1.3 La méthode de Lax
La méthode de Lax [4, 9] permet de traiter
toute une variété de système non linéaire
totalement intégrable. Son principe consiste à
réécrire l'équation non linéaire sous la forme
d'une équation linéaire avec les opérateurs qui agissent
dans un espace de Hilbert différent de l'espace fonctionnel dans lequel
on résout l'équation différentielle. Connaissant la
condition initiale, la résolution du problème linéaire
nous permet de déduire la solution de l'équation non
linéaire. Une généralisation de Cette méthode a
été introduite en 1974 par Abowitz, Kaup, Newell et Segur (
méthode AKNS) [4, 10, 11], qui est une forme matricielle de la
méthode de Lax.
La construction du problème linéaire passe
par la détermination de deux opérateurs L et M appelés
paire de Lax et definis comme suit :
L est un opérateur linéaire
dépendant de deux fonctions q(z, t) et
r(z, t) tel
que
|
?
L = ?
|
?z -q(z,t)
r(z,t)
-?z
|
?
?,
|
(1.16)
|
et agit sur un espace dont la fonction
ø(z, t) =
(ø1(z, t),
ø2(z, t)) forme un ensemble de deux
fonctions. Les valeurs propres ë de l'opérateur L sont
définies de la manière suivante :
Lø = -iëø,
(1.17)
ces valeurs propres ë sont indépendantes du
temps et les fonctions propres en dépendent selon la loi
øt = Mø,
(1.18)
oil M est un opérateur linéaire agissant
sur le même espace.
La compatibilité des deux équations (1.16)
et (1.17) limite les choix pour l'opérateur M. En effet on peut
réécrire l'équation (1.17) sous la forme
øz = Rø,
(1.19)
avec
?
?.
-ië q(z, t)
r(z,t) ië
?
R = ?
Pour avoir une compatibilité entre
øz = Rø et øt =
Mø. Il faut que les deux conditions suivantes soient
vérifiées :
øzt = Rtø +
Røt = Rtø + RMø,
(1.20)
øtz = Mxø
+ Møx =
Mxø + MRø, (1.21)
cela impose la condition
Rt - Mz - [M,R] =
0. (1.22)
L'équation (1.22 ) est une équation de
compatibilité entre les deux opérateurs L et M et nous permet,
connaissant L de déterminer l'opérateur M. En
générale l'opérateur L est connu et dépend du type
de problème non linéaire à résoudre. Ainsi, pour
l'équation de SNL on utilise la matrice [4, 11].
|
?
R = ?
|
ë -u
u -ë
|
?
?,
|
(1.23)
|
oil u est la fonction conjuguée de u.
1.4 Conclusion
Ce chapitre nous a permis de présenter la fibre
optique, de mettre en évidence les équations nécessaires
à l'établissement de l'équation de l'enveloppe non
linéaire décrivant la propagation d'impulsions dans la fibre
optique. Enfin, nous avons présenté la méthode AKNS qui
est une généralisation de la methode de Lax. Cette méthode
nous permettra dans la suite de pouvoir retrouver les solutions analytiques de
l'équation de Schrödinger non linéaire d'ordre
supérieur.
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