Prédiction de l'interaction génotype à— environnement par linéarisation et régression PLS-mixte

2. Le modèle proposé

Si nous partons du modèle de simulation de cultures, chacune des sorties de ce modèle, le rendement potentiel par exemple, peut s'interpréter comme la réponse d'un génotype i dans un environnement j :

Yij = f (Zj,èi) + îj + uij (2)

où Zj est le vecteur des variables telles que la pluie, la température, etc., mesurées sur l'environnement j et èi le vecteur de longueur P des paramètres du génotype i. L'erreur îj est le biais du modèle de simulation de cultures ; nous supposons qu'elle ne dépend que de l'environnement j : elle est donc la même pour tous les génotypes d'un même environnement. Le terme uij est pris aléatoire, avec E(uij) = 0 et V(uij) = ó2 u .

Comme on l'a dit précédemment, les paramètres des modèles de simulation de cultures ne sont généralement connus que pour un petit nombre de génotypes. Considérons un modèle de simulation de cultures et un génotype de référence dont les paramètres sont connus et appelons è0 le vecteur de ses paramètres. Alors, supposons f de classe C¹ dans un voisinage de è0 et f' dérivable sur ce voisinage. De plus supposons èi au voisinage de è0. En pratique, les génotypes dont nous chercherons à estimer leurs paramètres seront choisis de telle sorte qu'ils ne soient pas trop éloignés du génotype de référence. Alors, un développement en série de Taylor à l'ordre 1 nous donne :

f (Zj,èi) = f (Zj,è0) +

~P ~?f ~

?è⁽p⁾)

p=1 è=è0,Z=Zji

× (èi (p) - è(p)

0 ) + ?[(èi - è0)'(èi - è0)]

(³)

(p

avec èi ^(p) et è0 ) la p^e composante du vecteur de paramètres respectivement du génotype i et du génotype de référence.

Posons X^(p) _j=

[ ?f

?è(p) ]è=è0,Z=Zj : c'est une fonction de l'environnement j et â(p)

i = è^(p) i- è(p)

0 une fonc-

tion du génotype i. La fonction X(p)

j est la dérivée partielle de la sortie du modèle de simulation de cultures pour l'environnement j par rapport à la p^e composante du vecteur de paramètres de la variété de référence. Comme la fonction f n'est pas généralement connue analytiquement, ces sensibilités peuvent être obtenues par une méthode de dérivation numérique. Nous avons retenu tout simplement :

X(p) = L?è(p) jè=è0,Z=Zj
~f (è(p)

0 + h_è(p)

₀ ) - f (è^(p)

0 - h_è(p)

₀ ) ~

~

2hè(p) Z=Zj

0

(p

avec hè0 (p) très petit, de l'ordre de è0 ) × 10-⁴ en pra-

tique. D'autres méthodes existent, celle-ci étant la plus simple et économe en calculs.

Avec ces notations et d'après l'Éq. (2), qui permet d'écrire f (Zj,è0) = Y0j - îj - u0j, nous pouvons écrire, en négligeant ?[(èi - è0)'(èi - è0)] :

Yij - Y0j = _~P

p=1

X(p) j · â(p)

i + ^~ij (4)

oùfi eiji = uiji --- u0j.. Ainsi, E(eij)) = 0, V(eij)) = 2ó²_u,, Cov(eij ,, Eijj~) == 0, mais Cov(eij , ~i~j)) = ó²_u..

Si nous disposons de I génotypess et de J environnements, nous pouvons poser le modèle suivant :

Y - (Y0 ? 1I) = X · â + ee (⁵)

Le vecteur Y représente le rendement de tous les génotypess dans tous les environnements ; ilt est de longueur IJ,, Y'₀ = (Y01l ·
· ·
· ·
· Y0J)) et 1I/ est un vecteur formé de 1, de longueur I. Le symbol ? désigne le produit de Kronecker. Le vecteur E est un vecteur d'erreurr aléa-

toire. Sa matrice de covariance est de la forme ó²_u?, avec :

	? ? ? ? ? ? ?	ù1	..
? =		0

où

?

?

. 0 ? ?

ùj ? ?

..?

.

ùJ

2 1

ù j = ( ..?

.

1 2

Les matrices ? et ùj sont carrées de nombre de lignes, respectivement le nombre d'observations de tous les environnements et le nombre d'observations de l'environnement j.

Ensuite, X = [X⁽¹⁾ ? II · · · X^(P) ? II ] où X(p)' = [ X^(p) ₁· · · X(J ^p) ] est de longueur J et II est la matrice identité d'ordre I. La matrice X est donc de dimension IJ × PI.

Enfin, â^~ = [ â(1)~ · · · _â(P )~ ] avec â(p)~ =

[ â(p)

1 · · · â(p)

I ].

Nous proposons d'appeler cette méthode par l'acronyme APLAT : Approximation Par Linéarisation Au-tour d'un Témoin. Elle consiste à approcher, localement, le rendement prédit par un modèle de simulation de cultures, par série de Taylor à l'ordre 1 au voisinage du vecteur de paramètres d'un génotype de référence. Cette linéarisation permet, par régression linéaire, l'estimation des paramètres de ces génotypes. Par la suite, la prédiction de l'écart entre le rendement de ces génotypes et celui du génotype de référence dans des environnements nouveaux, c'est-à-dire où ils ne sont pas encore testés, pourra se faire si le climat de ces derniers est connu.