Etude du prix spot du Gaz naturel

Chapitre 5

Modélisation multivariée

Nous avons vu plus haut que l'analyse des séries chronologiques consiste principalement à détecter la structure de corrélation (dépendance) entre les composantes du processus générateur {Xt, t E Z} de la série sous étude X1, ..., XT. Cette structure sera exploitée entres autres, sous l'hypothèse fondamentale que les valeurs futures de la série restent une réalisation du processus, pour faire des prédictions dans le futur. Dans ce cas, l'approche permettant de révéler la structure de dépendance est qualifiée d'univariée dans le sens où l'on suppose que les variables du processus générateur {Xt, t E Z} ne sont corrélées qu'entre elles seulement et qu'il n'existe pas (ou du moins on néglige) de corrélation avec d'autres processus générateurs de d'autres séries. Cependant, plusieurs chroniques rencontrées dans la pratique, et spécialement en économie, peuvent être considérées comme composantes d'une série chronologique multivariée X1, ..., XT issue d'un processus multvarié {Xt, t E Z} dont la spécification inclu non seulement la structure de "dépendance" de chaque composante{Xti, t E Z}, mais aussi l'interdépendance entre différentes composantes{Xti, t E Z} et{Xtj, t E Z}. Par exemple, on a vu que la série des prix spot du gaz naturel au Texas (T) peut être considérée comme réalisation d'un processus ARIMA(8, 1, 20). Ainsi on peut dire grossièrement que ce prix à une période donnée dépend du prix aux huit périodes précédentes et du passé, à l'ordre 20, d'un processus bruit blanc. Cependant, la théorie économique nous montre que le prix du gaz est fortement lié au prix du pétrole et que le comportement des consommateurs vis-à-vis du gaz est conditionné par celui du pétrole. La prise en compte de l'effet du pétrole sur le gaz décrit mieux la série des prix du gaz et peut donc améliorer leurs prévisions.

D'un point de vue du second ordre, un processus multivarié stationnaire {Xt, t E Z} est déterminé par sa moyenne vectorielle p = E (Xt) et sa fonction d'autocovariance matricielle

Ph = E [(Xt+h -- E _(Xt+h)) (Xt -- E (Xt))^'~ = E (XtX^'_t) -- pp^'. La plus part des résultats relatifs aux processus univariés sationnaires du second ordre peuvent être généralisés au cas de processus multivariés. Cependant de nouveaux problèmes surgissent. Dans ce qui suit nous allons présenter brièvement les principaux résultats concernant les processus multivariés faiblement stationnaires et les modèles VAR qui les representent.

5.1 Processus multivariés stationnaires du second ordre

Dans la suite on considère un processus m-varié {Xti, t E Z}, i = 1, ..,m, du second ordre, i.e., E (Xt) < oo et E (XtX^'_t) < oo Vt E Z. La stationnarité d'un processus est liée à l'invariance d'une de ses propriétés par translation dans le temps. Cette propriété représente la distribution de probabilité dans le cas de stationnarité forte et la moyenne et la covariance dans le cas de stationnarité faible (ou du second ordre).

Définition 5.1.1

Un processus stochastique m-varié {Xt, t E Z} est dit strictement stationnaire si pour tout n E N^*, et pour tout n-uplet (t1,t2,...,t_n) E Zⁿ, la distribution de probabilité conjointe du vecteur _(Xt1+h, , Xt_n+h) est la même que celle de (Xt₁, , Xt_n) Vh E Z. Autrement dit, si on a :

P(Xt₁< x1, :::,Xt_n < x_n) = P (Xt1+h < x1, :::, Xt_n+h < xn) ,

n E N^*, V (t1, t2,..., t_n) E Zⁿ, Vx1,x2_;:::, x_n E R^m, Vh E Z.

Définition 5.1.2

Le processus stochastique {Xt, t E Z} est dit faiblement stationnaire si on a :

1) E (Xt) = E (Xt+h) = p (de moyenne le vecteur constant), Vt E Z,

2) Cov (Xt, Xt+h) = E [(Xt -- p_t) (Xt+h -- pt+h)'] = Vt, h E Z.

La fonction matricielle Ph = (yii(h))i je{1,..,m} est dite fonction d'autocovariance du

Remarques

? 1. Les mêmes propriétés de la fonction d'autocovariance étudiée dans le chapitre 2 restent valables dans le cas multivarié. Cependant la fonction d'autocovariance dans le cas multivarié n'est pas symétrique et on a

F_h = F0 h

De plus, F est définie non négative

? 2. Comme pour le cas univarié, il est clair que la stationnarité stricte implique la stationnarité faible (la réciproque n'est pas vraie, sauf pour les processus Gaussiens), pourvu que le processus sous étude soit du second ordre.

Processus bruit blanc multivarié (Multivariate White noise)

Le processus de second ordre, multivarié, faiblement stationnaire de base (à partir duquel on peut générer d'autres processus multivariés stationnaires par combinaison linéaire infinie, convergente en moyenne quadratique), est le processus bruit blanc multivarié dont la définition est la suivante.

Définition 5.1.3

Un processus bruit blanc {"t, t E Z}, est un processus stochastique non corrélé de moyenne nulle et de matrice de covariance finie . Autrement dit :

{

E ("t) = 0,

Vt E Z,

E ("t"⁰ _t) = :

et par la fonction d'autocovariance particulière suivante :

{

, h = 0,

Fh = E ("t "t+h) = Vt E Z

0, h=60.

pour des raisons théoriques on suppose que est non singulière.

Estimateur empirique

Dans la pratique la fonction d'autocavariance n'est pas connue, néanmoins, elle est estimée par la statistique suivante dite estimateur empirique :

^bh = 1 T - h	T P-h t=1	(Xt - ) , Xt ) (Xt+h - Xt+h
avec Xt-h =			1 T - h	T P- h t=1	Xt h ~ 0

Bien entendu, pour une série temporelle multivariée x1, x2, ..., x_n, on a l'estimation empirique ^b['h:

b['h= 1 T - h	T P-h t=1	(xt - xt) (xt+h - xt+h),
avec xt-h =			1 T - h	T P- h t=1	xt h ~ 0

5.1.1 Fonction d'autocorrélation

La fonction d'autocorrélation de retard h, h E Z, d'un processus multivarié, du second ordre, faiblement stationnaire de moyenne E (Xt) = p. et de matrice de covariance ['h, notée Rh = (p_ij(h)) est définie par

pij(h) = 'yij (h)

\/Yii (0) _jj (0)

ou encore sous forme matricielle

Rh = D^-1['hD^-1, Vh E Z.

où D^-1 = diag

) 1 \/_Yii (0)

. Il est facile de vérifier que la fonction d'autocorrélation satisfait

les deux propriétés suivantes, qui découlent directement des propriétés précédentes de la fonction d'autocovariance

Propriétés 4.1.4

1) R-h=R^'h VhEZ,

Donc on peut dans la pratique se restreindre aux autocorrélations pour h ~ 0.

Estimateur empirique

L'estimateur empirique ^bRh de la fonction d'autocorrélation, Rh, est obtenu en remplaçant,

dans l'expression de Rh, D et ['h par leurs estimateurs empiriquesD^b et En effet, on
	['h, respectivement.

^bRh= D-1 ^b['h D^-1, VhEZ

Remarques

? 1. La représentation graphique de p _j (h) est appelée"corrélogramme" pour chaque i,j=1,. .. ,m.

? 2. Si p _j (h) décroît rapidement quand le nombre de retard augmente, cela signifie que la série est stationnaire, sinon elle est sans doute non stationnaire ou de mémoire longue.