Etude du modèle de tarification de prime d?assurance maladie par l'approche stochastique (cas de l'hôpital Saint Joseph de Kinshasa)

3.5. Interprétation mathématique des modèles

Au cours du contrat d'assurance, on ne peut pas prédire avec exactitude quand est ce que l'assuré sera malade ou en état de grossesse mais on sait au moins qu'il passera par ces états pendant une certaine période.

Il s'agit donc d'une expérience aléatoire car on ne peut pas prédire avec exactitude les résultats mais on connait à priori tous les résultats possibles (active, hospitalisé, grossesse). On peut dire que l'assurance constitue une expérience aléatoire que l'on peut nommer par î, dans laquelle les états « active », « hospitalisé », « grossesse » constituent les éventualités.

Si on note par ? l'ensemble des éventualités alors nous aurons, ?= {active, hospitalisé, grossesse}.

Comme nous avons un espace d'éventualités ? relatif à une expérience aléatoire î on peut définir une ó Algèbre ou une tribu á sur ?.La tribu á sur ? est un ensemble probabilisable ? (?, á) est un espace probabilisable.

Comme on ne peut pas connaître avec exactitude la survenance des états « active », « hospitalisé », grossesse » on leurs associe une mesure de probabilité, nous aurons alors un espace (?, á, P) qui est l'espace probabilisé.

On remarque alors que l'on peut définir une application

X : ??R, ù?x tel que

i) X(?)={x/ ((existe ù ° ?)/x=X(ù)) est fini et dénombrable

ii) pout tout x ° R, X^-1({x}) ° á

Ceci revient à attribuer une valeur numérique à chaque résultat possible d'une épreuve aléatoire.Donc on peut conclure que les différents états de l'assuré sont des variables aléatoires.

Au cours de la durée de la police, un assuré passe par plusieurs état schématiser par la survenance ou non d'un sinistre (grossesse, hospitalisation).

On remarque que chaque événement se produit à un temps quelconque, si X est l'événement X(t) est cet événement au temps t. on peut représenter l'espace des états d'une police quelconque ou pour tout instant t, X(t) donne l'état ou se trouve l'individu à ce moment.

{X(t), t ° T c R⁺}, constitue une famille des variables aléatoire X(t), t°T cR⁺, définie sur un même espace probabilisé (?, á, P) et dépendantes du temps t°T. Cette famille de {X(t), t ° T c R⁺} constitue un processus stochastique (aléatoire) ou :

T : est l'espace des instants

X(t) est une réalisation du processus stochastique dans les différents états (« active », »hospitalisation », « grossesse »)

C'est pourquoi on introduit également un processus stochastique {D_t, t=0} décrivant les durées d'occupation du processus X dans les états e_0, e_1, e₂.De manière plus formelle D_t=max {z=t/ X_t=X_t-h pour tout 0=h=z}

Formellement l'origine du temps t=0 correspond à la conclusion du contrat.

On suppose que la police est émise lorsque l'assurée est dans l'état e0, alors qu'elle est agée de x années, des sorte que x₀=e₀.ì

L'événement « X_t=e₀,D_t=z » signifie que l'assurée est active à l'âge x+t et que la fin de sa dernière hospitalisation remonte à la date t-z si z<t, ou que l'assurée est active à l'âge x+t et n'a jamais été hospitalisée si z=t. L'événement « X_t=e₁,D_t=z » signifie qu'elle est hospitalisé à l'âge en question depuis une durée Z et l'événement « X_t=e₂,D_t=z » signifie qu'elle est hospitalisée suite à une grossesse à l'âge en question depuis une durée z.