Une onde sinusoïdale est caractérisée par
sa fréquence ou pulsation w (en rad/s), et par son vecteur d'onde de
norme :
k = [rad/m] (4.31)
Où X est la longueur d'onde.
Il existe deux vitesses caractéristiques
différentes [7] :
o La vitesse de phase : qui est la vitesse à
laquelle la phase de l'onde se propage dans l'espace et définit par :
v? = (4.32)
o La vitesse de groupe : qui correspond à la
dérivée de la pulsation par rapport au nombre
d'onde associée à cette pulsation. Elle peut
être définie comme étant la vitesse à laquelle le
sommet d'une impulsion se déplace :
vG = (4.33)
Si :
? = 0 (4.34)
Alors :
vg = v? (4.35)
On peut dire ainsi qu'il n'y a pas de dispersion.
Mais si,
? ? 0 (4.36)
Alors, il existe une dispersion.
La dispersion chromatique provient de deux causes principales :
la dispersion due aux matériaux et celle provoquée par le guide.
[15]
a) La dispersion due aux matériaux :
Elle est liée à la dépendance de l'indice
de réfraction du milieu dit « dispersif » à la longueur
d'onde. En optique, un matériau est qualifié « dispersif
» si son indice varie en fonction des longueurs d'onde que l'on
transmet.
Par exemple, la silice (composant de base des fibres) est un
matériau très dispersif dont l'indice obéit à la
relation de Cauchy :
n(?) = A + (4.37)
Où A et B sont des constantes
En conséquence, chaque « couleur » se
déplace à une vitesse qui lui est propre :
(4.38)
On a : c est la vitesse de la lumière dans le
vide et l'indice de groupe relatif à la longueur
d'onde de la « couleur ».
Pour mieux comprendre le phénomène de la
dispersion due aux matériaux, on peut se référer à
l'expérience de NEWTON : un faisceau de lumière blanche,
après avoir traversé un prisme de verre se décompose en
une série de couleurs diverses, l'ensemble représente le spectre
de la lumière visible.
Il en de même dans la fibre optique, si une impulsion
de lumière blanche est injectée à l'entrée d'une
fibre de silice, les longueurs d'onde rouges émergent de la fibre
premièrement suivies de l'orange, du jaune, du vert et du bleu et la
durée de l'impulsion en sortie est plus longue qu'en entrée
(figure 4.12). Aux longueurs d'ondes visibles, le rouge va plus vite que le
bleu. C'est ce que l'on appelle la dispersion de vitesse de groupe normale ou
positive. Alors, les grandes longueurs d'onde se propagent plus rapidement que
les longueurs d'onde plus courtes.
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Figure 4.12 : Influence de la dispersion due aux
matériaux sur une impulsion optique
La dispersion du matériau Dm est
donnée par :
Dm = (4.39)
Pour la silice, Dm varie d'environ -100
ps/nm/km à 0,85um et +25 ps/nm/km à 1,55 um ; elle s'annule
à 1,27 um.
La différence dans le temps de propagation est
donnée comme étant :
(= ) (4.40)
Où est la largeur du spectre de la source, L est
la longueur d'onde nominale de la source et
la dérivée seconde de l'indice du coeur avec
réfraction. [5][9]
63
b) La dispersion dans le guide
Ce phénomène est essentiellement dû
à la structure géométrique de la fibre, et en particulier
aux dimensions réduites du diamètre du coeur (10 à 50
ìm). Cette dispersion est particulièrement spécifique aux
fibres monomodes.
En effet, une partie de la puissance optique
transportée par le mode fondamental se propage aussi dans la gaine
(figure 4.13). Les indices de réfraction de la gaine et du coeur
étant différents; la lumière se propage donc à des
vitesses différentes (v = c/n).
Cette dispersion est liée à la structure
géométrique du guide d'onde et résulte de la variation de
la constante de propagation â avec la fréquence normalisée
V; la dispersion du guide dépend des paramètres de la fibre. [5]
[9]
Figure 4.13 : Dispersion d'une partie de la
puissance optique dans la gaine
On peut définir la constante de propagation
normalisée qui est très utile dans le calcul de la dispersion du
guide, elle est donnée par :
( ) ( )
b = (4.41)
Une expression de ? peut être écrite comme :
? (4.42)
Dans ce cas, la dispersion du guide est
donnée par :
*Dg + (4.43)
Où
0,08 + 0,5439 (2,834 - (4.44)
En particulier, le délai causé par la dispersion
du guide est :
?guide = (4.45)
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La différence dans le temps de propagation est :
??guide = ?? (4.46)
