Estimation non-paramétrique par noyaux associés et données de panel en marketing

Chapitre 2

Noyau continu symétrique

Dans cette partie, nous présentons l'estimateur a no_yau continu s_ymétri_que. Nous développons cet estimateur dans le cas univarié ensuite nous le traitons dans le cas multivarié.Nousétudionsé_galementlesdifférentespropriétésélémentairesrelatives acet estimateur telle _que biais, variance erreur _quadrati_que mo_yenne et erreur _quadrati_que mo_yenne inté_grée. Nous détaillons par la suite les méthodes de choix des fenêtres et des no_yaux en se focalisant sur limportance du choix du paramètre de lissa_ge. Nous expli_quons explicitement 3 méthodes destimation de la fenêtre. Enfin, nous concluons par un exemple de données simulées.

2.1 Cas univarié

Considérons un échantillon de variables aléatoires X1,X2,. . . ,X_n, indépendant et identi_quementdistribué(i.i.d.),dedensitédeprobabilitécontinueinconnue f sur? = R. L'estimateur a no_yau continu s_ymétri_que de f est défini par:

^bfn(x) = 1 n

Xn i=1

~x - Xi ~ ^1 (2.1) h K h

= ^bfn,h,K(x),

on K estlafonctionno_yautelle_que K(t) = 0et JR K(t)dt = 1et h > 0estleparamètre de lissa_ge ou la fenêtre. L'expression (21) découle des travaux des pionniers de estimation non-paramétri_que Rosemblatt (1956) puis Parzen (1962) Dans lexpression de l'estimateur a no_yau continu (2.1), la fonction no_yau K est une densité de probabilité sur R ? R+ et est s_ymétri_que par rapport a zéro:

K(-x) = K(x), (2.2)

ce _qui impli_que l'é_galité suivante

ZR tK(t)dt = 0. (2.3)

De plus, elle est de carré inté_grable

et nous avons aussi la variance de K finie

ZR t²K(t)dt < +8. (2.5)

Enfin, le no_yau K peut être écrit sous plusieurs formes dont la plus connue est

(x - Xi ~ 1 Kh(x - Xi) = hK h

.

Le tableau 2.1 donne un récapitulatif des fonctions no_yaux continues classi_ques dont les _graphi_ques sont présentés dans la fi_gure 21 Nous rappelons _quune loi de Cauch_y n'admet aucun moment fini.

TAB. 2.1	Eaemples de noyaua continus symétriques
Noyau	Fonction noyau	Domaine de définition
Cauchy	[7r(1 + u^2)]-^1	R
Biweight	(15/16)(1 - u^2)^2	[-1,11
Triangulaire	1 - |u|	[-1,11
Epanechnikov	(3/4)(1 - u^2)	[-1,11
Gaussien	(1/v27r) exp (-u^2/2)	R

Pour plus de détails sur les t_ypes des no_yaux, nous pouvons se référer a article d'Epanechnikov (1969) et le livre de Ts_ybakov (2004)

L'expression de K détermine la forme du no_yau et h est un paramètre d'échelle _qui détermine le niveau de lissa_ge de l'estimation Dans lestimation a no_yau continu s_ymétri_que, le choix de la fenêtre de lissa_ge est prépondérant a celui du no_yau K. De plus, la contribution de cha_que point de l'échantillon est additionnée pour obtenir lestimation totale. Ceci est illustré dans la fi_gure 2.2.