CHAPITRE TROIS
CoNsTRuCTioN DE LA pAiRE DE LAX pouR LEs MoDELEs CoupLEs
3.1 Equations couplées de Schrödinger non
linéaires
Lorsque la lumière se déplace dans le
guide d'onde formé par la fibre optique, divers
régimes de propagation correspondant à divers modes coexistent.
Afin d'éviter la dispersion modale en télécommunication
par fibres optiques, le choix est de restreindre la taille du
coeur de la fibre de sorte qu'à la longueur d'onde
considérée, seul le mode fondamental existe. En
réalité, il subsiste encore deux modes de
polarisations orthogonales et deux équations sont nécessaires
pour décrire leur évolution. Pour parvenir
à ces équations, on effectue les hypothèses qui
suivent.
- Les effets non linéaires peuvent être
traités comme une perturbation qui ne modifie pas
profondément la distribution transverse des modes de la
fibre.
- L'étalement du spectre est fortement
limité par rapport à la valeur de sa
fréquence centrale. Cette supposition permet de pratiquer
l'approximation de l'" enveloppe lentement variable " le long
de la distance de propagation.
- La réponse du milieu est instantanée. De
plus, nous supposons que le modèle ignore donc l'effet
Raman.
En tenant compte de ces hypothèses,
l'équation modélisant la propagation dans une
fibre optique se met sous la forme du modèle couplé [15]
:
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iuz =
-d2(z)utt -
2á(z)(|u|2
+ |v|2)u +
i(z)u
(3.1)
ivz =
-d2(z)vtt -
2á(z)(|u|2
+ |v|2)v +
i(z)v
|
|
?
U = ?
|
ëI-Q R-ëI
|
?
?,
|
(3.9)
|
oil u et v représentent les champs se propageant
dans le modèle.
Le paramètre d2
représente le coefficient de la dispersion de la vitesse de
groupe. Il est dû à la variation de vitesse entre les diverses
composantes de fréquence constituant l'impulsion. á est le
coefficient de non linéarité et le coefficient
de perte ou d'amplification.
3.2 Phénomènes décrits par un
système couplé d'équations de Schrödinger non
linéaires
Les équations (3.1) décrivent aussi la
propagation optique dans d'autres milieux que les fibres optiques isotropes.
Dans cette section, nous en présenterons quelques uns. Pour le premier,
nous resterons dans le domaine des fibres optiques mais nous lèverons
l'hypothèse d'isotropie. Ensuite, nous évoquerons d'autres
domaines oil des phénomènes pourront être
modélisés par les équations de Schrödinger non
linéaires couplées.
3.2.1 Propagation de deux ondes de couleurs
différentes
Le cas qui se rapproche sans doute le plus de celui
que nous avons présenté ci-dessus est celui oil l'on injecte dans
une fibre optique deux ondes différentes et qu'on étudie leur
propagation dans l'approximation scalaire. En régime de propagation
linéaire, les deux fréquences n'interagiraient pas. Lorsque les
effets non linéaires sont pris en compte, on peut montrer qu'il
apparaît un terme d'intermodulation de phase (modulation de phase
croisée). Les équations décrivant la propagation peuvent
se ramener à un système de la forme (3.1) [15].
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