2.5 Solution soliton en absence du mode linéaire
La propagation dans les fibres optiques s'accompagne
le plus souvent des modes linéaires. Ces modes linéaires sont
indésirables pour la propagation [13]. Pour mieux décrire la
dynamique de la solution de l'équation de Schrödinger
d'ordre
supérieur, la solution correspondante au mode
linéaire doit être soustraite de la solution
(2.64). Ce mode linéaire est pris sous la forme [13],
qB = \Id2
(z)
QB(z,t)exp(i?),
(2.67)
r(z)
oil
Ascoshè1 +
2Ac - iMRsinhè1
QB(z, t) =
Ac - As, (2.68)
2Accoshè1 +
As
on obtient
d2 (z)
qT = \I r(z)
QT(z,t)exp(i?),
(2.69)
oil
AsMR(MRcoshè1
+ iAssinhè1)(1 +
cos?1)
QT(z,t)
=.(2.70) (2Accoshè1 +
As)(2Accosh?1 -
Ascos?1)
L'énergie E(z)
et la largeur à mi-hauteur (full-width at half-maximum "FWHM")
ô(z) de la solution
donnée par l'équation (2.69) sont données respectivement
par les expressions suivantes :
(2.71)
E(z) =
qT(z,t)|2dt
=
2ðMRd2(z)
I(z)
r(z)
0
oil
I z =
2Accohè1 -
As2Accohè1
- 2As
(2.72
()
)
2Accohè1 + As V
4i*osh2è1
- A2s
et
2 1 2(v2 -
1)Accoshè1 +
As,
ô(z) =
cos- [ j (2.73)
MR 2Accoshè1
+ (v2-
1)As.
Les figures (2.4) et (2.5) présentent
respectivement l'évolution de la largeur à mihauteur et de
l'énergie en fonction de la distance z pour As =
1.1, As =
0.65, ù = 0,
è0 = 0, ?0 = 0, ã1 =
ã2 = 0.5,ã3 =
0.01, g1 = g2 =
g3 = 0.001, ó =
5, å1 = 0.05,
å2 = -0.04 et
å3 = 0.02.
FWHM
3.5
2.5
0.5
1.5
4
3
2
1
0
0 5 10 15 20 25
Distance z
FIG. 2.4 - Évolution de la largeur à mi-hauteur
en fonction de la distance z
Energie E
4
2
7
6
5
3
0
1
0 5 10 15 20
Distance z
FIG. 2.5 - Évolution de l'énergie en fonction de
la distance z
Il ressort de ces deux courbes que pour z =
11, la largeur à mi-hauteur est minimale et qu'en ce même
point l'énergie se trouve dans un état stable. Nous pouvons donc
déduire que la solution donnée par l'équation (2.69)
présente une forte stabilité à la distance z =
11.
2.6 Conclusion
Cette partie nous a permis dans un premier temps de
retrouver les conditions d'Hirota satisfaites par l'équation de
Schrödinger non linéaire d'ordre supérieur. La
méthode AKNS nous a permis par la suite et au moyen de la transformation
de Darboux de trouver la solution analytique de cette équation et sous
certaines conditions la solution soliton. Enfin, il ressort de la solution
soliton obtenue que les termes d'ordre supérieur affectent la vitesse et
la phase du soliton mais sont sans effet sur l'amplitude du
soliton.
Nous nous intéresserons dans la suite à
rechercher les solutions solitons dans les modèles à deux
dimensions, modèlisés par les équations couplées de
Schrödinger non linéaires.
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