Dynamique non lineaire du pulse dans une fibre optique

3.2.2 Autres phénomènes

Les premiers résultats concernant les équations de Schrödinger non linéaires furent obtenus dans le cadre de la théorie des plasmas [4, 15]. Dans ce cadre, ces équations décrivent la propagation d'ondes électromagnétiques dans un plasma homogène et isotrope à température nulle [4, 15]. Cette dernière hypothèse permet de négliger le mouvement des ions et de considérer une non linéarité d'origine électronique. En restant dans ce domaine de la physique, on peut mentionner que les équations de Schrödinger non linéaires cubiques couplées décrivent l'interaction entre deux ondes de polarisations transverses orthogonales dans un plasma. Ces équations s'appliquent aussi à un système de deux fermions à une dimension spatiale et permettent de décrire la fonction d'onde des condensas de Bose-Einstein [4, 15].

3.3 Construction de la paire de Lax

Le système d'équations (3.1) n'est en général pas intégrable. Néanmoins, sous certaines conditions cette équation devient totalement intégrable.

En tenant compte de la condition d'Hirota definie par :

d2,zr - rzd2

= , (3.2)

2rd2 / /

et en faisant le changement de variable q = á/d2u et r = á/d2v le systéme d'équations (3.1) se met sous la forme :

iqz = -d2(z)qtt - 2á(z)(|q|^2 + |r|^2)q (3.3) irz = -d2(z)rtt - 2á(z)(|q|^2 + |r|^2)r

Cette dernière forme (équation 3.3) est totalement intégrable [16, 17] pour d2 = á
(après analyse de Painlevé). Sous cette condition en déterminant les équations

vérifiées par les fonctions q et r conjuguées on obtient le système d'équation :

En posant

? ??????? ???????

iqz = -d2(z)qtt - 2d2(z)(|q|^2 + |r|^2)q irz = -d2(z)rtt - 2d2(z)(|q|^2 + |r|^2)r -iqz = -d2(z)qtt - 2d2(z)(|q|^2 + |r|^2)q -irz = -d2(z)rtt - 2d2(z)(|q|^2 + |r|^2)r

; (3.4)

? ?

q r

Q

= ?) , (3.5)

r -q

? R = ?

q r r -q

? ?.

(3.6)

le système d'équation (3.4) peut se mettre sous la forme matricielle donnée par l'équation suivante :

iQ_z = -d2(z)Qtt - 2d2(z)QRQ = 0. (3.7)

Etant donné que R = Q, l' équation (3.7) vérifiée par Q est une équation non linéaire cubique de Schrödinger de la forme:

iQ_z = -d2(z)Qtt - 2d2(z)|Q|²Q

. La paire de Lax se constuit en posant :

øt = Uø

ø_z = V ø (3.8)

Où ø = (ø1,ø2)^T représente la fontion propre associée à la valeur propre ë (T étant la transposée); U et V deux matrices définies par :

V = (A B ? . C --A

(3.10)

Oil I est la matrice unité d'ordre deux ; A, B et C les matrices définies par :

{

A = a0 + ëa1 + ë^2a2 B = b0 + ëb1 + ë^2b2 C = c0 + ëc1 + ë^2c2

(3.11)

Les matrices U et V vérifient l'équation de compatibilité donnée par la relation : Uz -- Vt + [U, V ] = 0. (3.12)

Nous remplaçons U et V par leurs expressions données par les équations (3.9) et (3.10) et tenons compte du fait que [U,V ] = UV -- V U. L'équation de compatibilité se met donc sous la forme :

At Bt -- Qz Ct + R_z ^--At

?
?

. (3.13)

? --CQ -- BR 2B+ 2QA 0 0( 2RA -- 2Cë RB + QC ) ( 0 0 )

Nous remplaçons A, B et C par leurs expressions données par l'équation (3.11), ainsi l'équation de compatibilité permet d'obtenir :

^--a0t -- ëa1t -- ë²a2t -- Q(c0 + ëc1 + ë²c2) -- R(b0 + ëb1 + ë²b2) = 0 (3.14) Qz -- b0t -- ëb1t -- ë²b2t + 2ë(b0 + ëb1 + ë²b2) + 2Q(a0 + ëa1 + ë²a2) = 0 (3.15) R_z -- c0t -- ëc1t -- ë²c2t + 2R(a0 + ëa1 + ë²a2) -- 2ë(c0 + ëc1 + ë²c2) = 0 (3.16)

Nous regroupons les équations (3.14),(3.15) et (3.16) en puissance de ë et nous posons par la suite que les différents coefficient à ëⁱ (i = 0, 1, 2, 3) sont nuls. On obtient les équations suivantes :

a0t + c0E + b0R = 0 (3.17)

a1t + c1Q + b1R = 0 (3.18)

a2t + c2Q + b2R = 0 (3.19)

-Q_z - b0t + 2Qa0 = 0 (3.20)

-b1t + 2b0 + 2Qa1 = 0 (3.21)

-b2t + 2b1 + 2Qa2 = 0 (3.22)

b2 = 0 (3.23)

R_z - c0t + 2Ra0 = 0 (3.24)

-c1t + 2Ra1 - 2c0 = 0 (3.25)

-c2t + 2Ra2 - 2c1 = 0 (3.26)

c2 = 0 (3.27)

Nous résolvons ces équations et déterminons les valeurs de ai, bi, et ci (i = 1, 2, 3) ainsi qu'il suit :

?

?????????????????????? ?

???????????????????????

a0 = id2QR

a1 = 0

a2 = 2id2I

b0 = -id2Qt

(3.28)

b1 = -2id3Q

b2 = 0

c0 = -id2Rt

c1 = 2id2R

c2 = 0

Nous obtenons ainsi les éléments de la matrice V :

?

????

????

A = id2QR + 2ië²d2I

(3.29)

B = -id2Qt - 2iëd2Q

C = -id2Rt + 2iëd2R

Nous remplaçons les expressions des matrices A, B et C dans la paire (U, V) et en tenant compte des expressions de Q et R données par les équations (3.5) et (3.6), nous obtenons finalement les matrices U et V suivantes :

U =

[

ë 0 -q -r 0 -ë -r q q r -ë 0 r -q 0 ë

]

(3.30)

V =

[

id2(|q|^2 + |r|^2) 0 -id2qt -id2rt 0 id2(|q|^2 + |r|^2) -id2rt id2qt - id2qt -id2rt -id2(|q|^2 + |r|^2) 0 - id2rt id2qt 0 -id2(|q|^2 +|r|^2)

]

+ë

[

0 0 -2id2q -2id2r 0 0 -2id2r 2id2q 2id2q 2id2r 0 0 2id2r -2id2q 0 0

]

+ ë2

[

2id2 0 0 0 0 2id2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

]

. (3.31)

Où U est une matrice carrée d'ordre 4, de même que la marice V. À la suite de cette construction, une recherche éventuelle des solutions de l'équation couplée de Schrödinger non linéaire est envisageable.