Prédiction de l'interaction génotype à— environnement par linéarisation et régression PLS-mixte

3. Estimation des paramètres et validation du modèle

Il y a en général beaucoup de paramètres dans un modèle de simulation de cultures et peu d'environnements dans un essai multienvironnement, ce qui rend souvent PI grand par rapport à IJ. Pour notre exemple, nous avons utilisé SarraH comme modèle de simulation de cultures. Ce modèle dispose de 61 paramètres, qui sont fonction du génotype. Avec un tel nombre de prédicteurs, l'estimation de â s'est faite par régression PLS, Partial Least Squares [7]. Il s'agit donc pour nous d'écrire un modèle linéaire de prédiction des rendements des génotypes pour de nouveaux environnements par les sensibilités par rapport aux paramètres des génotypes des sorties d'un modèle de simulation de cultures, fondé sur la construction de composantes orthogonales dans l'image de X. Ceci permet de réduire l'espace des régresseurs de rang de X à k dimensions. La régression PLS s'effectue selon le principe de l'algorithme NI-PALS, Nonlinear estimation by Iterative Partial Least Squares [7], où un ensemble de régressions partielles par moindres carrés ordinaires est effectué, en même temps que le calcul des composantes. Ici, la matrice de covariance de E est égale à ó²_u? et non à ó²_uIIJ . La solution serait d'effectuer toutes les régressions partielles par moindres carrés généralisés. Mais cette matrice de covariance est inconnue. Elle s'écrit tout de même, à une constante multiplicative près, en fonction de ?, qui elle est connue. La matrice ? étant symétrique et semi-définie positive, par décomposition de Cholesky, il existe une matrice ç tel que ç^~ç = ?^-1.

Ainsi, estimer â par PLS avec les régressions partielles par moindres carrés généralisés consiste à poser le modèle suivant :

çY - ç(Y0 ? 1I) = çX · â + çe (6)

où âPLS est l'estimation avec les régressions partielles effectuées par moindres carrés ordinaires.

Dans ce cas, la variance de l'erreur çc s'écrit :

E(ç~E^~ç^~) = çE(ce)ç' = ó²_uç?ç' = ó²_uç(ç'ç)^-1ç^~

2

= ó_uçç

-1(çr)-1ç/ = ó2uIIJ

Le nombre de composantes à retenir est déterminé par le PRESS, Prediction Error Sum of Squares [7].

Nous avons calculé les intervalles de confiance des coefficients estimés par la méthode bootstrap [8]. Cette technique permet d'estimer la loi inconnue d'un estimateur par une loi empirique obtenue à partir d'une procédure de rééchantillonnage fondée sur des tirages aléatoires avec remise des données. Les intervalles de confiance construits sont de type percentile-t [9]. Soit

(p)*b

zi,PLS la variable aléatoire définie par :

(p)*b zi,PLS =

(⁷)

_â(p)~b

i,PLS - â⁽p⁾

i,PLS

s^*(

_â(p)~b i,PLS)

où âi(,pPlS est le (p · i)^e élément de âPLS^, âi(,PL p)*S obtenu

au b^e tirage avec b = 1, . . . , B et s( â(p)~b

i,PLS) l'écart-type

estimé de â~bPLS. Soit 'FB la fonction de répartition empi-

rique des z(p)~b

i,PLS. Le fractile d'ordre á, %¹ (á) est estimé

par la valeur àt(á) telle que :

1
B

_~B
b=1

(p)*b_à= á {zi,PLS t(á)}

Donc un intervalle de confiance percentile-t pour le (p.i)^e élément de â peut s'écrire :

[ â(p)

i,PLS - s~ â(p) ~ · àt(1 - á), â⁽p⁾

i,PLS - s( â(p) ) · àt(á)]

i,PLS i,PLS

(8)

L'évaluation de la qualité du modèle proposé est faite avec l'erreur quadratique moyenne de prédiction MSEP, Mean Squared Error of Prediction [10]. La MSEP est utilisée comme critère pour comparer différents modèles dont le modèle moyen [11], défini pour nos donnés par:

Yij = m + gi + Ej + äij (9)

où m est la moyenne de la population et gi l'effet génotype. L'effet Ej de l'environnement j est supposé aléatoire, d'espérance nulle et de variance ó² _E. Les erreurs _äij sont indépendantes, d'espérance nulle et de variance ó2 ä . De plus, Ej et _äij sont supposés indépendants.

Le logiciel R [12] a été utilisé la fonction qui a servi pour les régression est de J.-F. Durand [13].