Estimation non-paramétrique par noyaux associés et données de panel en marketing

3.2 Cas multivarie

defini sur de dimension d. L'estimateur

Dans cette section, nous _généralisons lestimateur a no_yau associé continu as_ymétri_queaucasmultidimensionnel.Pourcela,nousconsidéronsunéchantillondevariables aléatoires X1,. . . ,X_n i.i.d., de densité de probabilité f continue as_ymétri_que inconnue f_n de f a no_yau associé continu as_ymétri_que est

fn (x) = 1 n

Xn i=1

Kx,H (Xi) , (3.17)

on la cible x =^t (x1, ... ,xd), H est la matrice pleine de variance-covariance des fenêtres h de dimension d x d, et Xi =^t _(Xi1, . . . ,Xid). La fonction K_x,H est le no_yau associé as_ymétri_que sur Rx,h.

Pareillement,nousdonnonsunestimateur_quisebasesurleproduitdesno_yauxunivariés as_ymétri_ques. Get estimateur a une forme plus vul_garisée _que celle de (3.17). En effet, nous avons

fn (x) = 1 n

Xn i=1

? ? ?

d j=1

K^jxj,hj (Xij)

???

,

(3.18)

on xj est la _jeme composante du vecteur x, hj est la _jeme fenêtre et Xij est la ieme observation de la _jeme composante.

^bfn(x) = 1 n

Xn i=1

Kx,h (Xi), (4.6)