Memoire Online - Contribution à l'analyse et la synthèse des systèmes d'ordre fractionnaire par la représentation d'état

Bien que le concept de la dérivation et intégration d'ordrenon entierne soit pas nouveau, il remonte aux travaux de Leibniz, son intérrtnest reconnu quedurantes deux dernières décennies du 20ème siècle. Durant cette période beaucoupde travaux on trait à cette notion. Un exposé historique détaillé est donné enntroductiondans55]. Les livres ([56], [67], [75] et plus récemment34]46]constituent actuellementes références de base de cette théorie. Dans ce chapitre, on présente es notionsde base de cenouveau concept, en essayant d'expliquerle plus simplement possibleces notions qui font'obbet des paragraphes 1.2 et 1.3. Dans le paragraphe 1.4, on présente les systèmes d'ordre non entier. Cette présentation commence par la définitionde 'équation di~érentielle d'ordre non entier, la résolution d'un polynôme non entier ainsi quea représentation des systèmes non entiers, aussi bien dans l'approche transfert (représentation externe entréeesortiee que dans l'approche d'état (représentation interne). Le paragraphe1.4 contient également quelques définitions nécessaires àla compréhension des notions présentéesdanses autres chapitres.

Le passage de la représentation transfertà a représentation d'état desmodèles non

entiers, dont la littérature est très peuexistante, fait'obbet d'une attention particulièree elle est présentée dans le paragraphe 1.5. On y présente en particulier une nouvelle méthode qui calcule le modèle d'état à partir du modèletransfert d'un système d'ordre non entier généralisé.

Après avoir présenté dansle paragraphe 1.6 les propriétés de commandabilitédobservabilité et les conditions de stabilité dessystèmes non entier d'ordre commensurable, on présente dans la dernière partie de ce chapitrele moyen utilisé pour 'analyse, a simulation et la réalisation des systèmes non entierCet outilconsiste en 'approximation du dérivaa teur non entier par un modèle entier présentant les mêmes caractéristiques fréquentielles dans une bande de fréquence bornée

Soit une fonction réelle, dela variable réelle t, continue et intégrable sur [0, +oc[. L'intégration répétée k fois de la fonction f(t), également appelée l'intégrale k`eme de f(t), et notée I^kf(t), s'exprime par la formule de Cauchy

Z t Z tn Z t3 Z t2

dt_n dtn-1 · · · dt f(t1)dt1

| _{z-I

t0 t0 t0 t0

k fois

Z t

= I^kf(t) = 1 (t - ô)^k-1f(ô)dô (1.1)

(k - 1)! t0

k doit être un nombre entier positif à cause de lutilisationde a fonction factorielle qui n'a de sens que pour des valeurs entières.

Pour généraliser la formule de Cauchy (1.1) à un nombre réellea E R^* +, Riemann en 1947 a proposé de remplacerla fonction factorielle para fonction Gamma qui en esta généralisation aux nombres réels. On obtient alorsa fonction d'intégration non entière

L'intégrale unilatérale dordre réel (12) est souvent appelée'intégrale deRiemannn Liouville car Liouville aussi a proposé la mêmedéfinition que Riemann maisen remplaaant

la borne inférieure d'intégration par -oc (dans ce cas l'intégrale est dite bilatérale)

l'ordre d'intégration a = 1. L'intégrale classique d'ordre 1 de la fonction f(t) correspond alors à l'aire délimitée parla fonction f(t) et l'axe des abscisses surl'intervalle [t0, t].

Dans le cas où a est non entier, l'équation (12) peut êtreécrite sous a forme

la fonction P_á(t) vient ainsi pondérer différemment chaque valeurde la fonction f(t). L'intégrale d'ordre non entier de la fonction f(t) peut alors être interprétée comme laire entre t0 et t que délimite par rapport àl'axe des abscisses la fonction f(t) pondérée par la fonction de la variable t, P_á(t) : L'ordre non entier a permet de moduler la pondération de la fonction f(t) à chaque pas d'intégration dr. Lorsque a < 1, la valeur de l'intégrale en un point t est plus influencée par les points de son voisinage que par des points plus éloignés. Oustaloup [65] appellela fonction de pondération P_á(t) le facteur d'oubli. La figure (1.1) montreles variations de P_á(t) pour différentes valeurs de a.

La transformation de Laplace delintégraled'ordrea de f(t) causale (f(t) = 0, pout t = t0 = 0), a la même expression que la transformation de Laplace de 'opération d'intégration entière, il suffit de remplacer lordre d'integration entier par'ordre non entier a. Elle est donnée par : [56]

La dérivation d'ordre non entier est la généralisation de a fonction de dérivation entière à des ordres non entiers quelconques. Cette généralisation peut être obtenue à partir de l'intégration non entière (12) donnant ainsiadéfinition deRiemann-Liouville et la définition de Caputo. Une autre généralisation, basée sur adéfinition usuelle dea dérivation entière, est proposée par Grinwald-Letniikov

Pour expliquer l'essence des deux premières définitions, considérons e schéma de principe de la figure (1.2). Ce schéma montre que la dérivéede la fonction f(t) à l'ordre non entier a (ici a = 2.3) compris entre r - 1 et r (r étant un nombre entier positif ici r = 3), peut être déduite en utilisant la définition de lintégration non entière 1.2) eta fonction de dérivation entière usuelle. On peut alors procéder de deux manières di~érentes donnant ainsi la définition de Riemann-Liouville et la définition de Caputo.

FIGURE 1.2: Principe de généralisation de lopération de dérivation à des ordresnon entiers

La première méthode peut être obtenue en deux étapes (chemin I)755. ~ Intégrer d'abordla fonction f(t) à l'ordre non entier r - a.

Cette définition est appelée la définition de Letniikov-Riemann-Liouville, son expression mathématique est donnée par

t0D^á

R t f(t) =

Z t }

dr ( 1

(t - ô)^r-á-1f(ô) dô (1.6)

dt^r (r - a) t0

Le symbôleR t0D^á t f(t) désigne la dérivée d'ordre non entier a par rapport à t de la fonction f(t) entre t0 et t selon la définition de Riemann-Liouville.

La transformation de Laplace de la dérivéed'ordrea de la fonction f(t) causale selon cette définition est donnée par 56]

[ ] [ ]

£ .R ₀ Dá t f(t) = s^á £ f(t)-

_Xr - 1
i=0

siDá-i-1 f(t)

^~~~~~t=0

(1.7)

où: Dá-i-1f(t) ~ ~t=0 représente la dérivée (a-j-1)^`eme de f(t) lorsque t = 0.

Ainsi, les conditions initiales s'expriment en fonctiondes valeurs en 0 des dérivées non entières D^á-i-1f(t) de f(t), (j = 0,. . . , r - 1).

A la fin des années 60, dans le cadre de ses travaux sur la dissipationdans un matériau viscoélastique linéaire, Caputo a introduitune autredéfinition de adérivation non entière [9]; Elle est aussi obtenue en deux étapes (CheminII)

f^(r)(ô) étant la dérivée d'ordre entier r, par rapport à ô, de la fonction f (ô).

C t f(t) désigne la dérivée d'ordre non entier a de la fonction f(t) entre t0 et t selon la définition de Caputo.

La transformation de Laplace de la dérivée dordre a, par rapport à t, de la fonction f(t) causale selon la définition de Caputo est donnée par 56].

[ ] [ ]

£ .C ₀ Dá t f(t) = s^á £ f(t) -

_Xr _ 1
i=0

sá_i_1Dif(t) ~~t=0

(1.9)

où: Dif(t) ~ ~t=0 représente la j`eme dérivée entière de f(t) lorsque t = 0.

Dans ce cas, les conditions initiales sexpriment en fonction desvaleurs en0 des dérivées entières Dⁱf(t) de f(t), (j = 0,
·
·
· , r - 1).

La définition de Caputo requière donc que la fonction f(t) ainsi que ses r dérivées successives soient nulles pour t < 0, ce qui la rend plus restrictive quela définition de Riemann-Liouville qui exige la seule causalité de f(t). De plus, dans la résolution des équations différentielles dordre non entier la solution obtenue en utilisanta définition de Riemann-Liouville, s'exprime en fonction des valeurs nitialesd'ordrenon entier

^dá dtáy(0)
·
·
·), alors que l'utilisation de la définition de Caputo permet d'exprimer a solution en fonction des valeurs initiales entières (y0, ^d_dty(0)
·
·
·). Dans le domaine de la

science physique où les valeurs initiales des dérivées entières sont plus perceptibles que

leurs dérivées non entièresla définition de Caputo sembledonc plus adaptéedans ce cas [39].

Une autre différence majeure entre les deux définitions apparaatorsquea fonction à dériver est une constante. En effetLa dérivée à l'ordrenonentier d'une constanteelon la définition de Riemann-Liouville est une fonction non nulle dépendante de avariablet alors que sa dérivée non entière selon la définition de Caputo estnulle.

L'analogie avec la dérivation entière induit plutôtà adaptera définition deCaputo particulièrement pour la modélisationdes phénomènes physiquespour esquelsl est pluttt facile de donner un sens aux conditions initiales. Alors que a définition de Riemann- Liouville est couramment utilisée en mathématiqueen raisonde son caractère plus général [2].

Dans la suite du mémoire, où les fonctions traitées sont causales etdontes valeurs initiales des dérivées entières et non entières sont nulles, on supposera que t0 = 0 et on adoptera la définition de CaputoOn notera alorssimplement D^áf(t) la dérivée d'ordre non entier a de la fonction f(t). néanmoins, lorsque la définition de Riemann-Liouville est utilisée cela sera précisé dans le texte.

La dérivée généralisée d'une fonction f(t), peut également être obtenue de façon plus naturelle en utilisant la définition entière usuelle.C'est adéfinition proposée parGrrinwald [26], [65]. Elle est plus adéquate au calcul numérique de la dérivation non entière. En effet, partant de la dérivée première

Dⁿ f (t) = lim

h-+0

1
hⁿ

_Xn
j=0

? ?

((--1)jⁿ f(t-- jh)) (1.13)

n étant un nombre entier, la notation (ⁿ_j) représente la combinaison de j élément parmi n dont l'expression est donnée par

l'extension de l'équation (1.13) à des valeurs non entières a E R+ de l'ordre de dérivation étant immédiate, [65] soit

D^a f (t) = lim

h-+0

1
h^a

cx)
j=0

(--1)^j (^a )f(t -- jh)) (1.15)

La notation (^a_j) désigne le binôme de Newton généralisé à des ordres réels

Pour des ordres de dérivation entiers a = n E N, la somme de l'équation (1.15) est limitée à n + 1 termes. La valeur de la dérivée à un instant t est alors une combinaison linéaire des n+1 valeurs de la fonction f (t-- j h) , j = 0,
·
·
· , n. La dérivation entière donne ainsi une caractérisation locale de la fonction. Par contre, pour des ordres de dérivation non entiers, les coefficients de pondération [(--1)j (^a_j)] ne s'annulent pas. la valeurs de la dérivée à un instant donnée est alors une combinaison inéaire de toutes es valeurs de a fonction f(t -- jh), j = 0,
·
·
· , oo. Cela montre qu'à l'inverse de la dérivation entière, la dérivation non entière donne un caractérisation globale de a fonction.

plutôt son explication, on se limite dans ce qui suit à la présentation dede 'algorithme dans le cas des ordres de dérivation réels.

Dans le cas où la fonction f(t) est causale, en posant t = Kh, cette condition se traduit par f ((K - j)h) = 0 pout K - j < 0, soit pour j > K. Ainsi dans l'équation (1.15) la somme étendue de j = 0 à j = 8 se réduit à la somme étendue de j=0àj=K. Posons alors :

L'équation (1.15) s'écrit alors sous la forme plus adéquate au calcul numérique ous a forme :

Cette relation permet de montrer deux caractéristiques particulières de a dérivation non entière. Pour montrer la première, calculons les valeurs de a dérivée d'ordre a d'une fonction f(t) pour les quatre premières valeurs de t échantillonné au pas h. Elles sont données par :

{

D^a f(0) = C(0) f (0)

D^a f (h) = C(1)f(0) C(0)f(1)

D^a f(2h) = C(2)f(0) C(1)f(1) C(0)f(2)

D^a f (3h) = C(3) f (0) C(2)f(1) C(1)f(2) C(0)f(3)

(1.20)

Plus la variable t augmente, plus le nombre de coefficients à ajouter devient mportant. e plus, pour calculer la dérivée à t = Kh les produits des coefficients C(j) et des valeurs de la fonction f ((K - j)h) ne sont pas les mêmes que ceux utilisés pour calculer les valeurs précédentes de la dérivée. Cet algorithme nécessite donc un temps de calcul très mportant.

FIGURE 1.3: variation des coefficients C(j) en fonction de j pour différentes valeurs de a

Pour montrer l'autre caractéristique de ladérivation non entière, considéronsafigure (1.3) qui montre les valeurs relatives des coefficients C(j) par lesquels les valeurs passées de la fonction doivent être pondérées pour calculer a valeur de adérivée dea fonction à l'instant présent, pour plusieurs valeur de lordre non entier.Pour des ordresa non entiers, les coefficients de pondération ne sont pasnuls, mais eur valeur diminue au fur et à mesure qu'on s'éloigne delinstant présent. Confirmant ainsie caractèrefacteur d'oubli" de ces coefficients évoqué par Oustaloup65]. Par contre, pourune valeur entière de a (ici a = 1) les coefficients de pondération sont tous nuls sauf pour j = 0 et j = -1. En effet, la dérivée d'ordre 1 d'une fonction à l'instant t dépend uniquement des valeurs de la fonction à l'instant t (j = 0) et l'instant précédent t - h (j = 1).

Bien qu'assurant de bons résultats, cet algorithme présente une précision de calcul d'autant meilleure que la période déchantillonnage h est faible, donc que le temps d'exécution est grand, surtout lorsquil est utilisé pour calculeres sorties d'un ssstèmedynamique décrit par une équation différentielle dordre nonentier notamment danse casmultivaa riable. Par contre, il est très lourd à utiliser carmême pour une période d'échantillonnage

pas très petite, le temps de calcul devient très grandorsque etemps de simulation du système est assez grand en raison du nombre de produits effectuer qui devient de plus en plus grand que le temps de simulation augmente tel que le montrees relations de l'équation (1.20), en particulier lorsque les coefficients C(i) sont des matrices.

Les systèmes, dont la dynamique est modélisée par une équationdifférentielleutilisant la dérivation d'ordre non entière, sont appelés les systèmesd'ordrenon entier ouimplee ment les systèmes non entiersActuellement, beaucoup detravauxtraitent desystèmes ou des phénomènes physiques nécessitant lutilisationdecette théorie pour développer de nouveaux outils mathématiques et informatiques qui permettent de manipuleresmodèles non entiers et leur simulationdautres tentent dedéterminer eurs caractéristiquesdynaa miques et statiques. Tous ces travaux utilisent a représentation transfert, dansaquelle la manipulation des équations non entières est plus simple, et considèrent souvente cas des systèmes commensurables. Très peu de travaux utilisent a représentation d'état, et les travaux traitant des systèmes nonentiers généralisés sont presquenexistants. n préé sente dans ce paragraphesles définitions de bases des systèmesnonentiers, notamment la définition de l'équation différentielle dordre non entier

De manière générale, un système dordre non entier monovariable, inéaire temps invariant est décrit par une équation différentielle généralisée de a forme

où : ai, bj E R, u(t) E R et y(t) E R désignent respectivementl'entrée et la sortie du
système. D^á désigne l'opérateur de dérivation dordre á (indifféremment de la définition
utilisée). Les ordres de dérivation á et â sont des nombres réels positifs quon suppose,

Comme dans le cas entier, l'équation caractéristique associée 'équation di~érentielle est obtenue en éliminant le terme de droite de léquationdi~érentielle 1.21) et en remplaaant l'opérateur de dérivation par une variablecomplexe quelconque. l est écrit sousa orme

Definition 1 Le système non entier décrit parl'équationdi~érentielle 2..2)st strictee ment propre lorsque /3_m < á_n. Lorsque /3_m = á_n le système est juste propre.

Definition 2 Un système non entier est dit d'ordrecommensurableá lorsque tous les ordres de dérivation de son équation di~érentielle sontmultiples du mème nombre non entier á. Dans ce cas, l'équation di~érentielle généralisée de'équation2..2)evientt

Lorsque á est un nombre rationnel, le système est alors appelé système ractionnaire d'ordre commensurable ou simplement système ractionnaire.

Definition 3 On appelle la dimension d'unsystème, entier ou non entier, e nombre de coefficients non nuls contenus danssonéquation caractéristiqueupposée monic le coefficient associé à la puissance aplus élevée est ééal à 1).

Cette définition permet de remplacer le terme "ordred'un système" usuellementutilisé dans la théorie des systèmes entiers, par le terme "dimensiond'un système" puisquee terme "ordre" est utilisé pour désignerdordrede dérivation.

doit être considéré avec beaucoup de précautions en raisonducaractèrenon entier des puissances de la variable s qui implique la multiformité deléquation. En effet, si la variable complexe s est écrite sous la forme s = |s| ej? avec ? = ?0 + 2kð, il est possible d'exprimer une quelconque puissance de s, par :

~ Lorsque á est un nombre entier, _ej2ái k ð = 1 ?k, ce qui exprime que s ^ái a un seul

~ Dans le cas où á est non entier, le terme _ej2ái k ð dépend de k, exprimant que sái

a plusieurs sens et traduit ainsi la multiformitédu polynome non entier 1.24). Pour rendre cette équation uniforme, ilfaut éviter que 'argument des décrive un tour complet, ce qui est possible en effectuant une coupuredu plan complexe [655. Cependant, une telle coupure doit être effectuée suivant laxe R^T pour répondre au caractère indéfini de s ^ái pour s E R^T et á E R - Z. La coupure ainsi définie imposela détermination I - ð, +ð[ pour l'argument de s et est bien conforme à la condition sur s, soit s E C - RT (figure 1.4)

q et ri sont des nombres entiers et ei est l'erreur de rationalisation de la puissance réelleái. L'entier q est calculé de sorte que la somme des erreurs de rationalisation ei soit minimale et que les valeurs des entiers ri aient des valeurs admissiblesAinsi, le polynôme non entier Ä_ne(s) (1.24) devient un polynôme fractionnaireet peut êtreécrit sousa forme

Ce polynôme possède alors r_n racines simples ou multiples. Connaissant cesracines, on peut, grâce au changement de variable (128) déduirees racinesdu polynôme fractionn naire Äf(s) de l'équation (1.27) qui sontles approximations des racinesdu polynômenon entier (1.24). En effet, si pi est une racine du polynôme entier Ä(p) elle peut être écrite sous la forme :

| pi | et arg(pi) sont respectivement le module et largument de la racine pi. les racines du polynôme fractionnaire Äf(s), notées, s = | s |, ejarg(s), correspondantes sont données par:

????

| s | = |pi|q

arg(s)=qarg(pi)+2qkð k = 0, #177;1, #177;2, . . .

1 arg(pi) arg(pi)

- - < k < 1 -

2q 2ð 2q 2ð

(1.31)

La troisième relation de cette équation permet de vériifier 'existence des racines du polyy nôme fractionnaire, les deux premières relations permettent de es calculer.

~ Lorsque Ä(p) possède une racine réelle négative, en raison de lacoupuredu plan complexe, il ne lui correspond aucune racine de Äf(s) donc de Ä_ne(s), c'est ce que l'on appelle les racines multimodes apériodiques.

~ Une même racine de Ä(p) peut engendrer plusieurs racines de Ä_ne(s). (lorsque plusieurs valeurs de k vérifient la condition de l'équation 131) D'un autrecôé, une racine de Ä(p) peut n'engendrer aucune racine de Ä_ne(s), (lorsqu'il n'y a aucune valeur de k qui vérifie cette même condition)

On peut alors tirer les conclusions suivantes caractéristiques des polynômes d'ordre non entier.

~ Le nombre de racines d'un polynôme dordre non entier ne peut êtredéterminé au préalable ni à partir dela puissance la plus élevée de sa variable, ni àpartirdu nombre de ses coefficients.

- Un polynôme non entier, peut avoir un nombre deracines beaucoup plus grand que le polynôme entier qui lui correspond par le changement de variablep = s^a, comme il peut en avoir aucune alors quele polynôme entier en possède r_n.

~ De ces deux conclusions on peut en déduire une autre caractérique propre aux polynômes non entiers On ne peut pas reconstituer le polynôme nonentier à partir de ses racines comme dans le cas des polynômes entiers.

Celui-ci peut alors être approximé par un polynôme fractionnaire en approximantes ordre non entiers 1.33 et 0.65 par :

A l'aide du changement de variable (p = s¹/³), celui-ci devient entier et s'écrit sous la forme :

La condition d'existence des racines du polynôme fractionnairedonnée par'équation (1.33) s'exprime dans ce cas par

Comme k doit être un entier, cette condition montre que le polynôme fractionnaire 1.33) et par conséquent le polynôme non entier (1.32) ne posssdent aucune racine.

A l'aide des approximations (133) et en utilisant le même changement de variablep = s¹/³) , le polynôme entier correspondant est donné par

La condition d'existence des racines du polynômefractionnaires'exprime dans ce caspar

Par conséquent seul les racines p1 et p2 du polynôme entier (1.36) engendrent des racines au polynôme fractionnaires correspondant. Celles-ci sont données par

Ces résultats montrent que le calcul des racines dun polynôme d'ordrenon entier en utilisant la méthode proposée par Oustaloup,basée sur lapproximationdu polynôme non entier par un polynôme fractionnaire, esttributairede a qualité de cette approximation. Néanmoins, cette méthode reste intéressante même lorsque a solution calculéen'est pas une racine du polynôme non entierelle peutservir comme valeur nitiale à une méthode de résolution itérativeEn utilisant la méthodededichotomie, par exemple, on trouve que la racine du polynôme est environ égale à 7.44111 avec une erreur de 3.5 10_⁶.

Puisque le calcul des racines d'un polynôme non entier passe necessairement para résolution du polynôme entier correspondant ene~ectuant e changement de variable (p = s^a). On présente dans ce qui suit la transformationdu plancomplexe décrit para variable s pour déterminer le plan décrit par la variable p correspondant.

~ Soit s = ñ_sej?^s les coordonnées d'un point situé dans le demi plan gauche du plan complexe ne contenant pas laxe réel. Dans ce cas, llargument de s est donnée par ir/2 < ?_s < ir lorsque la partie imaginaire de s est positive et il est donné par --ir < ?_s < --ir/2 lorsque la partie imaginaire est négative.Son image para transformation p = s^a est un point de coordonées p = ñ_p ej?^p= (ñ_s ej?^s)^a, tel que :

????

ñ_p = ña s

lorsque ir/2<?_s<ir == air/2<?_p <air

lorsque -- ir < ?_s < --ir/2 == --air < ?_p < --air/2

(1.37)

~ De même, si on considère s = ñs ej?^s les coordonnées d'un point situé dans le demi plan droit du plan complexe. Dans ce cas, largument de s est donné par : --ir/2 < ?_s < ir/2. Son image par la transformation s^a est un point de coordonées

La figure (1.5) illustrela transformationdu plancomplexe s par la transformation (p = s^a) pour 1 < a < 2 et 0 < a < 1. La zone grisée montrel'image du demi plan droitdu plan complexe et la zone hachurée montrelimage du demi gauche.La partie restée claire correspond à l'image de l'axe réel négatif.

Ces figures permettent notamment de connaître la position des pôles à mposer aupoo lynôme entier correspondant à léquation caractéristique des systèmes commensurables, afin d'obtenir une dynamique donnéeAinsipour obtenir une dynamique oscillatoire amortie, il faut que les pôles complexes du polynôme entier soient situésdanses zones hachurées. Lorsqu'ils sont situés dans la zone claire, même s'ils sont complexes, adynaa mique du système est amortieCes figures, permettent également de déduirees domaines de stabilité des systèmes non entiers dordrecommensurablea dans le plan complexe p obtenu par le changement de variable p = s^a.

Lorsque les conditions initiales sont nulles, les transformations deLaplace deD^aiy(t) et Dâiu(t) sont respectivement s^aiY(s) et sâiU(s). Y(s) et U(s) étant les transformations de Laplace respectives de y(t) et u(t). En calculant la transformationde Laplacede l'équation

différentielle généralisée (121) on obtient la fonctionde transfert duystème non entier

Dans le cas des systèmes d'ordre commensurable á, cette fonction de transfert sécrit simplement :

Dans le cas général des systèmes non entiers multivariables, ayant £ entrées et q sorties, décrit par un système d'équations différentielles dordrenon entier, amatrice de fonctions de transfert s'écrit

Le modèle d'état d'un système dordre non entiermultivariablecontinu nvariant est défini, comme dans le cas entier, par deux équations 53], [655

~ Une équation d'état danslaquelle chaque variabledétat xi(t) est dérivée à un ordre non entier ái. Dans ce cas on parle de la représentation détat généralisée.Danse cas des systèmes commensurablestous les états xi(t) sont dérivés à un même ordre non entier á.

~ une équation de sortie qui est une combinaison linéairedes états, comme danse cas entier.

avec : x ? Rⁿ, u ? R`, y ? Rq, A ? R^n×n, B ? R^n×`, C ? Rq^×n, D ? Rq^×`. Dans le cas des systèmes commensurables le modèle détat (1.42) s'écrit

La relation entre les matrices du modèle détat 1.42 et emodèletransfertG(s) peut être facilement calculé en utilisant la transformation de aplace et en considérantes conditions initiales nulles. On obtient

Lorsque les matrices A, B, C possèdent les formes particulières qui rappelent la forme canonique commandable des modèles détat entiers donnés sous a forme

Si le calcul du modèle transfert à partir du modèledétat des systèmesnon entierse fait de la même manière que dansle cas des systèmes entiers classiques, ln'en est pas de même du calcul du modèle d'état à partir du modèle transfert, danse casdes systèmes non entier généralisés et multivariables en particulier

Dans le cas des systèmes commensurables, on verra qu'à 'aide du changementde vaa riable (p = s^a), on retrouve les méthodes utilisées dans la théorie des systèmesinéaires d'ordre entier. Une nouvelle méthode permettant decalculer un modèle d'étatà partir du modèle transfert sera présentée dans le casdes systèmesnon entiers généralisésmonoo variables [20]. Il faut noter enfinquun tel passage nexiste pasencore pouresystèmes non entiers généralisés multivariables.

Etant donné un système non entier monovariable linéairenvariant représentéparon modèle transfert G(s) supposé irréductible donnée sous la forme

étape 1 : A l'aide du changement de variable p = s^a , on transforme le modèle non entier G(s) en un modèle entier G(p) qui s'écrit sous la forme

étape 3 : Remplacer dans le modèle d'état (153) ladérivéeentièred'ordre1 par la dérivée non entière d'ordre á pour obtenir le modèle d'état correspondant au modèletransfert commensurable (1.52) donné par

Cette approche peut également être utiliséedans ecasdes systèmes commensurables multivaribles.

On suppose, sans perte de généralité, que á_n > án_1 > · · · > á2 > á1. Pour calculer une représentation d'état de G(s), on procède d'une manière similaire à la méthode usuelle utilisée pour les systèmes entiers permettant d'obtenirune représentation d'état dea forme canonique commandableLquation di~érentielle associée àG(s) est donnée par : (la variable t est omise pour ne pas surcharger les expressions)

???????????????? ?

?????????????????

x1 = y

x2 = D^a1x1 = D^a1 y

_x3 =Da2--a1 x2^=Da2--a1 (Da1_y) = Da2_y

...

xi = Dai-1--ai-2xi--1 = Dai-1^--ai-2 (Dai-2--ai-3 xi--2) =
·
·
· = D^ai-1 y

x_n = Dan-1--an-2 xn--1 = Dan-1_y

(1.57)

D^(a) (x) =

???????????????? ?

?????????????????

Da1 x1 = x2

Da2--a1 x2 = x3
Da3--a2 x3 = x4

...

Dai--ai-1 xi = xi+1

.
..

Dan--an-1_xn = Dan--an-1 (Dan-1--an-2

xn--1) =
·
·
· = D^an y

(1.58)

La dernière composante du vecteur D^(a) (x) (D^an y) s'écrit en fonction des autres dérivées de y(t) selon l'équation (1.56). On peut alors lexprimer en fonction des diiérentes composantes du vecteur d'état x(t) par :

D^an--an-1 x_n = --a1 xn -- a2 xn--1 --
·
·
· -- an--1 x2 -- an x1 + b0 u (1.59)

De l'équation (1.59) en tenant compte des équations (1.57) et de 'équation 1.58)₎ e modèle d'état correspondant au modèle transfert (1.55) est nalement donné par

De la même manière on peut obtenir une forme simillaire à a forme cannonique observable des systèmes entiers.

La fonction de transfert G(s), supposée propre, s'écrit dans ce cas sous la forme

On suppose aussi que a_n > an-1 >
·
·
· > a2 > a1 et 0_m > 0m-1 >
·
·
· > 02 > 01.

On a vu que lorsque les matrices A, B, C du modèle d'état non entier ont les formes particulières de l'équation (148) la fonction de transfert G(s) correspondante donnée par l'équation (1.49) est non commensurable. Néanmoins, es ordres non entiers 0i et ai du numérateur et du dénominateur de G(s) sont des combinaisons linéaires des ordres non entiers ai du modèle d'état. Par conséquent ce modèle ne peut être utilisé comme modèle d'état correspondant au modèle transfert G(s) que pour des cas particuliers où les coefficients et les ordres de dérivation du numérateur et ceux du dénominateur de G(s) ont la forme particulière de léquation (149)

On présente dans ce qui suit une méthode générale qui permet de calculer uneune repréé sentation d'état ayant la forme (148) à partir dudu modèle transfert G(s) où les coefficients et les ordres de dérivation du numérateur sont quelconques par rapport àà ceux du dénoo minateur.

Soit a le vecteur constitué de la concatination des nombres non entiers ai et 0i :

Remarque 4 Contrairement au cas des systèmes entiers, donte nombre de variables de leur modèle d'état est égal à la dimension deeur ééuationaractéristiiue, e nombre de variables du modèle détat d'unsystème non entier est égal à aomme dea dimension du polynôme numérateur et celle du polynôme dénominateur de sa onction de transsert

Puisque Le numérateur et le dénominateur de H(s) contiennent n + m termes. Il suffit alors de les trier de sorte à faireressortir m termes pour lequels les ordres non entiers correspondent à ceux du numérateurs de G(s) et n termes pour lequels les ordres non entiers correspondent à ceux du dénominateurs de G(s). La procédure de selection des termes ci et ai est résumée dans l'équation (167)

En utilisant la procédure de selection définie par léquation(1.67)₎on ootient

?????????? ?

???????????

a5=a3=5 c1 = b0 = 10

á1 = á1 = c2=0 et a4=a4=3

á2 = /31 = c3=b1 =6 et a3=0

á3=/32 = c4=b2=4 et a2=0

á4 = á2 = c5 = 0 et a1=a1=2

Le modèle d'état correspondant au modèletransfert(1.68) est nalement donné par

Remarque 5 La méthode qui vient d'être présentée suppose des relations quelconques entre les ordres de dérivationdu numérateur et ceux du dénominateur deG(s). Dans le cas où tous les ordres de dérivation á et /3 sont différents, le modèle d'état est dedimension n + in. Néanmoins, lorsqu'il existe des ordres de dérivation/3 qui sont égaux à ceux du dénominateur, cela engendre des dérivéesnulles danse vecteurD^(á)(x). Dans ce cas, la dimension du modèle détat peut être réduite en éliminantes ignesorrespondantes aux dérivées nulles du vecteur d état.Cette simpli~cation peuttre réalisée selonla relationn

hD^(á)(x) = D^0.3x1 D⁰x2 D^0.2x3 D⁰x4 D^0.3x5 le modèle d'état correspondant est

C doivent de ce fait être supprimésLe modèle simpliifié du modèle d'état (1.72) est naa lement donné par:

Remarque 6 Les coefficients et les ordres de dérivation dunumérateur et du dénomii nateur de la fonction de transfert non entièreG(s) peuvent, dans certains cas, avoirdes relations très particulières qui permettent de décomposerG(s) en éléments simples, comme dans le cas des fonctions de transfertd'ordre entierr

?
?

D^0.3x1
D^0.5x2

? ? ? ? ?

--2 0 1

? = ? ? x + ? ? u

0 --3 1

(1.75)

On présente dans ce paragraphe les propriétés dynamiques des systèmes non entiers en représentation d'état Celles-ci ne concernent que es systèmes d'ordre commensurables puisqu'elles ne sont établies que pour ce type de système non entier. l n'existe actuelle ment aucun développement similaire pour les systèmes non entiers généralisés.

Etant donné un système non entier dordre commensurable a < 1 dont le modèle d'état est donné par :

{

D^ax = Ax+ Bu x(0) = x0 y=Cx+Du

(1.76)

W(t) = E_a(A t^a) =

8
_E

k=0

Ak_tka

(1.81)

(1 + ka)

En calculant la transformation de Laplace de cette équation, enen utilisant a définition de Caputo de la dérivation non entière, on peut exprimer la transformation de Lapalce du vecteur d'état par :

E_á étant la fonction Mittag-Leffler57]qui est la généralisation dea fonction eepenentielle. En effet, lorsque (a = 1) le développement de la somme (181) donne e^At.

les notions de commandabilité et dobservabilité des systèmesinéaires ddordrenon entier sont très peu étudiées dans lalittérature.Actuellement seuls quelques résultats préliminaires sont donnés et ne concernent que les systèmes commensurables51]_]77]₁ [7]. La définition de la commandabilité des systèmes non entiersestamême que celle utilisée dans la théorie des systèmeslinéaires entiers 14].

Definition 7 Le système non entier d'ordre commensurable de'équation (..76st comm mandable si pour un temps donné t0 il existe un temps fini t1 > t0 tel que, quelque que soient deux états x(t0) = x0 et x(t1) = x1 dans l'espa ce d'état, il existe une entrée de commande u(t), t E [t0 t1] qui permet de transférer létat x(t) de x0 à x1 en un temps fini t1.

La condition de commandabilité est alors la même que pour ecasdes systèmes entiers. Le système non entier d'ordre commensurable(1.76) est commandable sie rang dea matrice de commandabilité :

De la même manière la condition dobservabilité des systèmes non entiers commensurables est établie en utilisant la définition dobservalité des systèmes entiers donnéepar

Definition 8 Le système non entier d'ordre commensurable de'équation (..76stbb servable pendantl'intervalle de temps [t0 t1], t1 > 0, si n'importe quel état x(t0) peut être déduit à partir des observations de la sortie y(t) et de l'entrée u(t) pendant un temps fini t E [t0 t1].

Dans ce cas aussi, la condition dobservabilité du système(1..6) est quee rang dea

matrice d'observabilité

? ? ? ? CA

O = ?CA²

...

(1.83)

On adopte dans ce cas aussi, la définition de la stabilité ausens entrée bornée sortie bornée (BIBO), dite aussi stabilité externe, utilisée dans a théorie des systèmesinéaires d'ordre entier.

Definition 9 Un système est dit BIBO stablesi et seulement si, à une entréeornée correspond une sortie bornée.

Dans le cas des systèmes non entiers dordre commensurable, comme danse cas entier, a condition de stabilité est quel'équation caractéristique du système n'admet aucune racine à partie réelle positive 2][65]

En pratique, la vérification dela condition de stabilité par e calculdes racines de l'équation caractéristique savère très diifficile en raison de a complexité deeur calcul (voir paragraphe 1.4.2). Au lieu de raisonner sur les racines du polynôme caractérique en s, Matignon a établi une condition de stabilité enraisonnant sur e polynôme entier, de variable complexe p, obtenu à partir de l'équation caractéristique, de variables, par le changement de variable p = s^á. Cette condition ne peut de ce fait être appliquée quaux systèmes non entiers d'ordre commensurable.

caractéristique du système, de variables, par le changement de variable p = s^a, vérifient la condition :

pi, (i = 1,
·
·
· , n) sont les racines du polynôme entier arg(pi) est l'argument de la racine pi.

Remarque 11 La condition de commensurabilitéde 'ordre de dérivationst uneondition nécessaire. En e~et, lorsque cette conditionn'est pas vériiée l'étude dela stabilitédu système non entier sur la base des racinesde son polynômearactéristique, orrespondant au dénominateur de son modèle transfert, uniquementn'a pas deens.

Le dénominateur de G(s) admet un pôle positif en s = 1, ce qui laisse penser que le système représenté parla fonction detransfertnon entièreG(s) est instable. mais en calulant sa réponse impultionnelleon trouve que

qui montre que le système est bien stable. En utilisant laconditionde stabilité de Matignon (1.84) et en tenant compte de la transformationdu plan complexe, dea variables, par la transformation p = s^a présentée dans le paragraphe 1.4.3, on déduit les domaines de stabilité du système d'ordre commensurable á dans le plan complexe de la variable p illustrés par la figure (16)

FIGURE 1.6: Domaine de stabilité des systèmes commensurables dans e plan complexep

La complexité de la théorie dela dérivation non entièreet surtout 'absence d'outils mathématiques et numériques adéquats permettant 'analyse, a simulation eta réalisation de ces systèmes ont longtemps été les causes de sa marginalisation. Cette di~culté est principalement due au caractère global de lopérationde dérivation et d'intégration non entière nécessitant la connaissance detout le passé de a fonction.C'est doncnaturellement que les premiers travaux de recherche, qui remontent au début des années60, traitent du problème de simulation dessystèmes nonentiers.Trois solutions ont alors été proposées.

La première méthode est analytique, elle utilise la fonction Mittag-Le~er311,669 pour déterminer l'expression dela réponse temporelle dea sortiedu système.Les expressions obtenues sont généralementsi complexes, quelles ne peuvent êtreutilisées ni pour l'analyse du système, ni pour sa simulation temporelle.Ladeuxième méthode, utilisant des modèles discrets, peut être obtenue de deux manières di~érentes.La méthode directe basée sur la définition de Griinwald-Letnikov40], 65]permet de discrétiseremodèle continu. Elle peut être facilement développée dans les cassimplesdes systèmesmonovariables commensurables, elle peut aussi être généralisée au casdes systèmesmultivariables

non commensurables. La seconde manière, appelée aussi la méthode ndirecte, consiste à discrétiser, dans le modèle transfert non entier l'opérateurde dérivation pares outils de discrétisations connues (EulerTustin, Al Alaoui, etc) 15], 24]_]43]_]44]_]62]_]66]_] [76]. Ces deux méthodes sont simples à mettre en oeuvre par contre, ellesnécessitent un temps de calcul très importantLa troisième méthode, basée suresmodèles d'ordre entier continus, consiste à remplacer lopérateur de dérivation d'ordrenon entier par un transfert d'ordre entier qui lapproxime dans une bande de fréquencesdonnée.l su~t ensuite de remplacer, dans le modèle non entier lopérateur de dérivation pare transfert d'ordre entier qui l'approximeon obtient ainsi un modèle continud'ordre entier qui peut être utilisé pour simuler la sortie dusystème.Plusieurs solutionsont été proposées dans ce domaine [12], [30], [64], [76]

Le dérivateur généralisé étant le constituant principaldesmodèles d'ordre non entier, c'est donc naturellement quelapproximation des systèmesnon entiers commencenécess sairement par celle du dérivateur généraliséCelle-ci consiste alors à approximer, dans une première étape, le dérivateur généralisé par le dérivateur borné en fréquences.Puis dans une seconde étape, approximer ce dernier par un modèle rationneldont es pôles et zéros sont particulièrement distribués dans la même bande de fréquences.Le dérivateur généralisé étant ainsi remplacé par un transfert entier, l su~t alors de remplacer danse modèle du système non entier le dérivateur de dérivation paremodèle entier qui'app proxime. On obtient ainsi un modèle entier qui approxime le modèlenonentierdansa même bande de fréquences. Tousles outils de simulationet toutesesméthodes d'analyse des systèmes entiers peuvent alors être utilisés.

La dérivée généralisée d'une fonction f(t) est dite explicite lorsqu'elle porte directement sur la fonction à dériver elle même, soit.

lorsque f(t) est causale et que f(t) = 0 pout t = 0, l'opérateur correspondant est donné par:

Lorsque la dérivée généralisée ne porte pas directement sur a fonctionf(t) mais sur le produit de f(t) par la fonction exponentielle croissante e^ùt, elle est dite implicite. Elle est définie par :

da ) impl f(t) = Da(f(t) eù t) (1.87)
dt^a l'opérateur correspondant est donné par

Le chapitre 2 sera entièrement consacré à cettedérivée implicite.par conséquent, dans tout ce qui suit, on ne s'intéresse quà la dérivée généralisée explicite.

Compte tenu des transformations de Laplacede l'intégration non entière1.5) et dea dérivée non entière, selon ses deux définitions (17) et (1.9), a fonction de transfert1.86) est appellée l'integro-différentiateur généralisé.En effet, orsquea > 0, _Dgen(s) définit un dérivateur et lorsque a < 0 elle définit un intégrateur. Souventon préfère lappeler simplement le dérivateur généralisé

L'approximation du dérivateur généralisé par une fonctionde transfert rationnelle est réalisée en deux étapes : Dansla premièreétape, le comportement non entierdu dérivateur (1.86) est réduit sur une bande de fréquences bornée.On approxime alorse transferts^a, dont le comportement non entier sétendsur toute a bande [0, 8[, par le fitlre passe- bande d'ordre non entier (189) dont le comportement non entier estimité à a bande de fréquences [ùb, ùh]. Cela est justifié par le fait que les systèmes physiques ont toujoursun

comportement borné en fréquences. Dans la seconde étape, e filtre passe-bande d'ordre non entier_Dborn'e(s) est remplacé par une mise en cascade dune infinité de filtres passe- bande rationnels. Il suffit ensuite de limiter le nombre de ces filtres pour queque e transfert rationnel qui approxime le dérivateur généralisé s^a dans la bande de fréquences [wb, wh] soit de dimension finie.

Le dérivateur généralisé borné en fréquences, noté_Dborn'e(s), représente le dérivateur généralisé s^a sur un intervalle de fréquences limité, ilil est décrit par a fonction dedetransfert

Dborn'e(s) = D0

1+ s

_)a

(1.89)

1 + s

wb et wh étant les limites de la bande de fréquences où les deux transferts 1.86) et 1.88) possèdent le même comportement Celles-ci sont souvent choisies dede sorte que w = 1 soit le centre de cet intervalle, comme pour le dérivateur entier. wb et wh vérifient alors la relation :

Pour que s^a et_Dborn'e(s) aient le même gain (égal à 1 comme pour le dérivateur entier) à la pulsation w = 1, lorsque wb et wh sont symétriques par rapport à w = 1, il faut choisir D0 égal à :

D0 =

Cbh)a = (Jh )a = (wo^a

= (wbri (sa) ( 1 VI ( wha = sa (1.92)

La figure (1.7) illustrele comportementfréquenteeldudriivtturrggénraliséé déall courbee
I) et du dérivateur borné en fréquence (courbe II) (ici on a considéré le cas d'un déri-
vateur : a > 0). Celle-ci montre que le comportement fréquentiel du dérvateur ddéllett
du dérivateur borné en fréquences sonttrès prochesauccenteedde aabbnneedeefrééuencee
d'approximation. Par contre,iils deviennent compètement diifééeenssenndehhrssdeecettee
(1.91)

FIGURE 1.7: diagramme de gain et de phase du dérivateur généralisédéal courbe I et du dérivateur borné en fréquence (courbe II) (a > 0)

bande puisque le dérivateur borné en fréquence devient constant àcausede 'égalité des degrés de son numérateur et de son dénominateurC'est donc au voisinage desimites de la bande de fréquence où le comportement des deuxdérivateurs este plus di~érent et par conséquent que l'erreur d'approximation est la plus grande.

Après avoir expliqué dans le paragraphe précédent comment réalisera première étape, on s'intéresse dans ce paragraphe à la concrétisationde a seconde étape de'approximation. Plusieurs méthodes sont alors proposées, elles se distinguent principalement selon que le modèle entier obtenu est continu ou discret, utilisant a représentation d'état oua représentation transfert

Dans le cas continu, Charef 12] et Oustaloup64]déterminent es éros etespôles du transfert rationnel en se basant sur lecritèrede récursivité des fréquencesransitionnelles correspondantes. Celles-ci sont alors obtenues au moyens de simples calculsgéométriques.

D'autres méthodes d'approximation utilisent des techniquesd'interpolation, onmentionne la méthode de Carlson [10] qui se base sur un processus tératifde Neewton, etaméthode de Matsuda [54] qui utilise le principe du développement en fractions continues. A cela s'ajoutent toutesles techniques didentification fréquentiellesdont a démarche consiste à identifier les paramètres du modèle entierà partir de a réponse fréquentielledu dérivateur généralisé. On peut citerl'algorithme de Lévy 35], 63], 'algorithme Vector itting" [27], [47], ainsi que l'approche proposée dans79]qui consiste àminimiseranorme de l'erreur d'approximation. Beaucoup dautres méthodes d'approximation ont ensuite été proposées, soit pour utiliserla représentationd'état 70],71] ou bien pour amélioreres méthodes existantes notamment au voisinagedes limites de a bande d'approximation2], [80]. Une étude comparative de quelques unes de ces méthodes peut être trouvéedans [1]. On présente dans ce qui suitla méthode dapproximationdéveloppée parOustaloup [64], communément appelée méthode dapproximation CRONE, qui sera utiliséedanse chapitre 3 pour développer nos deux méthodes dapproximation des systèmesnon entier en représentation d'état

En mettant en série une infinité de filtres passe bande, dont es singularitéspôles et zéros) sont correctement choisis etrépartis dans abande de fréquences d'approximation [wmin, wmax], on obtient un modèle d'ordre entier équivalent au dérivateur non entier borné en fréquences. La figure (18) illustre ce principe.

la fonction de transfert non entière (1.89) du dérivateurborné en fréquences 'écrit alors :

Dborn'e(s) = D0

_Y8
i=0

1 + s

ùz,i

(1.93)

1 + s

ùp,i

D0 est un coefficient tel que le dérivateur borné en _{fréquencesDborn'e(s)} et le transfert entier équivalent aientle même gain pour w = 1 rd/s. -wz,i ^et -wp,i sont respectivement les zéros et les pôles des filtres passe bande.

Comme ce transfert entier ne peut pas êtreréalisé à causede sa dimensionnfinie, on l'approxime par un transfert de dimension finie en utilisant un nombreimitéde cellules passe bande. On obtient alors une approximationbornée en fréquencesde dimensionfinie. L'approximation CRONE ala particularité que le gain D0 ne dépend pas du nombre de

FIGURE 1.8: Diagramme asymptotique de Bode du dérivateur borné en fréquences et de son approximation

cellules nécessaires à l'approximation mais uniquement de la bande de fréquences, dont les limites sont symétriques par rapport à w = 1rad/sec et de l'ordre non entier á. On obtient finalement :

sá Dborn'e(s) D_á(s) = D0

_YN
i=--N

1 + s

ù_z ,i

(1.94)

1 + s

ùp,i

N est le nombre de cellules nécessaires pour obtenir une bonne précision.Celleeci est d'autant meilleure que N est grand. Les pôles ^--wp,i et zéros ^--wz,i du transfert entier sont déterminés par les relations récurrentes suivantes.

D_á(s), comme _Dborn'e(s), est juste propre et présente un gain constant en dehorsde a bande de fréquences de validité del'approximation.

Ce problème d'approximation des systèmes non entiers étant trèsmportant, l fera l'objet d'un développement plus approfondi dans les chapitres 2 et 3.

La première partie de ce chapitre a été consacrée àa présentation des di~érentes définitions de la dérivation et intégration non entière. On a en particuliermis en évidence le caractère longue mémoire de ces opérations contrairement au caractèreocal dea dérivation et l'intégration entière classique.C'est cette caractéristique qui est difficile à reproduire lorsqu'on souhaite simuler ouréaliser les systèmesnon entiers.C'estpourquoi leur approximation par des modèles entiers est actuellement a seule alternative.

Dans la seconde partie, après avoir présenté les définitions de basedes systèmesnon entiers, on a montré une autre caractéristique ntrinsèque de ce type de système, elle consiste en la résolution des polynômes non entiers pour esquelson ne peut pas savoir à priori combien de racinesils possèdent àlinverse des polynômes entiers.La méthode de résolution présentée consiste également à approximer epolynôme non entier par un polynôme fractionnaire à partir duquel, à laide d'unchangement de variable adéquat, permet une nouvelle fois, l'utilisation doutils propres aux systèmes entiers.

La dernière partie de ce chapitre a été consacrée àa méthode qui est actuellementa plus utilisée pour la simulation, la réalisationet l'analyse des caractéristiquesdynamiques des systèmes non entier : l'approximation du dérivateur d'ordrenon entierpar unmodèle entier de dimension finie. C'est cette approximation qui serautilisée danse chapitre 3 pour développer deux méthodes d'approximation des systèmes non entiers généralisés dans l'espace d'état.

Un autre type de dérivation a également été abordé dans ce premier chapitrea dérivation non entière implicite. Lalittératureesttrès peu abondante concernant cette dérivation, c'est pourquoi elle sera le propos duchapitre suivantt

Contribution à l'analyse et la synthèse des systèmes d'ordre fractionnaire par la représentation d'état

Chapitre 1