Chapitre2:Différentes formulations des
équations de
Navier-stokes
L'équation adimensionnelle qui définit
l'écoulement d'un fluide visqueux incompressible instationnaire
s'écrit sous la forme suivante :
|
Oui
Ot +
|
O(uiu;)
Ox*
|
=
|
OP
, +
axi
|
1
Re
|
O
Oxi
|
O
Oxi
|
ui (2.1)
|
Oui
Oxi
= 0 (2.2)
Avec i, j =1,2
On peu distinguer trois formulations différentes
de ces équation suivant les inconnues qu'on
considère.
2.1 Formulation en variables premières (u, v, P)
Equation dynamique
|
Equation de continuité
|
Ou
Ot + u
Ov
+ u
Ot
|
Ou
+ v
Ox
Ov
+ v
Ox
|
Ou
=
Oy
Ov
=
Oy
|
OP Ox + OP Oy +
|
RV2u (2.3)
e
RV2v (2.4)
e
|
Ou Ox +
Ov
O = 0 (2.5)
y
Où sous la forme conservative:
Ou
Ot +
OP
+
Ox
=
O(uv)
Oy
O(u2)
+
Ox
RV2u (2.6)
e
Ov
Ot +
OP
+
Oy
=
O(u2)
Oy
O(uv)
+
Ox
1
V2v (2.7)
Re
La formulation en variables primitives et la plus
naturelle et elle se prête directement à l'extension au cas
trimensionnel. Dans la plupart des méthodes, on substitue à
l'équation de continuité, une équation de poisson. Cette
équation s'écrit sous la forme convective suivante :
V2P = 2
(Ou Ov ) Ov Ou
(2.8)
Ox Oy + Ox Oy
U = 3
v=
Ox
OtIJ
Oy
OtIJ
(2.12)
(2.13)
Les conditions aux limites
Pour le fluide visqueux en contact avec une paroi, on
impose la condition d'adhérence à tout instant t,V( , y, t) pour
x et y appartenant à la paroi égal à Vp vitesse du point
lié à la paroi .Pour un fluide parfait, on impose la condition de
glissement, qui traduit uniquement que le fluide ne traverse pas la paroi. Il
est naturel de se donner les conditions initiales pour V, comme pour une
équation différentielle du premier ordre en t. Par contre, les
conditions que doit vérifier p sont moins claires .On remarque que la
pression est solution d'une équation de la forme
Grad(p)=A(V). La richesse des conditions aux limites du
domaine de résolution des équations à tout instant, est
plus grande que celle des conditions initiales. Pour le liquide visqueux en
contact avec une paroi, on impose la condition d'adhérence pour la
vitesse à tout instant. Cette condition est type Dirichlet et est
donnée par :
u = v = 0 (2.9)
Pour la pression, on impose une condition de type Newman,
soit :
OP
=
On
1 O2vi
(2.10)
Re Ox2
Dans le cas bidimensionnel, bien qu'il existe
différentes méthode pour résoudre numériquement le
système des équations de Navier Stokes en termes de variables
primitives, c'est-à-dire u, v, p, on peut le réduire à un
système plus simple de deux équations différentielles pour
la fonction de courant et la fonction tourbillon.
2.2 Formulation (fonction de courant-fonction
tourbillon)
Pour un fluide incompressible p = cte g div
V01 =0
|
01
gV
|
= roti; (2.11)
|
|
-,
Le vecteur vitesse V
|
01
dérive d'un potentiel vecteur V)
|
. Pour un écoulement plan
xOy, on a:
|
Les lignes de courant sont définies
par
dx dy
=
U v
|
?'
gOx dx 7
|
NJ
Oy
dy = 0 = 1(x, y, t) = cte
|
* Est appelé fonction de courant
La fonction tourbillon est définie en fonction de
V par la relation to = rot(V), elle se réduit à la seule
composante scalaire t( , y, t).
?~ ?~
% ~ 5"/ = 3(2.13)
?~ ?~
Elle s'exprime au moyen de ij(x, y, t) par la formule
:
|
02*
co = 7
Ox2
|
02*
|
= V2* (2.14)
|
|
0y2
|
On dérive les deux équations (2.6) et (2.7)
respectivement par rapport à x et y
|
a au at ay7
|
Ou Ou
Oy Ox7 u
|
02u
Oy Ox7
|
Ov Ou
Oy Oy7 v
|
02u 0y2 =
|
= N ? ?~ >?~~
?~~ 7 ?~~
?~~@O~~ (2.15)
|
|
a av at ax 7
|
au av
Ox Ox7 v
|
02v
Ox Oy 7 u
|
02v Ox2 7
|
av
Ox
|
av Oy =
|
= N ? ?~ >?~~
?~~ 7 ?~~
?~~@O~~ (2.16)
|
En soustrayant l'une de l'autre on obtient :
?~ _?~
? ?~ 3 ?~
?~` 7 ~ >?~~
?~~ 3 ?~~
?~ ?~@ 7 ~ > ?~~
?~ ?~ 3 ?~~
?~~@ 7 ?~
?~ _?~
?~ 7 ?~ 3 ?~
?~ _?~
?~ 7 ?~
?~` ?~`
= N ? ?~ >?~~
(2.17)
?~~ 7 ?~~
~ ?~ ~@O
~~
D'après les équations (2.5) et (2.13)
l'équation (2.17) devient.
Ow
7 u
at
OW
7
ax v
1702W ?~~ 7 ?~%
?~~ @
~~
Ow
=
Oy
(2.18)
0(to)
7
Ox
0(vc) 1
= V26) (2.19)
Oy Re
OW at 7
C'est l'équation de transport du tourbillon, sous
forme conservative l'équation peut s'écrire comme suit
:
Et d'après les équations (2.12) et (2.13),
on a :
|
? _?'
?% ?~ %`
3 at ax 7
|
o _?' ?~ w)= 1 V2)
(2.20)
Oy Re
|
a2*
(0 = 7
ax2
a2*
(2.21)
0y2
Les conditions aux limites pour la fonction courant et
sa dérivée normale sont fournies dans le cas de frontières
solides par les conditions d'adhérence. Pour l'équation de
transport du rotationnel, il n'existe pas de conditions aux limites physiques.
Il ya des relations basées sur des développements en série
de Taylor. Parmi ces relations, on trouve la relation de Woods donnée
par :
COP =
F F 3 =
~~ H'pqr 3 'pJ 7 ~ _?'
?d` ; 'pqr 7 G ~ (2.22)
p
El la relation de Jensen donnée par :
COP =
3 ;~~ H3'pq~7s'pqr 3 t'pJ 7 ~ _?'
F ?d` 7 G ~ p (2.23)
| 
