un
donné par l'équation (25) est un modèle nonstationnaire,
11, 74]]l est donné par:
FIGURE 2.8: Réponse indicielle du modèle
d'état du système non entier implicite de dii mension un, pour
différentes valeurs de a
avec :
(1 #177; 1 -- a 1 (2.29)
A(t) = -- et B =
T t T
T est la constante de temps du système et a l'ordre de
dérivation non entier
La figure (2.8) montre la réponse indicielle obtenue pour
T = 1 et a respectivement égal à 0.5, 1 et 1.5.
Pour a = 1, on retrouve la réponse indicielle du
système de dimension un d'ordre entier. Pour a = 0.5, on obtient une
réponse apériodique avec une dynamique détablissement
très lente caractérisant les systèmes non entiers.
Pour a = 1.5 par contre, la réponse indicielle
présente un dépassement dont a valeur nene dépend que de
l'ordre non entier a comme pour les systèmes non entiers explicites.
Remarque 13 Il faut noter également que, contrairement
auau systtme non entiereeplicite de dimension 1, la réponse
indicielle du systtme implicite ne présente pas ddoscillations quelque
soit a > 1 et surtout il ne devient par instable orsque a > 2.
transfert est donnée par
1
G(s) =fIn (1 + ô
s)ái (2.30)
i=1
Le modèle d'état de dimension n correspondant est
dans ce cas aussi non stationnaire, [11] il est donné par :
|
?
?
?
|
ÿx(t) = A(t)x(t) +Bu(t) y(t) = Cx(t)
|
(2.31)
|
avec :
|
?
?
?
|
B=[0 0
·
·
· 1]T
C=[1 0
·
·
· 0]
|
(2.32)
|
et :
...
? ?
A(t) = ? ? (2.33)
--(an + bn
bn_1
t ) --(an-1 + t )
·
·
· --(a2 + b2 t ) --(a1+ b1 t )
Les coefficients ak sont définis par :
? ?
(2.34)
?
|
????????
????????
|
a0 = 1
h Pn i
Pn
ak = 1 i2=1
·
·
· Pn
ik=1(1/ôi1)(1/ôi2)
·
·
·
(1/ôik)
k! i1=1
k=1,2,
·
·
· ,n et
i1=6i2=6
·
·
·=6ik
|
les coefficients bk sont donnés par :
bk = (n -- k + 1) ak-1 -- Xn
ái ci,k k=1,2,
·
·
· ,n (2.35)
i=1
et les coefficients ci,k sont :
?
????????
????????
ci,1 = 1
h Pn i
(2.36)
Pn
ci,k = 1 i2=1
·
·
·
Pn i(k_1)=1(1/ôi1)(1/ôi2)
·
·
·
(1/ôi(k-1))
(k-1)! i1=1
k = i = 1,2,
·
·
· ,n et i1 =6 i2 =6
·
·
· =6i(k-1)
2.4.2 Modèle d'état discret d'un système non
entier mpllcite
Le modèle d'état discret correspondant au
modèle continudu système non entier implicite de dimension 1
(2.5) est calculé en utilisantdans ce cas aussi, les fonctions
génératrices ù(z-1) utilisées pour
discrétiser les modèles continus enreprésentation
transfert.
Ainsi, la fonction génératrice dEuler donne
|
?
?
?
|
x(k + 1) = A(k) x(k) + B u(k) y(k)=x(k)
|
(2.37)
|
avec :
( r - 1 - OE )
1 - h et B = h
A(k) = r (2.38)
k
En utilisant la fonction génératrice de Tustin, on
obtient emodèle d'état discret
|
avec :
|
?
?
?
|
x(k + 1) = A1(k) x(k) + A2(k) x(k - 1) + B1 u(k) + B2 u(k - 1)
y(k) = x(k)
|
(2.39)
|
( ( h
1 - h 2r + 1 - OE )
2r - 1 - OE ) , B1 = B2 = h
A1(k) = , A2(k) = - 2r (2.40)
2k 2k
Enfin, la fonction génératrice dAl-ALAOUI conduitau
modèle
|
?
?
?
|
x(k + 1) = A1(k) x(k) + A2(k) x(k - 1) + B1 u(k) + B2 u(k - 1)
y(k) = x(k)
|
(2.41)
|
|
avec :
|
|
( ) ( h )
A1(k) = 1 - 7 h
8 r - 7(1-a) A2(k) = - 8 r + 1-a
8(k-1) 8(k-1)
|
(2.42)
|
B1=7h
8 r B2 = 8 h r
On présente dans ce qui suitles détails de
calcul des modèles discrets obtenus enutilisant les fonctions
génératrices dEuler et de Tustin.Le même calcul peut tre
développé en utilisant la fonction génératrice
dAl-Alaoui.
en utilisant la fonction génératrice d'Euler
En remplaçant, dans modèlele d'état continu
(2.28) l'opérateur dedérivation para fonction
génératrice dEuleron obtient
( 1 (1 -- z-1))
x(k + 1) = A(k) x(k) + B u(k) (2.43)
h
(z-1) étant l'opérateur de retard, on
a(z-1) x(k + 1) = x(k). L'équation (2.43) s'écrit dans
ce cas :
x(k + 1) -- x(k) = h A(k) x(k) + h B u(k)
)
h 1 -- x(k) + h
-- r u(k) (2.44)
r k
En remplacant A(k) et B par leurs expressions respectives (2.29)
on obtient finalement (x(k + 1) = 1 --
en utilisant la fonction génératrice de Tustin
Le modèle d'état continu (228) sécrit,
lorsqu'on remplace'opérateur de dérivation par la fonction
génératrice de Tustin
|
x(k + 1)
|
( 2 1 -- z-1 )
= A(k) x(k) + B u(k) (2.45)
h 1 + z-1
|
qui est développée sous la forme
( )
x(k + 1) (1 -- z-1) = h 2 (1 + z-1) A(k)
x(k) + B u(k) en appliquant l'élément de retardon obtient
( )
1 + h x(k) + h
x(k + 1) = 2 A(k) 2 B(k) u(k) + h 2 A(k --1) x(k --1) + h 2 Bu(k
--1)
Finalement, en remplacant A(k), A(k -- 1) et B par leurs
expressionson obtient
( ) ( h
1 -- h 2r -- 1 -- 2r + 1 -- ) x(k --1) + h
x(k + 1) = x(k) -- 2r u(k)+ 2r h u(k --1) (2.46)
2k 2k
Pour montrer la différence entre cestrois
modèles discrets, on présente dansa gure (2.9) les
réponses indicielles obtenues par cchacun des troismodèles pourr
= 1, = 0.5 et h = 0.01 s.
Les réponses indicielles sont différentes
lorsque la période d'écchantillonnage est grande, par contre,
lorsqu'elle est petite, les trois réponses sont similaires. Dans ce casl
est plus
FIGURE 2.9: Réponse indicielle du modèle
d'état non entier implicite de dimensionun discrétisé en
utilisant les trois fonctions génératrices
indiqué d'utiliser la fonction
génératricedEuler puisqu'elle donne emodèle d'étate
plus simple.
De la même manière, le modèle discret
correspondant au modèled'état d'ordrenon entier implicite continu
(2.31) peut être calculéen remplaçant 'opérateur de
dérivation par la fonction génératrice
ù(z-1). Le même calcul que celui qui vient d'être
présenté peut alors être reproduit. En utilisant lafonction
génératrice d'Euler, par eeemple, on ootient
( 1 )
x(k + 1) h(1 - z-1)= A(k) x(k) + B u(k)
A(k) étant une matrice, cette équationse
développe selon
( )
x(k + 1) = In + h A(k) x(k) + B h u(k)
A(k) x(k) + B h u(k)
et peut être mise sous la forme
x(k+1)=
où : In est la matrice identité de
dimension n.
1 h
A est donnée par :
· · · 0 0
? ?
? ... ?
? ?
A(k) = ? ? (2.47)
-(anh + bn
bn-'
k ) -(an_1h +k ) · · ·
-(a2h + b2 k ) -(a1h + b' k )
On présente dans ce qui suit, une autre forme du
modèle d'état correspondant au système non entier
implicite constitué de plusieurs FPP(2.30) enutilisant esmodèles
d'état discrets (2.37)(239) ou (2.41) du modèlemplicite de
dimensionun ootenus en utilisant les trois fonctions
génératrices.
En effet, le modèle (2.30), qui est écritsous la
forme
G(s) =
|
Yn
=1
|
1
(1 +ô s)ái
|
|
on peut associer à chaque FPP le modèle
détat
?
?
?
|
ÿx (t) = A (t)x (t)+B u (t) y (t) = x (t)
|
(2.48)
|
|
avec :
( 1 )
+ 1 - a et B = 1
A (t) = - ô (2.49)
ô t
ô et a sont respectivement la constante de temps et
l'ordrede dérivationdu j`eme FPP. L'entrée u (t) du j`eme FPP est
la sortie du (j - 1)`eme.
Ainsi, le modèle d'état continu correspondant
à la miseencascade desn FPP constituant la fonction de transfert (2.30)
est donné par
?
?
?
|
ÿx(t) = A(t)x(t) +Bu(t) y(t) = Cx(t)
|
(2.50)
|
|
avec :
et
1
--
r1
1--a1
t 0 · · · 0 0
A(t) = (2.52)
....
. .. ..
0 0
|
1
· · · rn
|
1
rn
|
1--an
t
|
|
Le modèle d'état discret correspondant est
obtenu en utilisant esmodèles discrets (2.37), (2.39) et (241) de chaque
FPZ.En utilisant a onction génératrice d''uler par exemple, le
modèle continu obtenu est donné par
?
?
?
|
x(k + 1) = A(k) x(k) + B u(k) y(k) = Cx(k)
|
(2.53)
|
|
avec :
et
B= [h/ô1 0 · · · 0]T et C= [0 0
· · · 1] (2.54)
1--1
r1
|
1--a1
k 0 · · · 0 0
|
|
1
r2
|
1-- 1
r2
|
1--a2
k
|
· · ·
|
0 0
|
A(k) = (2.55)
....
. .. ..
|
0 0
|
1
· · · rn
|
1-- 1
rn
|
1--an
k
|
La figure (2.10) montre les réponses indicielles de
l'exemplede 'équation 2.24) obb tenues à l'aide du modèle
d'état entier continu (2.31), celledu modèled'état quenous
avons proposé (2.51) ainsi que celle du modèle
échantillonné équivalent 2.53) obtenue en
discrétisant le modèle (250) en utilisant la onction
génératrice d''Euler avec un pas d'échantillonnage h = 0,
01 s. La superposition des trois courbes montre l'analogie entre les trois
modèles.
FIGURE 2.10: Réponses indicielles des différents
modèles continus et discrets représentant le système non
entier implicite (224)
La première partie de ce chapitre a été
consacrée àa présentation des systèmes utilii sant
la dérivation implicite d'ordre non entierdans le domaine continu et
discret en utilii sant la représentation transfert ainsi quea
représentation ddétat.Dansaeprésentation transfert
continue, une nouvelle méthode dapproximation utilisant e
développement en fractions continu a été
présentée puis comparée à la méthode
ddapproximation de haref, dédiée aux systèmes implicite
d'ordre non entierLapproximation d'un modèlemplicite de dimension 1 avec
ces deux méthodes a donné des résultats similaires.
On a ensuite donné deux modèles continus non
stationnairespermettant de représenter les systèmes implicites
d'ordre non entier dans lareprésentation ddétat. Ces
deuxmodèles ont ensuite été échantillonnés
à laidedes fonctions génératrices dd'Euler, deTustin et
ddAll Alaoui également utilisées pour échantillonner le
modèletransfert.Plusieurs courres de simulation ont été
données tout au longde cette premièrepartie pour
valideresmodèles théoriques qui on été
présentés
2.5 compression de modèles entiers de grande dimension par
des modèles non entiers
On a montré dans le chapitre 1 et dans la
première partie de ce chapitre que la simualtion ou la
réalisation dun système non entier explicite ou mplicte,
requière au préalable son approximationdans une bande de
fréquences bornée, parune fonction de transfert entière de
dimension finieAinsi, lasimulation oua réalisation du simple
opérateur de dérivateur non entier explicte sá
ou implicite (1 + s/ô)á, n'utilisant au plus que deux
paramètres, exigel'utilisation dun modèle entier de
dimensiond'autant plus grande que l'approximation doit être
précise.
C'est cette caractéristique quon souhaite utiliser pour
proposerunenouvelle applicaa tion des modèles non entiers
l'approximation de modèles entiersde grande dimension utilisant un
nombre élevé de paramètres par des modèles non
entiersde dimensionnfini mais n'utilisant que très peu de
paramètres. Comme ilnes'agitpasde a réduction demoo dèle
classique qui consiste à réduirela dimension du modèle,
c'est même tout e contraire puisque la dimension du modèle devient
infini, on appelle cette nouvelle applicationa compression du nombre de
paramètres de modèle.
Ce genre d'approximation ou de réduction du nombre de
paramètresdu modèle est intéressante notamment dans les
applications decompression.Par exemplee taux de transmission ou bien la
capacité de stockage peuvent être sensiblement
améliorés en utii lisant le nombre réduit de
paramètres utilisés par le modèlenon entier à a
placedu nombre élevé de paramètres utilisés par le
modèle entier originalde grande dimension. De telles applications
peuvent être rencontrées dans esprocessustels quea parole, es
ondes acoustiques ou le traitement dimage.Une autreapplication peut êtrea
conception de filtres qui permettent d'obtenir une transitiontrès rapide
du gain. La conception d'un tel filtre à l'aide de la dérivation
entière classiqueconduitàdestransferts de très grande
dimension. Ces derniers peuvent alors être compressés à
'aide d'un modèlenon entier. On peut également utiliser ce type
de compression pour réduireenombre deparamètres des
contrôleurs entiers calculés à laide des techniques de
commande H réputées pour
obtenir des contrôleurs de grande dimension.
Mais avant de développerla méthode de
compressionde modèles, on présente d'abord dans les deux
prochains paragraphes deux méthodes dapproximation directe de deux
structures non entières simples utilisant ladérivée
explicite.
2.5.1 Approximation d'un modèle non entier explicite de
dimension 1
Approximation d'un modèle explicite apériodique (0
< a < 1)
Un système de dimension 1 explicite apériodique,
est la généralisation du système de dimension 1 entier
dans lequel la sortie est dérivée, non plus à lordre1,
mais à un ordre non entier a quelconque compris entre 0 et 1. Il
présente le même comportement fréquentiel que le
modèle implicite deléquation (2.5) auxbasses ethautes
fréquences. a fonction de transfert est donnée par
1
G(s) = 1 + (rs)á (0< a <1) (2.56)
L'approximation de G(s) peut être obtenue en
approximantdans une première étape e dérivateur
fractionnaire sá par un transfert entier en utilisant les
méthodes d'approximaa tion usuelles (méthode CRONE par exemple)
puis dans uneseconde étape, remplacer dans l'équation (2.56)le
dérivateur non entier par etransfert entier qui'approxime. Cette
démarche n'est pas intéressante dans notre cascar ellene donne
pasune relation explicite entre les paramètres du transfert entier etes
paramètresr et a du transfert non entier (2.56). On trouve dans 13] une
méthode d'approximation directe donnant uneelle relation. Cette
méthode est baséesur larelation suivante [22
Z
1 F(t)
G(s) = = 1 + ts d (2.57)
1 + (r s)á 0
F(t) est donnée par :
" #
sin ~(1 - a) ð~
1
F ($) = h (2.58)
2ð cosh alog($/r) - cos [(1 - a) ð~i
L'échantillonnage de F(v) sur une bande de
fréquences limitée sur des points disposés
logarithmiquement conduit à
|
Gest(s) =
|
2N_ 1X
i=1
|
ri
1+ôs
|
=
|
2N_1X
i=1
|
ri 1 + s
pi
|
(2.59)
|
où : pi sont les pôles du modèle entier et ri
sont les résidus correspondants.
On défini alors une constante À représentant
le rapport entre deux pôles successifs
|
À = pi+1
pi
|
i=1,2,
·
·
· ,2N-1 (2.60)
|
Le paramètre À caractérise la
qualité delapproximation, ilest équiivalent au produitç
ä) utilisé dans l'approximation du modèle implicite de
dimension 1. L'approximation est d'autant plus précise que le
paramètre À est proche de l'unité.
Les pôles sont déterminés par lexpression
|
?
????
????
|
p0 = 1/ô
pi = ôi 1 = (À)i_Np0 i =
1,2,
·
·
· ,2N- 1
|
(2.61)
|
Les résidus ri correspondants aux pôles pi sont
donnés par :
" #
sin [(1 - a) ð]
1
ri = h (2.62)
2ð cosh a log(ôi ô ) - cos[(1 - a)
ð~i
Le nombre de singularités N est :
[ log (ùH ) ]
p0
N = P E + 1 (2.63)
log(À)
Dans [13], l'auteur propose de choisir ùH = 1000
ùmax, ùmax étant la ivaleur de la borne supérieure
de la bande de fréquences où lon souhaiteeffectuer
'approximation.
Approximation d'un modèle explicite oscillatoire (1 <a
< 2)
Un système non entier de dimension 1 oscillatoire est
décrit par la même équation différentielle que le
système apériodique mais lordrededériivation a est compris
dans ce cas entre 1 et 2. La caractéristique principale desa
réponse indicielle, contrairement au
système apériodique, est qu'elle présente
un dépassement qui ne dépend que de 'ordre non entier a et ce
dépassement est d'autant plus important que a s'approche de 2 [78]. Sa
fonction de transfert est donnée par
1
G(s) = 1 + (rs)a (1 <a <2) (2.64)
Pour approximer G(s), Charef [13] propose d'utiliser deux
fonctions detransfertUne fonction de transfert non entière qui permet de
reproduireecomportement non entier de G(s) et une fonction de transfert
entière de dimension 2 qui permet de reproduirele comportement
oscillatoire de G(s). G(s) est alors approximée par
Gest(s) = GD(s) GN(s) (2.65)
avec :
1
GD(s) = (r s)2 + 2 î r s + 1 (2.66)
où:
/
1 + cos(a ð/2)
î = (2.67)
2a-1
GN(s) est un FPZ défini par :
GN(s) = (1 + r s)2 -a (2.68)
Il permet de ramener la pente dela droitedudiagramme
asymptotiquede Bode deGD(s) de --40 dB/décade à --20a
dB/décade.
L'apparoximation de G(s) de l'équation (2.64) est
finalement obtenue par
1 "
[IN 1 + s
1 i=0 ùz i
Gest(s) = 1 " (2.69)
(r s)2 + 2 î r s + 1 [IN-1 1 + s
i=0 ùp i
Les fréquences transitionnelles wz i et
wp iainsi que le nombre de singularités N sont
déterminés par la méthode d'approximation de Charefdun FPZ
présentée danse paragraphe 2.2.2.
2.5.2 Approximation d'un système entier de grande
dimension par un modèle non entier
Le principe de cette approximation consiste à remplacer
un ensemblede pôles et de zéros, ou bien un ensemble de
pôles et de résidus du modèle entier par untransfertnon
entier ayant l'une des trois structures (2.5) (2.56), 2.64), ou bien une
combinaison d'elles. Pour ce faire, il suffit de trier les singularités
dutransfert entier et chercher celles quiont disposées de manière
particulière qui permet deretrouver esparamètresdu modèle
non entier dont l'approximation donnerait cette disposition
particulière.On présente dans ce qui suit, la démarche
à suivre pour dabord trouver a répartition particulière
des singularités du transfert entierpuisdedonner es
expressionsquipermettent de retrouver les paramètres du modèle
non entier correspondant.
Compression à l'aide d'un modèle implicite
Etant donné un modèle entier G(s) de grande
dimension, dont les pôles et les zéros sont supposés
réels. Si G(s) n'a pas cette structureil doit être
décomposé au préalable. Dans ce cas, il peut être
écrit sous la forme
|
G(s)=K
|
~ ~
Qm 1 + s
i=0 ùz i
~ ~ (2.70)
Qn 1 + s
i=0 ùp i
|
K étant le gain statique, --wz i et
--wp isont les pôles et les zéros de G(s)
respectivement.
On souhaite remplacerle maximum de pôles et
dezéros de G(s) par le modèle non entier implicite (2.5). On dit
dans ce cas que ces pôles et zérosde G(s) sont compressés
par les paramètres a et r de (2.5). Pour ce faire, les pôles et
zéros de G(s) qui sont distribués selon les conditions des
équations (210) à (2.12) doivent d'abord être
déterminés. On procède comme suit.
~ Construire deux vecteurs contenant les zéros et
espôlesde G(s) dont les éléments sont triés dans
l'ordre croissant. Concaténer ensuite cesdeux vecteurs dans
unmême
vecteur Comb qui doit être trié dans l'ordre
croissant lui aussi.
|
?
?????
?????
|
[ ]
zero = wz0, wz2,
·
·
· , wzM
[ ]
pole = wp0, wp2,
·
·
· , wpN Comb =
[zero, pole]
|
(2.71)
|
~ Après avoir choisi le nombre minimum de
singularités à compresser, notéNmin, extraire du vecteur
Comb toutes les combinaisons contenant au moins Nmin éléments
telles que les éléments d'indice paire doivent être des
zéroset es éléments d'indice impaire doivent être
des pôlesDe plus, le premier et ledernier élément doivent
être des pôles. On veut retrouver ainsi la disposition
alternée pôleezéroopôlee
·
·
·) de l'équation (2.11).
On obtient ainsi une première sélection
dessingularités susceptibles d'être compressées. Pour
affiner cette première sélection, on cherche les combinaisons
pouresquellesespôles et les zéros sont maintenant
récursivement distribuésselon 'équation2.11).
~ Pour chaque combinaison et pour chaque triplet (wp
i, wp i+1, wzi), calculer l'ordre
non entier ai :
|
ai =
|
( )
log wzj/wpj
( )
log wpj+1/wpj
|
i=1,2,
·
·
· ,N z (2.72)
|
Nz étant le nombre de zéros contenus
dans la combinaison considérée.
Cette relation est déduite de la relation (2.12) qui
exprime es valeurs des deux constantes 8 et j en fonction des
singularités wz i et wp i. En effet, les
constantes 8 et j sont données par :
|
wz i
8 =wp i
|
e
= 1010a(1-a) et j =
|
wp i+1
wz i
|
=10
|
e 10a
|
|
le produit 8j est donc égal à :
wz i
8 j = wp i
|
wp i+1
wz i
|
=10
|
10a(1-a) + e
e
10a
|
|
log(8)
|
E
10a(1-a)
10a(1-a) + E
E
10a
|
= a
|
|
log(j 8)
|
en calculant le rappot :
on obtient :
a =
log\ Wz i ~ Wp i
log(Wp i+1 ~ Wzi Dans le cas idéal où
tousles pôles et zéros de la combinaison sont
récursivement
distribués, les ordres non entiers ai ainsi
calculés auraientla même valeurDans le cas contraire, on doit
calculer leur valeur moyenne
~ Pour ne garder à la fin qu'une seule combinaison, on
calcule, pour chacune d'elle, le nombre d'éléments qu'elle
contient(plus ce nombreest élevé plus enombrede
singularités compressées est grand) On calcule aussi 'indice
quimesurea disparité des singularités (plus les
singularités sont distribuées récursivement, meilleure est
l'approximation). Cetteindice étant lécart type desordresnon
entiersai défini par:
sPNz ~~ai - a ~~
i=1
óm = (2.74)
Na - 1
La combinaison à retenir finalement est celle qui contient
e maximumde singularités et ayant la plus petite valeur de
óm.
~ L'autre paramètre du modèle non entier implicite
r est calculé comme suit : pour chaque paire (wp i+1,
wa i), calculer la valeur correspondante de r, telle que :
|
1/r i = wp 0 10-
|
log~ùp i+1 ~
ùz i 2
|
i=1,2,
·
·
· ,Na (2.75)
|
wp 0 étant le premier pôle de la
combinaison considérée.
Cette relation est déduite de léquation (2.10) qui
exprime avaleur dea première singularité wp 0. En
effet,
wp0 =
1 vç = 110 e
20 á
r r
Comme :
e
=10 10á
wp i+1
ç=
wa i
on a:
l'expression de 1/ô est donc donnée par :
|
1= wp0 ç ô
|
--1/2 = wp 0 10
|
- log ("p it1 )
"z i
2
|
ô est donnée par la valeur moyenne
G(s) peut alors être approximé par le transfert
d'ordrenon entier
1
Gest(s) =(1 + ô s)á
GR(s) (2.77)
Compression à l'aide d'un modèle explicite
apériodique
Dans ce cas aussi, les pôles et les zéros
dutransfert entierG(s) qui peuvent être compressés doivent
être réels. G(s) peut dans ce cas être écrit sous la
forme
|
G(s) =
|
XN
i=1
|
ri 1 + s
pi
|
(2.78)
|
où : pi sont les pôles de G(s) et ri leurs
résidus correspondants
Les paramètres du modèle non entier
apériodique de dimension 1 (2.56) qui permet de compresser le maximum de
pôles et de résidus de G(s) est obtenu en utilisant les
étapes suivantes.
~ Construire deux vecteursle premier contient les valeurs
absolues despôlespi de G(s) triés dans l'ordre croissant le
deuxième vecteurcontient es résidus correspondants
?
??
??
ri.
h i
pole = p1, p2, · · · , pN
h i
residu = r1, r2, · · · , rN
(2.79)
~ Après avoir choisi le nombre minimum de
singularités susceptibles d'être compress sées, noté
Nmin, pour vérifier la condition donnée par léquation
(2.60), extraire du vecteur pole toutes les combinaisons ayant un rapport
entredeux pôles successifs relativement constant. Ceci constitue une
première séectiondes pôles qui peuvent être
compressés.
~ Pour chaque combinaison et pour chaque pairede pôles (pi,
pi+1) successifs calculer le rapport :
|
Ài = pi+1
pi
|
i=1,2,... ,Np -1 (2.80)
|
Np étant le nombre de pôles contenus dans
la combinaisonconsidérée.
calculer alors la valeur de À caractérisant la
récursivité de ladistributionde tous es pôles par.
PNp-1
i=1 Ài
À =(2.81) Np - 1
~ Pour chaque combinaison et pour chaque pôle pi, i = 2,.
. . Np, en utilisant le résidu
(2.83)
La combinaison à retenir finalement est celle qui contient
emaximumde pôles et ayant la plus petite valeur de
óm.
D'après l'équation (2.61) la constantede temps
ô est tout simplement égale àlinverse du premier pôle
de la combinaison finalement retenue.
G(s) est dans ce cas approximé parle transfert
nonentier
correspondant ri, calculer l'ordre non entier ai solution de
l'équation nonlinéaire (2.62). La valeur du paramètre
1/ô à considérer étant le premier pôle de la
combinaison considérée. La valeur de a en est la valeur
moyenne,
PNp-1
i=1ai
a = (2.82)
Np - 1
Dans ce cas aussi, pour mesurer la récursivité de
ladistribution des singularités, on utilise, comme indicateur,
l'écart type des ordres nonentiersai défini par :
óm =
1
Gest(s) = GR(s) (2.84)
1 +(ôs)á
2.5.3 Compression à l'aide d'un modèle
oscillatoire
Contraire aux modèles non entiers, implicite et
explicite apériodique, qui exigent que les pôles et les
zéros du modèle entier G(s) soient tous réels, celui-ci
exige lexistence de deux pôles complexes. Les paramètres a et
ô du modèle non entier oscillatoire peut être obtenu en
utilisant les étapes suivantes.
~ Utiliser les étapes qui permettent de calculer les
paramètres3 et r du modèle non entier implicte GN(s) contenu dans
G(s) :
GN(s)=(1+rs) â (0<3<1) (2.85)
qui remplace le maximum de pôles et de zéros
réels de G(s). Ce modèle étant un FPZ, ses
paramètres peuvent être déterminés en utilisant es
équations2.77) (2.76) qui calculent le modèleimplicite permettant
d'approximerun modèle entier. Il faut néanmoins inverser au
préalable le transfert entierG(s).
Selon l'équation (2.68), l'ordre a du modèle non
entier oscillatoire est
a = 2 - 3 (2.86)
~ En utilisant l'équation (267) calculer la valeur de
îcorrespondante. Déterminer ensuite les pôles de la fonction
de transfert GD(s) de l'équation (2.66) qui correspond aux valeurs de r
et î qui viennent d'être calculées. Il suffit alors de
vériifiersi G(s) possède deux pôles complexes proches de
ceux de GD(s).
Lorsque ces pôles existent, G(s) peut être
approximé par le modèle non entier oscillatoire
1
Gest(s) = GR(s) 1 <a <2 (2.87)
1 +(rs)á
Dans le cas contraire, on se contente du modèle nonentier
mplicite 2.85).
Gest(s) = (1+rs) â GR(s) 0< a <1 (2.88)
Remarque 14 Dans les trois modèles nonentiers ((277), (2.8) et (2.77
quipproximent le modèle entier G(s), le transfert GR(s) peut simplement
être une fonction de transfert qui contient les singularités
deG(s) qui n'ont pas été compressées par le modèle
non entier2 Cela n'a~ecte pasbeaucoup 'approximation lorsque la aleur de
óm est très petite correspondant à une
distribution récursiiedéale desingularités2 n
peutégalement déterminer GR(s) de sorte que G(s) et son
approximation Gest(s) aient un comportement fréquentiel semblable dans
labandedefréquences oo'approximation este~ectuéé npeut
alors utiliser les techniques d'identi~cation classiques
dessstèmesntiers2
Remarque 15 Le gain statique de GR(s) doit également
être ajusté desorte que e gain statique du modèle
d'ordreentier G(s) et celui du modèle non entier Gest(s), qui
l'approxime, soient les mêmes.
2.5.4 Exemple d'application
Pour vérifier l'implémentation de ces trois
méthodes de compression de modèles et illustrer leur
exécution, considérons le modèle entier
8.51 s6 + 169 s5 + 1279 s4 +
4702 s3 + 8834 s2 + 7990 s + 2675
G(s) = s8 + 22.52 s7 + 191.1 s6 + 782.9
s5 + 1684 s4 + 2031 s3 + 1475 s2 +
632.1 s + 117.6
(2.89)
Compression à l'aide d'un modèle implicite
Après avoir éliminé des pôles
complexes de G(s), les vecteurs contenant les pôles et zéros
réels obtenus, ordonnés dans lordre croissant, sont donnés
par
[ ]
zero = 0.8 1.613 2.2 3.1 5 7.143
[ ]
pole = 0.5 1 2 4 5.882 8.333
La combinaison contenantle maximum de pôles et
dezéros alternativement distribués qui commence et fini par un
pôle est
[ ]
Comb = 0.5 0.8 1 1.613 2 2.2 4 5 5.882 7.143 8.333 en utilisant,
les équations (2.72) à (2.76) on obtient
á = 0.5283 u = 0.1954 et ô = 2.2821
Le modèle non entier implicite qui approxime G(s) est
donné par :
1 4.403(s + 3.1)
Gest(s) = s2 + 0.8s + 0.6 (2.90)
(1 + 2.2821 s)0.5283
Dans ce cas, le transfert GR(s), contient simplement les deux
pôles complexes et le zéro de G(s) qui n'ont pas été
compressésseul le gain statique aété ajusté.
Compression à l'aide d'un modèle explicite
apériodique
Dans ce cas aussi, après avoir éliminé
les pôles complexes, etransfert entierG(s) est écrit sous la forme
pôles-résidus de léquation(2..78),es vecteurs
contenantespôles, ordonnés dans l'ordre croissant et
lesrésidus correspondants sont donnés par
[ ]
pole = 0.5 1 2 4 5.882 8.333
[ ]
residu = -- 6.785 --1.203 --0.091 0.483 0.76 1.703
La combinaison contenantle maximum de pôles qui
vériifient 'équation 2.60) est
[ ]
Comb = 0.5 1 2 4 8.333
Les équation (2.81) et (282) permettent de calculere
paramètre de récursivitéÀ, la résolution de
l'équation nonlinéaire (262) et l'équation(2.82) donnenta
valeur dea et l'écart typeóm, qui mesure la
disparité des pôlesest déterminé en utilisant
'équation (2.83). La constante de temps ô quant à elle
c'est tout simplementlinverse du premier pôle du vecteur pole. Les
valeurs numériques de ces paramètres sont
La combinaison contenantle maximum de pôles qui
vériifient 'équation 2.60) est
À = 2.021 a = 0.8578 ó = 0.06 et ô = 2
Le modèle non entier explicite apériodique qui
approxime G(s) est dans ce cas donné par :
1 7.39 (s + 2.1)
Gest(s) = (s2 + 0.85 s + 0.68) (2.91)
1 + (2 s)0.8578
Dans ce cas, le transfert entier GR(s) est
déterminé par l'algorithme didentiification "Vector Fitting" qui
sera développé dans le prochain chapitrede sorte que es
transfertsG(s) et Gest(s) aient le même comportement dans la bande de
fréquences [10_2, 10+2] qui contient tous les
pôles de G(s).
Compression à l'aide d'un modèle explicite
oscillatoire
pôles de G(s) :
[ ]
S = 0.8 1.0 1.613 2.0 2.2 4.0 5.0 5.882 7.14 On obtient alors
:
â = 0.5487 óm = 0.216 et ô =
1.4114
a est alors donné par
a = 2 -- â = 1.4513
2á-1
La valeur de î correspondante est
r1 +cos(a ð/2) î = =0.5052
Les pôles complexes du modèle oscillatoire GD(s)
(2.66) correspondants à ces valeurs de î et ô sont :
s1,2 = --0.3580 #177; j 0.6115
qui sont proches des pôles complexes de G(s) (s1,2 =
--0.40 #177; j 0.6633). Ils peuvent donc être associés aux
paramètres du modèle implicite (2..85) pour formeremodèle
non entier explicite oscillatoire, qui approxime G(s), donné par :
1 30.57 (s + 3.1)
Gest(s) = (s + 8.333) (s + 0.5) (2.92)
1 + (1.4114 s)1.4513
Dans ce cas le transfert entier GR(s) contient le pôle et
le zéros de G(s) qui n'ont pas été
compressés, seul le gain statique a été
ajustéLes figures (2.11) et (212) donnent respectivement es
diagrammes de Bode ainsi que
les réponses indicielles de G(s) des trois
modèles non entiers utilisant un nombre réduit de
paramètres Gest(s). Les réponses indicielles des modèles
non entiers (2.90) (2.91) et (2.92) qui sont présentées sont
celles des modèles entiersqui approximent cesmodèles non entiers.
Elles montrent que les trois modèles nonentierspeuvent
êtreutilisés pour approximer le modèle entier G(s), avec
plus ou moins de précision. Pour cet exemple en particulier, le
modèle implicite semble être le plus appropriéselon es
réponsesndicielles. D'un autre côté, dans le domaine
fréquentiel, le modèleexplicite apériodique est celui qui
donne la meilleure approximation
FIGURE 2.11: Diagramme de Bode de G(s) et de ses approximations
Gest(s)
II G(s) -Gest(s) II-)
Pour affiner la comparaison entre les trois modèles non
entierGest(s) qui approxime le modèle entier G(s), on
présente dans le tableau (22) lerreurrelative åapp donnée
par :
åapp = (2.93)
IIG(s)II-)
|
modèle implicite
|
modèle apériodique
|
modèle oscillatoire
|
|
0.07
|
0.112
|
0.128
|
TABLE 2.2: valeur de l'erreur relative åapp des trois
modèles non entiers
Les résultats donnés dans ce tableau confirment les
conclusions tirés partir des
courbes de simulations.
Remarque 16 La fonction de transfert G(s) étant d'ordre
entier, elleest caractérisé, en hautes fréquences, par une
phase proportionnelle entière deð/2 alors que le modèle non
entier, qui l'approxime présente une phase proportionnelle
nonntière deð/2. Pour que
FIGURE 2.12: réponses indicielles de G(s) et de ses
approximations Gest(s)
les deux modèles aient le même comportement
fréquentieln hautes fréquences, n peut ajouter au modèle
non entier un zérode puissance fractionnaire (PPZ aaante même
ordre non entier que le pôle de puissancefractionnaire (PPP
utilisé pour la compression pour compenser son comportement non
entiermais donta fréquenceransitionnelle doit être située
en hautes fréquences pour ne pas a~ecterlapproximation
Dans la deuxième partie de ce chapitre, une nouivelle
applicationde a dériivation non entière appelée : "la
compression du nombre de paramètres d'un modèle" a
été présentée. Elle permet de représenter
des modèles entiers utilisant un nombremportant de paraa mètres
par des modèles non entiers nutilisant quetrès peude
paramètres.Troistructures non entières simples ont alors
été proposées.Néanmoins, l aut noter que cette
approche ne peut pas être utilisée pour réduire le nombre
de paramètresde n'importe quelmodèle entier, ce qui est le cas
également des techniques deréductionde modèles. Cette
approche ne peut pas être appliquée pourles modèles entiers
nayant que despôles et éros, par exemple.
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