CHAPITRE DEUX
SoLuTioN SoLiToN DE L'EQuATioN DE ScHRODiNGER NoN
LiNEAiRE
D'oRDRE SupERiEuR
Dans cette partie, nous recherchons les solutions de
type soliton par la méthode AKNS présentée dans la
première partie. Pour cela, nous allons dans un premier temps
établir une relation entre les coefficients de l'équation de
Schrödinger non linéaire d'ordre superieur ( conditions d'Hirota) ;
Par la suite, nous construirons la paire de Lax de cette équation , et
au moyen de la transformation de Darbourx, nous rechercherons les solutions de
cette équation non linéaire de Schrödinger d'ordre
supérieur.
2.1 Le soliton
Dans le domaine de la propagation des impulsions dans
les fibres optiques, le soliton se définit de façon simple comme
une impulsion dont le profil et l'énergie sont conservés au cours
de la propagation [3]. Néanmoins, la notion de soliton va au-delà
de cette définition. En effet, si l'on injecte dans la fibre un soliton
rapide à la suite d'un soliton lent, les deux impulsions vont interagir
durant un certain temps car leur régime de propagation est non
linéaire. Cependant, au terme de cette interaction, on retrouvera en
ordre inversé deux impulsions de même profils, énergies et
vitesses qu'avant l'interaction. Le seul témoin de l'interaction sera la
phase des impulsions qui aura varié. La figure (2.1) suivante
présente l'interaction
de deux solitons oil nous observons que les profils
d'amplitude sont identiques avant et après l'interaction. nous
constatons aussi que chaque soliton est décalé de sa trajectoire
rectiligne du fait de l'interaction. C'est la seule marque
révélant que la collision a eu lieu.
FIG. 2.1 - Interaction de deux solitons [6].
Un tel comportement lors des interactions incite
à voir les impulsions impliquées comme s'il s'agissait des
particules conservant leurs énergies, quantités de mouvements et
formes. C'est ce caractère de particule que l'on tente de
refléter par l'appellation " soliton " qui englobe donc une notion de
stabilité forte des impulsions qui en sont qualifiées [3, 4I.
Quand on veut désigner une impulsion qui conserve son profil mais ne
présente pas une telle robustesse vis-à-vis des collisions, on
parle plutôt d'"onde solitaire" [4I. Néanmoins, l'usage a
consacré certaines appellations qui s'opposent à cette
règle. L'exemple type est celui des " solitons de parois de domaines "
qui ne sont en réalité que des ondes solitaires
[4]; Quels que soient les abus de langage commis, il
est certain que la notion de soliton ne peut être attribuée
qu'à une impulsion stable et conservant son profil et l'énergie
lors de sa propagation. Néanmoins, plusieurs effets indésirables
peuvent affecter le soliton lors de sa propagation dans la fibre optique. Entre
autres, nous avons les pertes, la dispersion,...etc
La propagation des solitons dans le domaine des
femtosecondes est modelisée par l'équation non linéaire de
Schrödinger d'ordre superieur. A la suite des conditions imposées
aux coefficients de cette équation, nous établirons les solutions
exactes par la construction de la paire de Lax.
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