Résolution des équations de Navier Stokes bidimensionnelle par méthode des différences finies et méthode spectrale

1.3 Forme adimensionnelle des équations de Navier-Stokes

L' emploi de variables adimensionnelles dans les équations permet d'approcher de plus la réalité des phénomènes physiques. Cette nouvelle forme de mise en équations est basée sur deux données une vitesse de référence vo (nous rapporterons toute vitesse ou toute composante de vitesse à cette valeur vo ) Une longueur de référence Lo . Les temps seront

rapportés à la quantité to = Lo qui est homogène à un temps et les pressions motrices à la

vo

quantité Po = pv0²qui est homogène à une pression. Le changement de variables est par

suite défini par les relations suivantes : [1]

₁ _ X y

t

vo =

_ v

VY =

-

vo

Lo

x= ,

Lo

U

_

U = ,

-

t

Lo

Vo

Lo Pvo

_ p

t , p = 2

vo

(1.17)

Ces nouvelles variables xp yp up vp p , sont sans dimension. On les appelle aussi des variables réduites.

Le changement de variables nous conduit donc aux relations suivantes :

Ou

?~ ~

Oft
Of

d(v011) Vo²

~

Lo

^d (^L°

vo ~~[

OP ~ Ox

(PPv0^2) a(Rl0)

Pvo^2 ~ Lo

OP R

Ou 0(Vail) Vo Oft
Ox ~ (1,0) ^~Lo OR

0^2u Ox^2 =		0^2(you)		Vo		0^2i1
		0(LoR)^2		L^2		OR^2
0^2u 0y2 ~	0^2(Vo~~~		Vo		0^2i1 as,r,2 etc ...
	a 0SO2		L^2

Considérons la première des équations de Navier-stokes (éq.1.15) elle s'écrit maintenant :

2

Vo

Oil Vo ²

L0 at Lo

Soit :

a(u²) Vo² 031 ⁷Lo

OP^- uv0

(1.18)

7 -

L0 OR p La

1
~

0(UV)

~

ay

Pvo²

au at 7	a(u^2) R 7	0071i^-0	OP 1.1. 1 ~ 3Ox 7 ~~~ ~ ~~~~
		ay

Le système d'équations (1.15) et (1.16) devient donc :

V?

?~~ 7 ?~~~~~

?~~ 7 ?~~~~~~

?~~ ~ 3 ?~\

?~~ 7 = ~~~

T ~~

(1.19)

U ?~~ ?~~~~~~ ?~~~~~ ₃ ?~\

at 7

?~~ 7

T 1

ay si 7

~~~

R_e

-- a

Oft OV

aR 7 ay = 0 (1.20)

En posant

R_e

PvoLo

=

VoLo

~

^

(1.21)

1¹

Sous les formes (1.19) et (1.20) les équations indéfinies du mouvement sont appelées équation réduites, elles sont sans dimensions et ne font intervenir maintenant qu'un seul coefficient dépendant des données de l'écoulement. Ce coefficient R_e est le nombre de Reynolds de l'écoulement, ce nombre est sans dimension, sa valeur numérique ne dépend donc pas du système d'unités choisies.